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OLTRE GLI INTERI

OLTRE GLI INTERI. Obiettivi : Scoprire i numeri irrazionali Estrarre la radice quadrata di un numero Costruire segmenti di lunghezza √n Utilizzare la geometria per costruire segmenti di lunghezza √n

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OLTRE GLI INTERI

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Presentation Transcript

  1. OLTRE GLI INTERI Obiettivi : Scoprire i numeri irrazionali Estrarre la radice quadrata di un numero Costruire segmenti di lunghezza √n Utilizzare la geometria per costruire segmenti di lunghezza √n Approfondire la conoscenza di p e di e Scoprire le frazioni continue Contenuti : I numeri irrazionali Diagonale del quadrato √2 Diagonale del cubo √3 Costruzione di √n Teorema di Pitagora II teorema di Euclide Rettangoli reciproci Quadrature p , e , logaritmi Le frazioni continue

  2. Materiali Schede di lavoro Disegni Cartelloni Origami Sito web sui numeri irrazionali , su √2 , su √n, su p , su e, sulle frazioni continue Metodologie: Problem solving Cooperative learning Scoperta guidata Lavorare per progetti

  3. I numeri Irrazionali La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione dell'irrazionalità e di √ 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la √2 come frazione

  4. Pitagora dalla Scuola di Atene di Raffaello

  5. Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

  6. Possiamo dimostrare l'irrazionalità di √2 con un origami

  7. La diagonale del quadrato di lato 12 è 12 √2 che è molto vicino a 17 Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio 17/12 , la diagonale misurerebbe 17 ,  e piegando il lato sulla diagonale resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa 7 e cateti 5 , per cui √2 sarebbe anche 7/5 ,mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini,mentre qui 17/12 e 7/5 sono due numeri razionali distinti. Quindi √2 è un numero irrazionale

  8. Dimostrazione dell’irrazionalità di √2 Se √ 2 fosse un numero razionale , per esempio proprio m/n , la diagonale misurerebbe m,  e riportando il lato sulla diagonale mediante un arco di circonferenza, resterebbe un triangolo rettangolo isoscele di ipotenusa n-(m-n) = 2n-m e cateti m-n , per cui √2 sarebbe anche (2n-m)/(m-n) ,mentre un numero razionale ammette un'unica rappresentazione sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini,mentre qui m/n e (2n-m)/(m-n) sono due numeri razionali distinti. Quindi √2 è un numero irrazionale

  9. Altra dimostrazione dell’irrazionalità di √2 Se m e n sono i più piccoli numeri primi tra loro tali che m2 = 2 n2 sovrapponendo i quadrati di lato n, risulta anche n2= 2 (m-n)2 mentre m e n erano gli unici per cui valeva m2 = 2 n2 quindi √2 è un numero irrazionale

  10. Costruzione di un segmento di lunghezza √ n Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza unitaria , l'ipotenusa sarà √2, facciamo diventare questa ipotenusa il cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario, ora l'ipotenusa sarà √ 3, ora facciamo diventare questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto unitario , l'ipotenusa sarà ora √4 ,ecc.

  11. Applicazione del teorema di Pitagora √2 √3 √4 √5 √6 √7 √8 √9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

  12. Rappresentazione geometrica di √n 1

  13. Rettangolo reciproco Dato un rettangolo di lati a e b il suo reciproco è simile al primo essendo uguali i rapporti tra i lati

  14. Quando un rettangolo reciproco è la meta del rettangolo di partenza ? Occorre che a2/b = b/2 Ossia b/a = √2 Per esempio b= 2 √2 a = 2

  15. Il rettangolo verde è il reciproco di quello rosso 2 2√2 √2

  16. Se vogliamo che il rettangolo reciproco sia 1/3 del rettangolo ab occorre che a2/b= b/3 b/a= √3 a a b a2/b a2/b=√3/3 Per a=1 b=√3 Quindi…

  17. Per a=1 b=√3 √3/3 √3/3 √3/3 1 √3/3 √3

  18. In generale

  19. Applicazioni

  20. Catena di rettangoli reciproci

  21. Se vogliamo fogli di carta rettangolari aXb in modo tale che il foglio iniziale A0 abbia superficie di 1 m2 e ogni foglio diviso a metà per il lato lungo b dia due parti di formato uguale occorre che il rapporto sia b/a =√2 aXb = 1000000 mm2 b/a = √2 b = a √2 a2 √2 = 1000000 a = 841 mm b =1189 mm

  22. Ecco quindi le misure dei vari formati • A0 = 841 X 1189 • A1 = 841 X 594 • A2 = 420 X 594 • A3 = 420 X 297 • A4 = 210 X 297 • ecc…

  23. Duplicazione di un quadrato Il quadrato rosso ha area 2 a2 a2 a a/√2 a/√2 a/√2 a√2

  24. Duplicazione di un cerchio Dato un cerchio di raggio R l’area è pR2 Se vogliamo un cerchio di area doppia 2 pR2 occorre che il raggio r sia r = √2 R Ogni volta che vogliamo moltiplicare la superficie di un cerchio una, due, tre volte dobbiamo moltiplicare il raggio per Approsimativamente 1,41 2 2,8 4 5,64 8 11,28 16

  25. In fotografia √2 determina l’apertura degli obiettivi delle camere fotografiche utilizzando la sequenza delle potenze di √2 espresse in forma decimale : i numeri f

  26. Quadratura di un triangolo AP2 =bc Il quadrato scuro è la metà del quadrato di lato AP Il triangolo rettangolo scuro è equivalente al quadrato scuro

  27. Quadratura di un poligono Ogni poligono si può scomporre in tanti triangoli rettangoli, ognuno equivalente ad un quadrato e sommati costruiscono un quadrato grande di area pari all’area del poligono

  28. Lunula L + M = pR2/4 T + M = p R2/4 quindi L = T = Q Q R/2

  29. Quadratura della doppia luna ( L + M ) + ( L’ + M’ ) = M + M’ + T quindi L + L’ = T

  30. Dimostrazione geometrica di √(a+b) < √a+√b < in quanto in un qualunque triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due

  31. Applicazione del 2° teorema di Euclide AH ∙ HB = CH2 Se AH = 1 e HB = n CH =√n

  32. Da H tracciamo la perpendicolare ad AB che incontra la semicirconferenza in C. Il segmento CH ha lunghezza √n Dim   infatti per il II teorema di Euclide CH2= AH • HB Se AH = 1 BH = n CH = √n

  33. In architettura Parc Guëll dell’architetto Antonio Gaudì Le colonne su cui poggia la piazza del Parco Guëll sono centrate in una grata perfetta dove √2 è di fondamentale importanza

  34. Tavoletta YBC7289 –Collezione Università di Yale Un testo cuneiforme appartenente alla collezione di Yale contiene la figura di un quadrato , della diagonale del quadrato ed il rapporto tra la diagonale ed il lato che risulta una approssimazione della radice quadrata di 2 a meno di un milionesimo !! I numeri segnati sulla tavoletta sono sessagesimali e rappresentano il calcolo di √2 : 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603  = 1 + 0,4 + 0,014166667 + 0,000046296 = 1,41421296 ( √2 = 1,41421356..... )

  35. Metodo babilonese per il calcolo di √n I babilonesi usavano un metodo matematico per calcolare una buona approssimazione di √n Algoritmo babilonese per il calcolo della radice quadrata di a Sia a1 una approssimazione per difetto b1=a/a1 per eccesso a2=(a1+b1)/2 per eccesso b2= a/a2 per difetto a3=(a2+b2)/2 Clicca qui se vuoi lanciare il programma che calcola la √n col metodo babilonese

  36. Calcolo di √2 • a=2 • a1=1 approssimazione per difetto di √2 • b1= a/a1 = 2/1 • a2=(a1+b1)/2=(1+2)/2=1,5 • b2=a/a2=2/1,5 = 1,3 approssimata per difetto • a3=(1,5+1,3)/2= 1,4 ecc..

  37. La radice cubica di 2 Il Problema di Delo Delo è un'isola dell'arcipelago greco, patria di Apollo. Durante una pestilenza ad Atene , gli abitanti mandarono un emissario a chiedere all'oracolo di Apollo a Delo cosa fare. L'oracolo rispose che la pestilenza sarebbe cessata non appena gli Ateniesi avessero raddoppiato la grandezza dell'altare di Apollo. La pestilenza non cessò perchè gli Ateniesi non seppero costruire, con riga e compasso , unici strumenti che possedevano,un cubo di lato la radice cubica di 2 , per raddoppiare un cubo di lato 1 Oggi sappiamo che non è possibile con solo riga e compasso .

  38. x √3/2 1 1/2 1 1 y XY=1 Costruendo la figura avvicinando un esagono regolare di lato1 alla riga fino a toccarla in B,congiungendo X con A e Y con A si ottiene 1:x=y:2 Le regole di Euclide  non prevedono di  fare segni sulla riga, ma se si mettono due segni X e Y a distanza 1 sulla riga, con la costruzione della figura si costruisce un segmento YB di lunghezza radice cubica di 2   

  39. x √3/2 1 1/2 1 1 y XY=1 YB =x AX =y AD=2 1:x=y:2 xy=2 (*) BH= √3/2 AH=1/2 XH=y+1/2 XB=1+x  XB2=(1+x)2=XH2+BH2=(y+1/2)2+3/4 1+2x+x2=y2+y+1/4 +3/4 2x+x2=y2+y posto y=x2 che soddisfa la (*) 2x +x2=x4+x2 x4=2x x3=2 x=radice cubica di 2

  40. Altra costruzione per la radice cubica di 2: Mediante le coniche : mettendo a sistema l' iperbole xy=2 con la parabola y=x2 il punto di intersezione ha come ascissa la radice cubica di 2: xy=2 y=x2 y=2/x 2/x=x2 x3= 2     x=radice cubica di 2

  41. 1,26 è un’approssimazione della radice cubica di 2 1,58 è un’approssimazione della radice cubica di 4

  42. √3 Diagonale del cubo di lato 1 1 √3 1 √2 1

  43. Schede lavoro alunni • Disegnare il segmento √2 come diagonale del quadrato di lato 1 • Disegnare il segmento √3 come diagonale del cubo di lato 1 • Disegnare i segmenti √n con le due costruzioni suggerite • Calcolare la √2 col metodo babilonese • Costruire un segmento radice cubica di 2

  44. Il numero p Per definizione è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro di conseguenza anche : la lunghezza di una circonferenza di diametro1, oppure l'area di un cerchio di raggio 1. Fin dai Babilonesi si è tentato di calcolare un valore approssimato di p Archimede ottenne un'approssimazione di p calcolando l'area di un poligono di 96 lati, inscritto in un cerchio di raggio 1

  45. (Inizio del Trattato "Misura del Cerchio"nell'edizione di Basilea dell'opera di Archimede(1544)

  46. L'astronomo cinese Tsu Ch'ung chih (nato nel 430 d.C.) aveva trovato come approssimazione 22/7 ed una più accurata 355/113; il grande matematico indiano Brahmagupta(600 d.C.) aveva calcolato come approssimazione di p la radice di 10 

  47. Partendo dalla considerazione che la successione numerica delle aree dei poligoni di 4 ,8,16 ecc.. lati inscritti in un cerchio di raggio 1  tende a p

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