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2B_Ch9( 1 ). A. B. 直觀法的不足. 認識演繹法. 2B_Ch9( 2 ). 9.1 以直觀法和演繹法學習幾何學. 目錄. A. B. 基本幾何圖形性質的證明. 更多幾何圖形性質的證明. 2B_Ch9( 3 ). 9.2 幾何圖形性質的演繹證明. 目錄. 9.1 以直觀法和演繹法學習幾何. 2B_Ch9( 4 ). 例題演示. 直觀法的不足. A). 1. 利用「觀察」或「測試」而得出結果的方法統稱為 直觀法 。直觀法有助我們對事物作初步的認識。 2. 然而，由直觀法得出的結果常會有以下的缺點：.

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  1. 2B_Ch9(1)

  2. A B 直觀法的不足 認識演繹法 2B_Ch9(2) 9.1以直觀法和演繹法學習幾何學 目錄

  3. A B 基本幾何圖形性質的證明 更多幾何圖形性質的證明 2B_Ch9(3) 9.2幾何圖形性質的演繹證明 目錄

  4. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(4) • 例題演示 直觀法的不足 A) 1. 利用「觀察」或「測試」而得出結果的方法統稱為直觀法。直觀法有助我們對事物作初步的認識。 2. 然而，由直觀法得出的結果常會有以下的缺點： i. 視覺觀察有時會產生幻像或錯覺。 ii. 對若干個別事例作測試後所得出的結論未必是普遍的真理。 目錄 • 目錄 9.1

  5. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(5) 以肉眼觀察下圖，圖中哪個黑色的圓形較大？ 兩個黑色圓形的大小相同。 目錄 • 重點理解 9.1.1

  6. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(6) 認識演繹法 B) 1. 一個是正確的或是錯誤的句子稱為命題。 2. 正確的句子稱為真命題，錯誤的句子稱為假命題。 3. 演繹法是從一些真命題開始，經推理而得出合理結論的方法。 目錄

  7. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(7) 認識演繹法 B) 4. 歐幾里得把當時希臘人所知的幾何知識，以演繹法作有系統的整理，並給予嚴格的證明，編寫成數學巨著《幾何原本》。 5. 在證明命題前，應先選定一些無可置疑的真命題為公理，及清楚地界定一些基本名詞的意義。 目錄

  8. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(8) • 例題演示 認識演繹法 B) 6. 利用公理和定義，我們可以用演繹法推論出一些結論，這過程稱為證明。經證明為正確的命題稱為定理。 7. 根據已知的條件、公理、定義或定理等，我們可以用演繹法推論出更多的定理。 目錄 • 目錄 9.1

  9. 9.1以直觀法和演繹法學習幾何 2B_Ch9(9) 利用演繹法，寫出以下各題的結論。 • 已知條件：(i) 你繪畫了一個兩邊長相等的三角形。(ii) 等腰三角形的兩邊長相等。 • (b) 已知條件：(i) 三角形的內角和是 180°。(ii) 在 △ABC中，∠B = 40° 和 ∠C = 60°。 (a) 你繪畫了一個等腰三角形。 (b) ∠A是80°。 • 重點理解 9.1.2 目錄

  10. 公理 1： 在圖中，a + b = 180°。 【簡記：直線上的鄰角】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(10) 基本幾何圖形性質的證明 A) 1. 一些本章所用到重要的公理： 目錄

  11. 公理 2： 在圖中，若 AB // CD，則 a = b。 【簡記：同位角，AB // CD】 公理 3： 在圖中，若 a = b， 則 AB // CD。 【簡記：同位角相等】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(11) 基本幾何圖形性質的證明 A) 目錄

  12. 定理 1： 在圖中，a = b。 【簡記：對頂角】 定理 2： 在圖中， a + b + c + d = 360°。 【簡記：同頂角】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(12) 基本幾何圖形性質的證明 A) 2. 一些本章所用到重要的定理： 目錄

  13. 定理 3： 在圖中，若 AB = CD， 則 a = b。 【簡記：內錯角，AB // CD】 定理 4： 在圖中，若 AB // CD，則 a + b = 180°。 【簡記：同旁內角，AB // CD】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(13) 基本幾何圖形性質的證明 A) 目錄

  14. 定理 5： 在圖中，若 a = b， 則 AB // CD。 【簡記：內錯角相等】 定理 6： 在圖中，若 a + b = 180°，則 AB // CD。 【簡記：同旁內角互補】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(14) 基本幾何圖形性質的證明 A) 目錄

  15. 定理 7： 在圖中，a + b + c = 180°。 【簡記：△內角和】 定理 8： 在圖中，e = a + b。 【簡記： △ 外角】 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(15) • 例題演示 基本幾何圖形性質的證明 A) 目錄 • 目錄 9.2

  16. x y 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(16) 證明以下定理： 在圖中，若 a = b，則 AB // CD。【簡記：內錯角相等】 證明 如圖所示，作輔助角 x及 y。 a = b 已知 a + y = 180° 直線上的鄰角 x + y = 180° 直線上的鄰角 a = x ∴ b = x ∴ AB // CD 同位角相等 • 重點理解 9.2.1 目錄

  17. 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(17) • 例題演示 更多幾何圖形性質的證明 B) ‧ 每個已證明的性質都稱為定理，而公理及已證明的定理可用來作進一步演繹推理的基礎，去證明其他幾何命題。 目錄 • 目錄 9.2

  18. 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(18) 在圖中，直線 AB、CD 及 EF 相交於 O 點。若 p + r = q，證明 CD ⊥AB。 目錄

  19. 習題目標 • 涉及相交直線的證明。 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(19) • 返回問題 如圖所示，作輔助角 x。 p + r = q 已知 x = q 對頂角 EF是一條直線， 已知 ∴ p + r + x = 180° 直線上的鄰角 即 q + q = 180° 2q = 180° q = 90° ∴ CD ⊥ AB 目錄

  20. 習題目標 ∴ c = x + y • 涉及平行線的證明。 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(20) 在圖中，AB // CD 。 證明 c = a + b。 如圖所示，作直線 MN 通過 E 點，使 MN // AB // CD，又作輔助角 x、y。 x = a 內錯角，AB // MN y = b 內錯角，MN // CD 作圖 ∴ c = a + b 目錄

  21. 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(21) 在附圖的四邊形 ACDE 中，BD 和 BE 分別是∠CDE 和∠AED 的角平分線，∠DBE = 90°及∠DCB = 70°。 (a) 證明 AE // CD。 (b) 求∠EAB。 目錄

  22. 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(22) • 返回問題 (a) 如圖所示，作輔助角。 在 △BDE中， a + b + 90° = 180° Δ內角和 a + b = 90° ∴ ∠CDE +∠AED = p + a + b + q 但 p = a 已知 b = q 已知 ∴ ∠CDE +∠AED = a + a + b + b = 2(a + b) = 2  90° = 180° ∴ AE // CD 同旁內角互補 目錄

  23. 習題目標 • 涉及三角形的證明。 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(23) • 返回問題 (b) ∠EAB + 70° = 180° （同旁內角，AE // CD） ∠EAB = 110° 目錄

  24. 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(24) 在附圖的 △ABC 中，∠BAC = 34°。將 BC 延長至 F 點後，∠ACF = 96°。D 和 E 分別是 AB 和 AC 上的點，使∠ADE = 62°。證明 BC // DE。 目錄

  25. ∠ADE = 62° ∴ ∴ ∠ADE = ∠ABC 習題目標 • 涉及三角形的證明。 9.2幾何圖形性質的演繹證明 2B_Ch9(25) • 返回問題 在 △ABC 中， ∠ACF = ∠ABC + ∠BAC △外角 96° = ∠ABC + 34° ∠ABC = 62° 已知 BC // DE 同位角相等 • 重點理解 9.2.2 目錄

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