1 / 17

SUB GRUP

SUB GRUP. Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup. Lemma 2.4.1. Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika Jika a, b H maka ab H

zeke
Télécharger la présentation

SUB GRUP

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SUB GRUP Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.

  2. Lemma 2.4.1 Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika Jika a, b H maka ab H Jika a H maka H

  3. Lemma 2.4.2 Jika H adalah sub himpunan tak kosong hingga dari grup G dan H tertutup terhadap operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup dari G.

  4. Contoh Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, H sub himpunan yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan bahwa H sub grup dari G. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub grup untuk setiap n. Apa yang dapat dikatakan dengan H(n)H(m)?

  5. Contoh 3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S) himpunan dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S pada S. Jika x0 S, misalkan H(x0)={A(S): (x0)=x0}. H(x0) adalah sub grup dari A(S). Jika x1  x0 S kita definisikan dengan cara yang sama H(x1), H(x0) H(x1) sub grup dari A(S) 4. Misalkan G grup, aG. Misalkan (a)={ai:i bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G 5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup dari G

  6. Contoh 6. Misalkan G grup dari matriks bilangan real 2x2, dengan ad-bc  0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan maka H adalah sub grup dari G. Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan maka K sub grup dari H. Misalkan G grup dari semua bilangan kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real tidak keduanya nol) dibawah operasi perkalian, dan misalkan H={a+biG:a2 + b2 =1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G

  7. definisi Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk a,bG kita katakan a kongruen b mod H, ditulis ab mod H jika ab-1H

  8. Lemma Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen

  9. definisi Jika H adalah sub grup dari G, aG, maka Ha={ha:hH}. Ha disebut koset kanan dari H dalam G.

  10. lemma 1. Untuk setiap aG, Ha={xG:ax mod H}. 2. Terdapat korespondensi satu-satu diantara dua koset kanan dari H dalam G. 3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub grup dari G, maka (H) adalah membagi (G).

  11. definisi Jika H adalah sub grup dari G, maka index dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dalam G. (notasi iG(H)) Jika G grup dan aG, maka order (atau periode) dari a adalah bilangan positif terkecil m sedemikian sehingga am=e.

  12. akibat Jika G adalah grup hingga dan aG, maka (a)(G). Jika G adalah grup hingga dan aG, maka a(G)=e Jika n bilangan bulat positif dan a adalah relatif prim ke n, maka a(n) 1 mod n Jika p bilangan prima dan a sembarang bilangan bulat, maka ap a mod p. Jika G grup hingga yang mempunyai orde suatu bilangan prima, maka G adalah grup siklis.

  13. A counting principle Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH Jika H, K adalah subgrup dari grup komutatif, maka HK adalah subgrup dari G. Jika H dan K subgrup hingga dari G dengan orde (H) dan (K) masing-masing, maka Jika H dan K adalah subgrup dari G dan (H)> , (K)> , maka

  14. Subgrup normal dan grup hasil bagi DEFINISI Subgrup N dari G dikatakan subgrup normal dari G jika untuk setiap gG dan nN, gng-1N

  15. Lemma N adalah sub grup normal dari G jika dan hanya jika gNg-1=N untuk setiap gG. Subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G. Suatu subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika perkalian dari dua koset kanan dari N dalam G adalah juga koset kanan dari N dalam G

  16. teorema Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G, Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini disebut grup hasil bagi atau grup faktor

  17. lemma Jika G adalah grup hingga dan N adalah subgrup Normal dari G, maka (G/N)=(G)/(N).

More Related