Movimiento periódico

1. Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo T, denominado periodo. En las figuras se muestran ejemplos de movimientos periódicos. Movimiento periódico El movimiento de los planetas alrededor del Sol El movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada Y Milachay, E Castillo, M Brocca

2. Movimiento Oscilatorio • Es un movimiento periódico que se efectúa alrededor de una posición de equilibrio. • Como ejemplo de movimiento periódico puede considerarse el que realiza un bloque que está unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción. • En la animación, defina las características de las siguientes magnitudes: • Amplitud A • Periodo T • Frecuencia f • Frecuencia angular  Posición de equilibrio frecuencia Frecuencia angular Y Milachay, E Castillo, M Brocca

3. Ejemplo 13.19. Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene? Solución: Ejercicio. Si un bloque tarda 4 segundos en dar 2 oscilaciones, ¿cuál de su periodo? ¿Cuál es su frecuencia? ¿Cuál es su frecuencia angular? Solución Ejercicios Y Milachay, E Castillo, M Brocca

4. a = 0 F = 0 v máxima a – máxima F- máxima v = 0 a – máxima F- máxima v = 0 F F x x A A Movimiento Armónico Simple • Es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción. • Vea la animación: • MA57_F1_S05_01_REC2_ley_hooke.swf • Observaciones del movimiento del bloque en el MAS • La velocidad es máxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su máxima elongación (x = A). • Por la segunda ley de Newton, la aceleración es cero en el origen y máxima en el punto de máxima elongación. Y Milachay, E Castillo, M Brocca

5. Ecuaciones del MAS • Por la Segunda Ley de Newton • Considerando que • Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden respecto a la posición y al tiempo. • La solución de la ecuación es: Y Milachay, E Castillo, M Brocca

6. (b) Ejercicio. Un objeto oscila con frecuencia angular ω = 8,0 rad/s . En t = 0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4,0 cmcon una velocidad inicial v0= -25,0 cm/s . (a) Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento. (b) Escribir x en función del tiempo. Solución Analizar para t = 0 s Ejemplo Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0 s, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s . Calcule: a) la amplitud; b) el ángulo de fase; c) escriba las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración Solución (a) Ejercicios Y Milachay, E Castillo, M Brocca

7. Posición, velocidad y aceleración del MAS Y Milachay, E Castillo, M Brocca

8. Ejemplo En la oscilación descrita en el ejemplo 13.2, k = 200 N/m, m = 0,50 kg y la masa oscilante se suelta del reposo en x = 0,020 m . a) calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar. b) calcule la aceleración máxima. c) Determine: la velocidad y aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial. Solución vmax = + 0,40 m/s y vmin = – 0,40 m/s amax = 8,0 m/s2 c) v = -0,35 m/s y a = - 4,0 m/s2 Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N cusa una deformación de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. A) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcula la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. Solución k = 200 N/m w= 20 rad/s f = 3,2 Hz T = 0,31 s Ejercicio Y Milachay, E Castillo, M Brocca

9. Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el ejemplo 13,2, con k = 200 N/m y m = 0,50 kg . Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015 m y una velocidad inicial +0,40 m/s . a) Determine: el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. Solución (a) T = 0,31 s A = 0,025 m  = -53º = - 0,93 rad (b) x = (0,025 m) cos ((20 rad/s)t – 0,93) v = -(0,50 m/s) sen ((20 rad/s)t – 0,93 rad) a = -(10 m/s2) cos ((20 rad/s)t – 0,93 rad) Ejercicio Y Milachay, E Castillo, M Brocca

10. Como se estudió anteriormente, la fuerza elástica es conservativa, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos no depende de la trayectoria, por lo que tiene una energía potencial asociada. Consideremos el siguiente caso: Un resorte es estirado desde x1 hasta x2. Determine el trabajo realizado por la fuerza que el resorte ejerce sobre el móvil. Energía potencial elástica Se define la energía potencial elástica U como: x1 x2 Y Milachay, E Castillo, M Brocca

11. Si no hay fricción, la energía mecánica del oscilador armónico se mantiene constante en todo momento. De esta expresión se deduce que: Energía mecánica del oscilador armónico Y Milachay, E Castillo, M Brocca

12. Relación entre la energía cinética y potencial elástica • La energía mecánica se conserva, tiene el mismo valor en cualquier punto del movimiento. • La energía potencial elástica es máxima en los extremos del MAS y nula en la posición de equilibrio. • La energía cinética es máxima en la posición de equilibrio y nula en los extremos del MAS. Y Milachay, E Castillo, M Brocca

13. Ejercicio 7.42 Pág. 272 • Un bloque de 2,00 kg se empuja contra un resorte con masa despreciable y constante elástica k = 400 N/m, comprimiéndolo 0,220 m . Al soltarse el bloque, se mueve por una superficie sin fricción que primero es horizontal y luego sube a 37,0° . (a) ¿Qué rapidez tiene el bloque al deslizarse sobre la superficie horizontal después de separarse del resorte? (b) ¿Qué altura alcanza el bloque antes de pararse y regresar? Solución Caso 1 Caso 2 Y Milachay, E Castillo, M Brocca

14. El péndulo simple • Un péndulo simple consta de una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m. cuando la lenteja se deja en libertad desde un ángulo inicial θ con la vertical, oscila a un lado y otro con un periodo T. • Cuando el ángulo es pequeño, el segmento de arco barrido por la lenteja es: • Si el ángulo se expresa en radianes. • Por otro lado, por la segunda ley de Newton: • Reemplazando x y sustituyendo senθ por θ Y Milachay, E Castillo, M Brocca

15. El péndulo simple • La ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es la que se muestra a la derecha. • De la ecuación se deduce la expresión de la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo. La solución de la ecuación es: Y Milachay, E Castillo, M Brocca

16. Ejemplo 13.8 . Calcule el periodo y frecuencia de un péndulo simple de 1,00 m de longitud en un lugar donde g = 9,80 m/s2. Solución: Sabemos que: Luego: Ejercicio. Calcule la frecuencia de oscilación de un péndulo simple de longitud 2,00 m si el péndulo del ítem anterior se lleva a un lugar donde la aceleración de la gravedad mide 9,77 m/s2. Solución: Sabemos que: Ejercicios Y Milachay, E Castillo, M Brocca

17. Y Milachay, E Castillo, M Brocca

18. PÉNDULO FÍSICO O PÉNDULO COMPUESTO Es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

19. Este péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un solo punto.

20. Un ejemplo del péndulo físico es un bate de beisboll suspendido de un punto O, Es un bate de beisboll suspendida del punto O, como se muestra en la figura . La fuerza de gravedad actúa en el centro de gravedad (GG)del objeto localizado a una distancia h del punto pivote O. Al péndulo físico conviene analizarlo usando las ecuaciones del movimiento rotacional. La torca sobre un péndulo físico, calculada con respecto al punto O es : t = -mgh senθ

21. Al péndulo físico conviene analizarlo usando las ecuaciones del movimiento rotacional. La torca sobre un péndulo físico, calculada con respecto al punto O es : t = -mgh senθ

22. t = -mgh senθ El signo negativo indica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es anti horario, y viceversa. si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio. El movimiento no es armónico simple porque por que el momento de torsión t es proporcional al sen өno a өpero si өes pequeño podemos aproximar sen өporөen radianes, y el movimiento es aproximadamente armónico simple. Entonces, t =-(mgh)ө

23. Deducción del periodo El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′ (Figura 1). Figura 1

24. La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.

25. Llamaremos   a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo  , actúan sobre él dos fuerzas (  y  ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e.,

26. Si es    el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos    a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

27. que podemos escribir en la forma que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el Péndulo Simple.

28. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma que corresponde a un movimiento armónico simple.

29. El periodo de las oscilaciones es

30. Ecuaciones del momento de inercia La m es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de newton:    Tiene como equivalente la rotación

31. Tiene como equivalente la rotación

32. Donde; T= es igual al momento aplicado al cuerpo I= es el momento de inercia es la frecuencia angular

33. Ejemplo del péndulo físico Una manera fácil de medir el momento de inercia de un objeto con respecto a cualquier eje consiste en medir el periodo de oscilación alrededor de ese eje. a) Considere que una vara no uniforme de 1.0 kg puede equilibrarse en un punto a 42 cm desde un extremo. Si es pivoteado con respecto a ese extremo oscilara con un periodo de 1.6 s. ¿Cuál es el momento de inercia con respecto a este extremo?

34. solución dadas T=1.6 s h= 0.42m despejamos el momento de inercia I de la ecuación de el periodo;