Konsep Dasar Probabilitas

1. KonsepDasarProbabilitas 1. EksperimenProbabilitas, RuangSampel, Peristiwa Ekperimenprobabilitas (probability experiment) adalahsegalakegiatan di manasuatuhasil/keluaran(outcome), tanggapan (response) ataupunukuran (measurement)diperoleh. Himpunanyang memuatseluruhkemungkinanhasil, tanggapan, ataupunukurandarieksperimentersebutdisebutruangsampel (sample space) yang biasanyadinotasikandengan S. Sedangkansebuahperistiwa/kejadian (event) didefinisikansebagaisegalahimpunanbagiandarihasil, tanggapan, ataupunukurandalamsuaturuangsample. Pengertiandi atasseringdiilustrasikandenganmenggunakanbantuandiagram venn.

2. Contoh: Jikakitamemeriksa 3 buahsikringsatupersatusecaraberurutandanmencatatkondisisikringtersebutdenganmemberinotasi B untuksikring yang baikdan P untuksikring yang putus, makaruang sample padaeksperimenprobabilitaspemeriksaantersebutadalahS = { BBB,BBP,BPB,PBB,BPP,PBP,PPB,PPP}. JikaA peristiwadimanadiperolehsatubuahsikring yang rusak, maka A ={BBP,BPB,PBB}.

3. Dagramvennprobabilitas:

4. 2. DefinisiProbabilitas Probabilitasadalahsebuahbilangan yang terletakdiantara 0 dan 1 yang berkaitandengansuatuperistiwaituadalah 1 danjikaperistiwaitumustahilterjadi, makaprobabilitasnyaadalah 0. Adatigadefinisiberbedamengenaiprobabilitas yang seringdigunakan, masing – masingcocokditerapkanpadajenis-jenispenerapantertentu.

5. 2.1. DefinisiKlasik JikasebuahperistiwaA dapatterjadidengancaradarisejumlah total N cara yang Mutually Exclusive danmemilikikesempatansamauntukterjadi, makaprobabilitasterjadiperistiwa A dinotasikandengan P(A)dandidefinisikansebagai: : Sedangkanprobabilitastidakterjadisuatuperistiwa A komplemen A (seringdisebuatkegagalan A) dinyatakansebagai:

6. Contoh, Definisiklasikcocokdigunakanmisalnyapadapermainantebakan/undian (games of chance).Misalnyadalamsatu set kartu bridge yang terdiri 52 kartutedapat 4 buahkartu As, makaprobabilitaspengambilansatukartumendapatkankartu As adalah ; P(As)=4/52=1/13=0,077

7. 2.2. DefinisiFrekuensiRelatif Seandainyapadasebuah experiment yang dilakukansebanyak N kali terjadikejadian A sebanyakfAkali, makajikaeksperimentersebutdilakukanterhingga kali banyaknya(N mendekatitakhingga),nilai limit darifrekuensirelatiffA/Ndidefinisikansebagaiprobabilitaskejadian A atauP(A). Definisiinimungkinadalahdefinisi yang paling populer. Definisiinimemungkinkanuntukditerapkanpadabanyakmasalah-masalahpraktisdimanadefinisiklasiktidakbisadipakai.

8. Contoh, • Probabilitasmendapatkansebuah motor barumerek "X” yang cacatsaatseseorangmembelinyamungkinsulitdiketahuidenganmenggunakandefinisiklasikprobabilitas. Secarateoritisprobabilitastersebutdapatditentukanjikadapatdiketahuijumlahseluruh (populasi)produk motor baru “X”danjumlahnya yang cacat. • Jikamemakaidefinisifrekuensirelative, makaperludilakukanpemeriksananterhadap sample motor “X” sebanyakmungkin (menujutakhingganamunkarenasaatsulitmengkajijumlah yang takterhinggabanyaknya. Makadapatdigunakanjumlah sample yang memadaidancukupekonomisuntukmenentukan relative tersebut)

9. 2.3. DefinisiSubjektif (Intuitif) Dalamkasusini, probabilitas P(A) dariterjadinyaperistiwa A adalahsebuahukurandari “derajatkeyakinan”yangdimilikiseseorangterhadapterjadinyaperistiwaA. Definisiinimerupakandefinisi yang paling luasdigunakandandiperlukanjikasulitdiketahuibesarnyaruangsampelmaupunjumlahperistiwa yang dikajimaupunjikasulitdilakukanpengambilansampel (sampling) padapopulasi

10. Contoh, Suatustrategimemilihsalahsatudiantaradua alternative yang masing-masingmemberikanaktibatberbeda, yaitumenjatuhkanbomkedaerahmusuh. Karenamasing-masing alternative itutidakbisadiujicobasecaraeksperimenuntukmengetahuibagaimanamusuhakanmemberikanreaksi, makakitaharuspercayapada “penilaiandariahli (expert judgement)” untukmenentukanprobabilitasdariakibat yang akanmuncul. Situasi yang samaterjadi pula misalnyadalammeramalkansiapa yang akanmenjuaraisuatuturnamensepakbola. Dalamhalini, interpretasiklasikdanfrekuensidariprobabilitastidakakanbanyakgunanya,dansuatupenilaian yang subjektifdaripengamatansepak bola yang handallebihdiperlukan.

11. ProbabilitasPeristiwaMajemuk 1. Definisi Definisiprobabilitas yang dibahaspadabagianterdahulumerupakandefinisiuntukperistiwasederhana (simple event). Peristiwamajemuk (compound event) adalahperistiwa yang merupakangabungan/kombinasiduaataulebihperistiwasederhana(simple event).

12. 2. ProbabilitasBersyarat Probabilitasbersyarat (conditional probability) adalahprobabilitasdarisebuahperistiwa yang akanterjadijikasebuahperistiwalainnyatelahterjadi. Dari Gambardibawah, dapatdimengertibahwadengandiketahuiterlebihdahuluberlangsungnyaperistiwaB, makaterjadiperubahan (pengaruh )padaruangsampel yang perludipertimbangkanuntukmenentukkanprobabilitasperistiwaA.

14. Contoh, • Sebuahperusahaanpembuat personal computer melengkapiprodukterbarudengan program-program siappakai. Jikadihitungdarijumlahseluruhprodukterbaruitu, 60% dilengkapidengan Word Processor, 40% dilengkapidengan program spreadsheet, dan 30% dilengkapidengankedua program siappakaitersebut.Misalkanseseorangmembeli computer buatanperusahaantersebutdandidefinisikan A={computer yang dilengkapidengan program word processor} dan B = {computer yang dilengkapidengan program spread sheet}.MakaP(A)= 0,6 P(B) = 0,4 danP(A  B) = 0,3. Jikacomputer yang dibeliolehorangtersebuttelahdilengkapidengan program spread sheet, makaprobabilitas computer itujugadilengkapidengan program word processor adalahprobabilitasbersyarat P(A/B): • Dengankata lain, dariseluruh computer yang dilengkapidengan program spread sheet, 75%-nyadilengkapi pula dengan program word processor. Hal inidapatditunjukkandengandiadgramvennpadaGambar,

16. 3. PeristiwaSalingBebasdanTidakSalingBebas Duaperistiwa A dan B dikatakansalingbebas (independent) apabilaterjadinyaperistiwa A tidakmempengaruhiprobabilitasterjadinyaperistiwa B. Sebaliknya,jikaterjadinyaperistiwa A mempengaruhiprobabilitasterjadinyaperistiwa B disebutperistiwatidaksalingbebas (dependent). Peristiwabersyaratmerupakancontohdariperistiwa yang tidaksalingbebas. JikaperistiwaA dan B salingbebas, makaberlaku: P(AB) = P(A) danjuga P(BA) = P(B)

17. 4.Peristiwa Mutually Exclusive (SalingMeniadakan) PeristiwaA dan B adalah mutually exclusive(disjoin events) jikaterjadinyasalahsatuperistiwatersebutdalamsebuaheksperimenprobabilitasmencegahterjadinyaperistiwa yang lainnyaselamaberlangsungnyaeksperimenprobabilitas yang sama. Dengankata lain, peristiwa A dan B tidakmungkinterjadisecarabersamaan.Sebaliknya, jikaperistiwaA danB dapatterjadisecarabersamaandalamsebuaheksperimenprobabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive. JikaperistiwaA dan B adalahmutullyexclusuive, makaberlaku : P(A dan B) = P(AB) = 0 artinyajuga P(AB) = 0; P(BA) = 0

18. Diagram venndariperistiwamutully exclusive dantidak mutually exclusive ditunjukkanolehgambar,

19. 5. Hukum-hukumProbabilitasPeristiwaMajemuk Berikutakandijelaskanduahukumprobabilitas yang bergunadalammenanganiperistiwamajemuk. Hukum –hukuminiberlakupadabanyaksituasipraktisbidangperencanaanteknik (engineering design).

20. 5.1. HukumPerkalian (multiplication Law) a. PeristiwaSalingBebas (Independent Event) hukumperkalianmenyatakanjika A,B,C...adalahperistiwa peristiwayang salingbebas (independent event), maka probabilitasbahwaseluruhperistiwaituterjadi ,ataudisebut pula probabilitasgabungan (joint probabilitas)P(ABC…), adalah produk(perkalian )dariprobabilitasmasing-masingperistiwa. P(A dan B dan C dan…) = P(ABC….) =P(A).P(B).P(C)… Notasimatematisumumnyaadalah:

21. Dalamaplikasidibidangteknik, hukumperkalianinimemberikandasarmatematisuntukkonsepintutifdalammeningkatkanreliabilitasdesainmelaluipenggunaandesainlebih. Desainlebihbiasanyadipakaipadasatuataulebihalat (deveces) cadangan yang memungkinkanoperasi system terusberjalanketikaterjadikegagalanpadasebuahalat.

22. Contoh • Diketahuibahwa 30% mesincucibuatanpabrik X memerlukanperbaikan (service) selagimasihdalammasagaransi, sementarahanya10% mesinpengeringbuatanpabrik yang sama yang membutuhkanperbaikan. Jikaseseorangmembelisatu set yang terdiridarisatumesincucidansatumesinpengering, probabilitaskeduamesintersebutmemerlukanperbaikanselamamasihdalammasagaransidapatditentukandenganhukumperkalian. Misalkan C adalahperistiwamesincucimemerlukanperbaikandan K adalahperistiwamesinpengeringmemerlukanperbaikan. MakaP(C) = 0,3 danP(K) = 0,1. Denganasumsibahwamesincucidanmesinpengeringberfungsisecaraterpisah (salingbebas) satusamalainnya, makaprobabilitaskeduanyamemerlukanperbaikanselamamasagaransiadalah:

23. Prinsipdasarperancanganlebih (excessive design) bertujuanmeningkatkan reliability desainterutamauntukbagian – bagiankritis.Sebagaicontohuntukmenghubungkansumberlistrikdibagiandepansebuahpesawatmiliterperalatan-peralatanyang menggunakanlistrikdibagianbelakang,digunakanlebihdarisatukabel (misal3 kabel) secara parallel, yang masing-masingdenganjalur yang berbedamelaluirangkapesawat(fuselage). Jadijikatembakanmusuhmemutuskansebuahkabel, keduakabelnyatetapbekerja.Seandainyaprobabilitassebuahkabelterputusolehtembakanmusuhadalah 0,01 untuksetiapsatujam tempur, makadengancaramerancanglebihperkabelanmenjaditigapasang, probabilitasputusnyahubungantenagalistrikdalamsatu jam tempurdipesawatitusangatjauhberkurangkarenaprobabilitasdariputusnyaketigakabelakanmenjadi : • Desainlebihtentusajameningkatanbiayaperalatandanmenyebabkankekurangandarisisi lain( misalnyabertambahnyaberatpesawat). Jadikeuntungan yang diperolehharusmelebihibiaya/kekurangan yang terjadisehinggacukupberalasanuntukditerapkan.

24. b. peristiwatidaksalingbebas (deevenst) hukumperkalianuntukduaperistiwa A dan B yang tidaksalingbebasdapatdinyatakansebagaiberikut : P(A dan B) = P(A  B) = P(AB) . P(B) = P(BA) . P(A) Di mana : P(AB)= Probabilitasbersyaratterjadiperistiwa A setelahB terjadi P(BA) = Probabilitasbersyaratterjadiperistiwa B setelah A terjadi

25. Contoh • Dari gejala yang ditunjukanpada computer yang akandiperbaiki. Seorangahliperangkatkeras computer memastikanbahwakerusakan yang disebabkanolehhanyasaluransatudarikeempatblokrangkaianpadamainboardnya. Untukitudiaberencanamemeriksasatupersatukeempatbloktersebut. Berapakahprobabilitasbahwasekurang-kurangnyamekaniktersebutharusmelakukanpemeriksaantigablokrangkaiansampaidiadapatmenentukanblokdapatrangkaian yang rusak?

26. Logikamasalahdiatasadalah sang mekanikharusmelakukanpemeriksaanberikutnyajikapemeriksaansebelumnyadiamendapatkanblokrangkaian yang tidakrusak. • Jikaditetapkanperistiwa X = { pemeriksaanpertamamemperolehbloktidakrusak} danperistiwa Y ={pemeriksaankeduamemperolehbloktidakrusak}, makaP(X) = 3/4. Jikapengecekanpertama sang mekanikmemperolehbloktidakrusakmakatigablokrangkaian yang belumdiperiksamasihterdapatduablok yang tidakrusak, sehingga P(YX) = 2/3. Jadipemeriksaanketigaharusdilakukansetelahpemeriksaanpertamadanmemperolehblok yang tidakrusak. Dan hukumperkaliandidapatkan:

27. Hukumperkalianuntukperistiwatidaksalingbebas yang ditunjukkanolehpersamaandiatasdapatdiperluasuntukperistiwamajemuk yang terdiridaribeberapaperistiwa yang terjadisecaraberturutan. Misalnyauntuktigaperistiwa, Dalamhaliniperistiwaterjadipertama kali, diikutiperistiwadanterakhir

28. 5.2. HukumPenjumlah (addition law) Hukumpenjumlahanpadaprobabilitasperistiwamajemukdinyatakansebagai : P(A atau B) = P( A  B ) = P(A) + P(B) - P(A  B ) Persamaandiatasmenunjukanprobabilitasperistiwa A atauperistiwa B ataukedua-duanyasama- samaterjadi. Perludiperhatikanbahwa A dan B tidakperlusalingbebas,selamadiketahuiprobabilitasgabungannya P( A  B). Jikaperistiwa A dan B adalah mutually exclusive (yang berartijikasalahsatuperistiwaterjadi, makaperistiwalainnyamustahilterjadi), maka P(A  B) = 0 sehingga: P(A atau B) = P(A  B) = P(A) + P(B) Persamaan (1) dapatdigeneralisasiuntukbeberapapunjumlahperistiwadenganprosespenerapankembaliberlanjut (continued reapplication), yakni:

29. Persamaan (1) dapatdigeneralisasiuntukbeberapapunjumlahperistiwadenganprosespenerapankembaliberlanjut (continued reapplication), yakni:

30. Contoh, • Perhatikanstruktur yang dilassepertipadagambar. Kegagalandaristrukturterjadijikasalahsatuataulebihdariketigasambunganlastersebutputus. Jikaprobabilitasdariputusnyamasing-masingsambunganlasP(L1 ) =P(L2 )=P(L3 )=0,001 dandiasumsikansambungansalingbebas, maka:

32. Contoh, • Sebuahsistemsembarangspt yang ditunjukkanGambar,tersusunatastigatingkat. System iniakanbekerjadenganbaikjikaketigatingkatnyaberjalandenganbaik. Misalnyaseluruh unit dalamsetiaptingkatsalingbebasdanmasing – masingprobabilitasberjalanbaiknyaadalah:

34. Jadisitemtersebutsecarakeseluruhanmemiliki 61,3% kemungkinandapatberjalandenganbaik.

35. 2.6. FormulasiBayes FormulasiBayesadalahpengembangandariprobabilitasbersyarat (conditional probability) danaturanumumhukumperkalian (multiplication). AndaikanterdapatsekelompokperistiwaB1, B2, … , Bn yang mutually exclusive dan exhaustive (menyeluruh), artinyamasing-masingperistiwatidakmemilikikeluaran (outcome) yang samadansecarabersama-samamemuatkeseluruhankeluarandidalamruangsampel. Secaramatematis, peristiwa B1 yang mutually exclusive bersifat exhaustive jikadanhanyajika:

36. Sebagaitambahan, terdapatsebuahperistiwa lain A yang didefinisikanpadaruangsampel yang sama. Karenaperistiwa-peristiwaB1bersifat exhaustive makaperistiwa A pastiberirisandengansatuataulebihperistiwaB1. Olehkarenaitu, satucarauntukmendapatkanprobabilitasperistiwa A adalahdenganmenjumlahkanprobabilitas P (A∩B1) untukseluruhhargaimaka:

37. Sebagaiilustrasi, misalkan n = 4. Hal inidapatditunjukkandengan diagram vennsepertipadaGambar. Perhatikanbahwa A terdiridariA∩B1, A∩B2 , A∩B3dan A∩B4maka:

38. Sekarangjikapersoalandiubahdandiasumsikanbahwaperistiwa A telahterjadi. Bagaimanamenentukanprobabilitasmasing-masingperistiwa B1, jugaterjadi? Jikaperistiwa A telahterjadi, makaruangsampelmenjadiberkurang, seperti yang ditunjukkanGambar 3.8.

39. Contoh, • Vendor I, II, III dan IV menyediakanseluruhkeperluanbantalanyang dibeliolehperusahaanSumberTekniksebanyakmasing-masing 25%, 35%, 10% dan 30%. Dari pengalamanselamainidiketahuibahwa vendor I, II, III, danIV masing-masingmengirimkan 20%, 5%, 30% dan 10% bantalanyang cacat. Makaprobabilitasbahwasebuahbantalan yang dipilihsecaraacakmerupakanbantalan yang cacatdapatdihitungsebagaiberikut: Misalkan A adalahperistiwapemilihansebuahbantalan yang cacat, danB1, B2, B3dan B4adalahperistiwapemilihanbantalandari vendor I, II, III, dan IV. Maka :

41. TeknikEnumerasi (Pencacahan) • Dalammenentukanprobabilitasdariperistiwa-peristiwamajemuk yang kompleks, suatuenumerasi (pencacahan) peristiwa-peristiwa yang berkaitansering kali menjadisulit. Untukituterdapatbeberapateknik yang dapatmemudahkan.

42. 3.1. PohonProbabilitas Seringkalididalampenerapannyasuatueksperimen yang diulang-ulangmenjadisangatrumitdanterdiridaribeberapatahap. Dalammengevaluasiprobabilitas yang berkaitandenganeksperimenserupaitu, pohonprobabilitasmerupakanalat bantu grafis yang memudahkan.Misalnya, dalamtahappertama, salahsatudariduaperistiwa A1atau A2dapatterjadi. Selanjutnyatahapkeduasalahsatudariperistiwa B1 , B2atau B3dapatterjadi. Ruangsampeluntukeksperimenduatahapinidapatdigambarkandalampohonprobabilitasseperti yang terlihatpadaGambar,

44. Perludiperhatikanbahwaprobabilitaspadasetiapcabangdapatdikalikanuntukmendapatkanprobabilitaspadabagian paling kanan. Sehinggadidapatkanmisalnya:

45. Contoh, • Processor pengindraposisimerupakanbagiandarinavigasisuatupesawatudara. Karenamenurut data penerbangansistemnavigasiinigagalberfungsisekalidalamsetiapduaratuspenerbangan, makaperludiadakanpengujian. Hasil test menunjukkanbahwasaatsistemnavigasigagalberfungsi, 90% disebabkankerusakan processor pengindraposisidan 10% olehsebab yang lain. Sementaraitusaatsistemnavigasiberfungsibaik, 99% processor pengindradalamkondisibaikdanhanya 1% system navigasitetapberfungsidengan processor yang rusak. Denganmendefinisikan A1 = system navigasigagalberfungsi, A2 = system navigasiberfungsibaik, B1 = processor rusak, B2 = processor baik, pohonprobabilitasdariperistiwa-peristiwatersebutditunjukkanpadagambar,

46. Pohonprobabilitas

47. Jikasuatuketika, dalamsebuahpenerbangan, processor utamadalamrangkaianelektronikapengindraposisirusak, makaprobabilitas system navigasigagalberfungsiadalah:

48. 3.2. AnalisisKombinatorial PrinsipDasar • Jikasebuahperistiwadapatterjadidengansalahsatudari n1caraberlainandanapabilamasing-masingcarabisaterjadidengan n2cara yang berlainan pula, makabanyaknyacara yang mungkinbagiperistiwatersebutuntukbisaterjadiadalah n1n2

49. 2. Permutasi Suatupermutasidari n objek yang berbedadimanapadasetiappemilihandiambilsebanyak r objekadalahsuatucarapenyusunan r objekdari n objektersebutdenganmemperhatikanurutansusunannya. Didefinisikan:

50. 3. Kombinasi Suatukombinasidari n objek yang berbedapadasetiappemilihandiambilsebanyak r objekadalahsuatucarapenyusunandari n objektersebuttanpamemperhatikanurutansusunannya. Didefinisikan: