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Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

Programmation linéaire et Recherche opérationnelle. http://www.lri.fr/~mdr. Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr. Programmation linéaire et Recherche opérationnelle. http://www.lri.fr/~mdr. Introduction Contraintes linéaires en Economie

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Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

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Presentation Transcript

  1. Programmation linéaire et Recherche opérationnelle http://www.lri.fr/~mdr Licence d’Econométrie Professeur Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr

  2. Programmation linéaire et Recherche opérationnelle http://www.lri.fr/~mdr • Introduction • Contraintes linéaires en Economie • Optimisation • Complexité, Approximation, Stabilité • Programmation linéaire • Simplex • Simplex à deux phases • Dualité • Simplex révisé et dual • Recherche Opérationnelle • Problèmes de flots et de réseaux • NP-complétude et approximation • Jeux et Equilibres • Programmation linéaire complémentaire

  3. Contraintes linéaires en Economie Exemples de contraintes linéaires. Maximisation et Minimisation de fonctions. Incertitude. Complexité. Approximation. Bases de l’algèbre linéaire.

  4. Introduction au Simplex • Résolution d’un système linéaire de maximisation: • Introduction de variables d’écart • Solution initiale • Itération pour augmenter la valeur de la solution. • Terminaison

  5. Exemple d’itération

  6. Itérations possibles Augmentons Les contraintes sont : Nouvelle solution:

  7. Nouveau système Substituons

  8. Itération 2 Augmentons Les contraintes sont: Nouveau système: La valeur z ne peut plus être augmentée: optimum.

  9. Méthode générale • Mise sous forme normale. • Itération: • Choix d’un pivot qui augmente la solution. • Détection de l’optimum ou d’infaisabilité • Problèmes possibles: • Solution non bornée • Infaisabilité • Cycles • Solution initiale

  10. Difficultés du Simplex • Initialisation : peut-on toujours trouver une solution initiale? • Itération : peut-on toujours itérer? • Terminaison : les itérations terminent-elles toujours?

  11. Systèmes et Tableaux Dictionnaire: Forme équivalente:

  12. Tableaux

  13. Itération de Tableaux Colonne du pivot : Max cj Ligne pivot : Min s/r Pivot =2 Diviser ligne pivot par le pivot

  14. Itération de Tableaux Soustraire à chaque ligne un multiple de la ligne pivot (0 apparaît sur la colonne Pivot) Ligne 2 – 4.ligne 1

  15. Tableau 2

  16. Itération Faire apparaître 0 dans la colonne du pivot: Optimum atteint.

  17. Interprétation géométrique • Contrainte sur n variables : hyperplan de dimension n • Dimension 2 : droites • Dimension 3 : plans

  18. Interprétation géométrique X1 rentre X5 sort

  19. Interprétation géométrique X2 rentre X3 sort

  20. Interprétation géométrique X5 rentre X4 sort

  21. Interprétation géométrique Optimum

  22. Difficultés d’itération • Itération : peut-on toujours itérer? • Solution non bornée • Itération dégénérée • Cycle • Solution non bornée: entre dans la base : seule borne est Solution z arbitraire !

  23. Itération dégénérée entre dans la base. Seule contrainte est: sort de la base (au choix). On obtient:

  24. Itération dégénérée Solution dégénérée car Equation 2 impose:

  25. Itération dégénérée Solution identique à la précédente! L’itération est dégénérée. Remarque: l’itération suivante est aussi dégénérée et la suivante est optimale.

  26. Cycles

  27. Cycles

  28. Cycles Chaque itération est dégénérée.

  29. Initialisation Solution faisable, Dictionnaire faisable? Problème auxiliaire:

  30. Initialisation Infaisable: Pivot : Faisable:

  31. Initialisation Pivot : Optimum : Dictionnaire d’origine:

  32. Initialisation générale • Etape 1 : • Etape générale : simplex • Terminaison:

  33. Interprétation géométrique de l’initialisation • Le point (0,0,…0) n’est pas dans le polytope. • Trouver un autre point en ajoutant -x0 pour être sur de trouver une solution.

  34. Interprétation géométrique de l’initialisation • Contraintes sont:

  35. Interprétation géométrique de l’initialisation • Ecrire les contraintes avec x0

  36. Interprétation géométrique de l’initialisation • Ecrire les contraintes avec x0

  37. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire infaisable: x0 entre et x4 sort (b minimum)

  38. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire : x1 rentre et x0 sort Optimum X0=0 donc faisable

  39. Interprétation géométrique de l’initialisation • Dictionnaire global

  40. Simplex à deux phases • Phase 1 : résolution du problème auxiliaire. • Phase 2 : résolution du problème original. • Théorème fondamental. • Pour chaque problème LP: • Soit le problème est infaisable • Soit le problème n’est pas borné • Soit le problème a une solution optimale

  41. Simplex révisé Représentation compacte d’un dictionnaire. Forme Matricielle:

  42. Dualité Estimation de z > a z>5 avec (0,0,1,0) z>22 avec (3,0,2,0) …. Estimation de z <b ? Quel est le témoin?

  43. Dualité Montrons que z <275/3 2nd contrainte . 5/3 Donc z <275/3

  44. Dualité 2nd contrainte +3ème contrainte Donc z <58 Méthode systématique.

  45. Dualité Conditions pour que le membre gauche >

  46. Dualité On obtient donc:

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