材料力学的任务等直杆的强度条件刚度条件稳定性条件

上节回顾 材料力学的任务等直杆的强度条件刚度条件稳定性条件

上节回顾 材料力学的基本概念 1.内力—— 指某个截面内分布内力的三个主矢分量和三个主矩分量：轴力FN ，剪力FQ (Fy ,Fz）扭矩T ，弯矩M (My ,Mz) 2.应力——正应力σ，切应力τ 3.应变——线应变ε，切应变γ

z z FQz FN x x FQy y y Mz T My 上节回顾内力轴力FN，剪力FQ (Fy ,Fz）扭矩T ，弯矩M (My ,Mz) 剪力弯矩扭矩剪力弯矩轴力

上节回顾 注意事项计算约束力时，可将平衡对象视为刚体；计算其他问题时则应将研究对象视为变形体。

120kN 20kN/m 20kN/m B B C C A A 2m 2m 4m 4m 请判断下列简化在什么情形下是正确的，什么情形下是不正确的：

F1 F2 上节回顾应力—分布内力在一点的集度

F1 DFR F2 ΔA 正应力s（法向应力）应力的定义切应力τ（切向应力） ΔFQ ΔFN

应力就是单位面积上的内力 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“ 破坏”或“ 失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。

上节回顾 注意事项 • 计算应力时应注意既要算正应力，也要算切应力； • 应弄清是那一点的应力； • 还要弄清是那一个面上的应力； • 应力的单位是MPa.

§1.7 位移变形应变 一、位移displacement 线位移—— 一点空间位置的改变单位：m , mm 角位移—— 一面方位的改变单位：rad

二、变形 deformation 尺寸改变形状改变变形引起位移

三、应变strain 线应变(linear strain)ε —— 一点在某方向上尺寸改变程度的描述。切应变(shearing strain)γ —— 过一点两互相垂直截面的角度改变。

σ x σ x dx u+du dx u τ α τ β γ=α+β 直角改变量微元体(单元体)element

注释线应变 ε —— 与点的位置有关；与 x的方向有关；伸长变形为正；无量纲。切应变 γ —— 与点的位置有关；与垂直两边的方位有关；无量纲。

σ x σ x dx u+du dx u τ α τ β 注释应力与应变的对应关系正应力  ——线应变 ε 切应力τ ——切应变 γ γ=α+β 直角改变量

§1.8 杆件变形的基本形式 1. 轴向拉伸和压缩 axial tension or compression 拉伸压缩

F F 2. 剪切shear

3. 扭转torsion 联轴器轴

4. 平面弯曲plane bending

F F2 F3 F1 F F2 2F F3 F1 第二章轴向拉伸和压缩 §2.1 概述轴向载荷(axial load)——载荷作用线位于杆轴上

F2 2F F3 F1 轴向拉伸(axial tension)（压缩compression）受力特点——外力全部为轴向载荷变形特点——轴向伸长或缩短

压杆拉杆例

例拉杆压杆

100kN 200kN 200kN 100kN 1 2 例

F F 拉杆 F F F F 压杆 F F 拉杆和压杆模型

F2 F3 F1 拉杆和压杆模型统称：拉压杆

m m F2 F1 F3 m m F2 F1 FN §2.2 轴力轴力图一、轴力FN(axial force)—— 拉压杆的内力截断，取半，画内力，平衡 —— 截面法步骤 ∑Fx = 0 , FN－F1+F2 = 0 ∴ FN = F1－F2

m m m F2 F1 F3 m m m F2 F1 FN FN F3 取左半和取右半计算内力，结果是一样的。 FN = F3 FN= F1 -F2=F3 因此，可选择简单的一侧计算轴力。

m m F2 F1 F3 m m F2 F1 FN FN F3 m m 轴力axial force 定义——内力主矢的法向分量求法——截面法method of section 步骤：截开，取半，画内力，平衡大小= 截面任一侧所有外力的代数和正负号——拉伸为正（离开截面为正）注意正负号不是由坐标轴的方向决定的单位—— N , kN

F2 F3 2 3 F4 1 F1 1 3 2 二、轴力图axial force diagram 问题：如何描述不同截面的轴力既简单又直观？方法：1. 临用时逐个截面计算； 2. 写方程式； 3. 画几何图线—— 轴力图横坐标——杆的轴线纵坐标——轴力数值

1 2 3 1 2 3 FN (kN) 例1 作图示杆的轴力图 3kN 4kN 2kN 3kN A B C D 1 2 3 解：1.各段轴力计算： FN1 = -2 kN, FN2 = -2+3 =1 kN, FN3 = -3 kN 2.作轴力图 B截面的轴力=?

20kN 1 10kN 10kN 2 20kN 3 A B C 1 D 2 3 FN (kN) 例2 作图示杆的轴力图 10 10 20 解：1.各段轴力计算： FN1 = 10 kN, FN2 =－10 kN, FN3 =－20 kN 2.作轴力图

20kN 1 10kN 10kN 2 20kN 3 1 2 3 FN (kN) 轴力图要求 A D B C 10 1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质（ FN） 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 4. 标明内力的正负号 5. 注明特殊截面的内力数值（极值） 6. 标明内力单位 10 20

12.98 C FN2 2 2 l2 x2－l1 B 12.42 x2 FN1 l1 l1 1 1 x1 x1 12 A FN(kN) F F F 例题3 已知：A1=3 ㎝2 , A2=4 ㎝2 , l1= l2= 50m , F=12 kN , γ = 0.028 N/㎝3 求：作轴力图（考虑自重）解：⑴ 计算轴力 2 AB段: FN1 = F ＋γA1x1 （0≤x1≤l1） 1 BC段： FN2=F ＋ γA1l1 ＋γA2（x2－l1）（l1≤x2≤l1＋l2） ⑵ 绘轴力图

§2.3 拉压杆的应力 已知轴力求应力，这是静不定问题，需要研究变形才能解决。思路：观察变形（外表）变形假设（内部）应变分布应力分布应力表达式

F F 一、横截面上的应力 1. 变形特点纵线——仍为直线，平行于轴线横线——仍为直线，且垂直于轴线

2. 平面假设 plane cross-section assumption 杆件的任意横截面在杆件受力变形后仍保持为平面，且与轴线垂直。

3. 应变分布 由平面假设，轴向应变分布是均匀的，切应变等于零。 • 应力分布 • 由均匀性假设，横截面上的应力也是 • 均匀分布的，即各点应力相同。

σdA dA 5. 应力公式由于切应变等于零，横截面上 τ = 0 因此，拉压杆横截面上只存在正应力。静力学关系 ∴

F F F F F F ？

F F F F 二、圣维南（Saint-Venant）原理原理：等效力系只影响荷载作用点附近局部区域的应力和应变分布。问题：两杆横截面的正应力分布是否相同？结论：无论杆端如何受力，拉压杆横截面的正应力均可用下式计算：

变截面杆件的应力 A2 A3 F2 A1 F1 F3 D A B C B截面的轴力能否确定？ B截面的应力能否确定？ C截面的应力能否确定？最大应力等于多少？

B 1 45º A C 2 F y FN1 x A 45° FN2 F 已知：A1= 1000 mm2, A2= 20000mm2, F = 100 kN 求：各杆横截面的应力例题 ∑Fy= 0, FN1 sin45°－F = 0 解：⑴ 轴力计算取结点A = 141.4 kN ∑Fx= 0, －FN1cos45°－FN2 = 0 FN2 =－FN1cos45° =－141.4 cos45° =－100 kN

B 45º A C F y FN1 x A 45° FN2 F FN1 = 141.4 kN FN2 =－100 kN 例题 ⑵ 应力计算

三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上是否也是这样？

斜截面上的应力 k F k Pα F F α α k k k F α pα α k pα 横截面面积 A , 正应力σ =F/A , 斜截面面积 Aα =A/cosα 内力 Pα = F, 全应力为将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α和切应力τα，则

k F α pα α k 可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。讨论 ⅰ α = 0 ， σαmax= σ， τα = 0 ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2 ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0

F F F σ60 τ60 拉压杆的任意截面上应力随截面变化

结论与讨论 • 拉压杆横截面上的内力只有轴力，因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。 • 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的, 即 • 拉压杆的斜截面上一般既有正应力，又有切应力。正应力最大值位于横截面上，数值为 σ；切应力最大值在与轴线成45°角的截面上，数值为 σ/2.

问题拉压杆内只有正应力，没有切应力，这种说法是否正确？说说理由。

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