Świat Fraktali

1. Świat Fraktali

2. Co to jest fraktal? • Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie, ale opisany prostymi równaniami, które powtarza się wiele razy. • Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką jest ich nieskończone samopodobieństwo. Oznacza to, że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego znaczną część.

3. Definicje • Fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar topologiczny jest różny (mniejszy) od wymiaru Hausdorffa. • Fraktal to obiekt samopodobny, o wymiarze ułamkowym. Jak za niedługo się okaże, fraktal wcale nie musi mieć wymiaru równego dwa czy trzy.

4. Podział fraktali

5. Fraktale Sierpińskiego • Również polski matematyk, Wacław Sierpiński zajmował się tego typu figurami. • Fraktalami Sierpińskiego nazywamy:- Dywan Sierpińskiego- Trójkąt Sierpińskiego- Piramidę Sierpińskiego • Z czasem powstało wiele wariacji tych figur i powstały zbiory o bardziej skomplikowanej budowie.

6. Dywan Sierpińskiego • Krok 1: Kwadrat o boku a dzielimy na 9 części i usuwamy środkową częśc.

7. Dywan Sierpińskiego Krok 2 i dalsze: Postępujemy tak samo z kolejno powstającymi kwadratami.

8. Dywan Sierpińskiego Oto figura po 5 krokach

9. Dywan Sierpińskiego • Po nieskończenie wielu krokach z początkowej figury powstaje zbiór punktów • Pole Dywanu Sierpińskiego (jak i innych jego fraktali) jest równe zero • Liczbę „dziur” po n-tym przekształceniu można obliczyć ze wzoru: • Przekształcając trójkąt czy czworościan w podobny sposób otrzymujemy inne fraktale Sierpińskiego:

10. Trójkąt Sierpińskiego

11. Piramida Sierpińskiego

12. Krzywa i Płatek Koha • Twórcą tego fraktala jest Hegle von Koch, szwedzki matematyk. • Dany odcinek dzielimy na trzy części i usuwamy środkową. W to miejsce wstawiamy trójkąt równoboczny, pozbawiony podstawy

13. Krzywa i Płatek Koha • Tak postępujemy dla każdego z czterech powstałych odcinków.

14. Krzywa i Płatek Koha • Oto figura po 5 przekształceniach. • Krzywa ma teraz 1024 boki

15. Płatek Koha • Płatek Kocha powstaje po połączeniu trzech krzywych Kocha pod kątem 60°, “chropowatą” stroną na zewnątrz. • Innymi słowy każdy z boków trójkąta równobocznego traktujemy jak „podstawę” krzywej Koha. • Płatek ma nieskończony obwód ale skończone pole, wynosi ono

16. Płatek Koha

17. System IFS • System IFS (z ang. iterated function system- system funkcji iterowanych) wykorzystuje przekształcenia afiniczne do konstrukcji fraktali. • Odpowiednio dobrane współczynniki tego układu równań powodują, że kolejne obrazy punktów zbiegają się do punktu stałego.

18. System IFS • Przekształcenie które zbliża punkty do punktu stałego nazywamy przekształceniem zawężającym. • Metoda polega na stosowaniu kilku przekształceń w pętli a przekształcenie,które w danym momencie będzie zastosowane dla punktu jest losowane. • Algorytm tej konstrukcji jest bardzo prostyw porównaniu ze zbiorami punktów jakie można otrzymać co potwierdza jedną z podstawowych właściwości fraktali: prosty wzór- skomplikowana budowa.

19. Fraktale IFS • Istnieje bardzo wiele fraktali IFS • Również wcześniej przedstawione fraktale można otrzymać na drodze funkcji IFS • Przykłady:- Smok Heighwaya- Smok Levyego- Kostka Mengera- Paproć Bransleya- i wiele, wiele innych

20. Smok Heighwaya

21. Smok Levyego

22. Kostka Mengera

23. Zbiór Julii • Francuski matematyk Gaston Julia zastosował do swoich badań przestrzeń zespoloną. • Oprócz liczb rzeczywistych operujemy tutaj liczbami zespolonymi a zamiast przekształceń afinicznych ciągami wielomianów zespolonych • Zbiór Julii opisuje równanie:gdzie c to pewna ustalona stała zespolona

24. Zbiór Julii - konstrukcja • Ustalamy koło, w którym nasz zbiór musi się zmieścić • Wybieramy punkt leżący wewnątrz koła • Obliczamy L pierwszych wyrazów ciągu dla tego punktu i badamy jego zbieżność • Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończoności, kolorujemy punkt który badaliśmy

25. Zbiór Julii - konstrukcja • Czerwony ciąg mieści się w kole, więc postawilibyśmy punkt o współrzędnych z0

26. Zbiór Julii • Jeżeli postąpimy tak z każdym punktem znajdującym się wewnątrz koła otrzymamy zbiór Julii • Stała c jest bardzo ważna. • W zależności od jej wartości, zbiór będzie spójny lub nie.

27. Niespójny zbiór Julii

28. Spójny zbiór Julii

29. Zbiór Mandelbrota • Zbiór Mandelbrota to zbiór tych punktów c dla których Zbiór Julii jest spójny • Zbiór Mandelbrota jest tylko jeden, natomiast zbiorów Julii jest nieskończenie wiele • Zbiór ten jest uznawany za najbardziej skomplikowaną strukturą znaną człowiekowi

31. Zbiór Mandelbrota • Zbiór ten, jest zadziwiającym przykładem samopodobieństwa • Powiększając fraktal olbrzymią liczbę razy natrafiamy wciąż na bardzo podobne lub wręcz identyczne fragmenty • Jedyną granicą jest moc obliczeniowa komputera który generuje fraktal

32. Powiększenie 210 350x

33. Powiększenie 5 141 100 000x

34. Powiększenie 248 034 982 258x

35. Filmy ze zbioru Mandelbrota • Następne trzy krótkie filmy prezentują właściwości zbioru Mandelbrota • Pierwszy: generację zbiorów Julii z różnych miejsc (wartość c) zbioru Mandelbrota • Drugi: krótka podróż wgłąb zbioru Mandelbrota • Trzeci: bardzo szybkie powiększanie zbioru Mandelbrota

39. Inne zbiory tego typu • Istnieje wiele zbiorów powstających na płaszczyźnie zespolonej • Najważniejsze i najciekawsze z nich to:- wstęga Newtona- „Płonący statek”- „Magnet”- „Phoenix” • Istnieje też wiele wariacji zbiorów Mandelbrota i Julii

40. „Płonący statek” • Na kolejnym obrazku powiększenie zaznaczonego fragmentu

42. Metody kolorowania • Powyższe przykłady używały tylko kolorowanie zewnętrznego, istnieje też kolorowanie wewnętrzne • Najprostszym sposobem kolorowania jest oznaczanie tym samym kolorem punktów powstałych przy tej samej iteracji • Najczęściej do tego celu używa się wielokolorowych gradientów

43. Wymiary fraktali • Pojęcie wymiaru w matematyce nie jest takie jednoznaczne • Najprostsza definicja to wymiar topologiczny – wymiar który określamy intuicyjnie ( prosta – 1 wymiar, kwadrat – 2 wymiary, itd.) • Do opisywania fraktali stosuje się wymiar Hausdorffa

44. Wymiar Hausdorffa • Przeanalizujmy pewne zależności między skalą podobieństwa a wymiarem • Odcinek, powiększony dwukrotnie mieści dwa wyjściowe odcinki:

45. Wymiar Hausdorffa • Kwadrat powiększony dwukrotnie, mieści cztery wyjściowe kwadraty • Innymi słowy jego pole jest czterokrotnie większe

46. Wymiar Hausdorffa • Postępując podobnie z sześcianem, zwiększamy jego objętość ośmiokrotnie

47. Wymiar Hausdorffa • Jak wiadomo kwadrat skali podobieństwa jest równy stosunkowi pól (a sześcian, objętości), czyli ogólnie: • Gdzie:N – stosunek pola/objętościs – skala podobieństwad - wymiar

48. Wymiar Hausdorffa • Wyprowadzając z tego wzoru d otrzymujemy: • Gdzie:N – stosunek pola/objętościs – skala podobieństwad – wymiar • Otrzymaną równość nazywamy wymiarem Hausdorffa

49. Wymiary Fraktali • Krzywa Koha: • Trójkąt Sierpińskiego: • Dywan Sierpińskiego: • Zbiory Julii Mandelbrota maja wymiar 2

50. Fraktale a natura • Benoit Mandelbrot miał powiedzieć: „Wszystko jest fraktalem”, uważał, że kształty takie jak koło czy kwadrat nie istnieją w naturze • Okazuje się że wiele naturalnych rzeczy ma cechy fraktali:- chmury- skały- cząsteczki DNA- kryształy niektórych związków chemicznych- rośliny jak paproć czy drzewa- i wiele innych