Optimaliseren van oppervlakten en lengten

1. Optimaliseren van oppervlakten en lengten Bij het aantonen dat een formule juist is moet je stap voor stap de formule afleiden. Je mag je niet beperken tot het geven van een aantal getallenvoorbeelden. 15.1

2. a opgave 4 en b geeft dus De maximale oppervlakte

3. c opgave 4 met geeft De minimale lengte van OP is

4. a opgave 9 b geeft kwadrateren geeft voldoet De maximale waarde van L is 15.1

5. Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten opgave 17a

6. opgave 17b geeft geeft geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro

7. K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y· 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200 opgave 20a

8. opgave 20b geeft geeft geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈2324 euro

9. geeft opgave 20c Voer in De optie intersect geeft x≈ 52,60 en x ≈ 114,1 geeft geeft Aangezien Soede de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

10. opgave 21 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h = De materiaalkosten zijn K = πr2· 1 + πr2· 2 + 2πr· 1 · 2 + 2πrh· 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. 500 πr2 mantel onderkant bovenkant rand van deksel 500 πr2 1000 r K 1000 x b 445,1 r 3,5

11. opgave 23abc a AC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x b Pythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) cO = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 г l l D x

12. Opgave 24 200-x

13. a opgave 25 K = kosten AB’+ kosten BB’ ≈68 852 euro b AC : BC = 2 : 1 AC + BC = AB K = kosten AC + kosten BC ≈68 028 euro 15.2

14. c opgave 25 K = kosten AP + kosten BP Voer in De optie minimum geeft x≈ 424 en y = 65 721 De minimale kosten zijn 65 721 euro. 15.2

15. Opgave 26

16. Opgave 27

17. Opgave 28

18. Harmonische trillingen • Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een • harmonische trilling van de projectie P’ van P op de y-as. • Omlooptijd is trillingstijd bij trillingen • Frequentie in hertz is het aantal trillingen per seconde. • Amplitude is maximale uitwijking bij trillingen • Bij een harmonische trilling met amplitude b en frequentie f • hoort een formule van de vorm u = b sin(c(t – t0)) met • c = 2πf en t de tijd in seconden. • Op t = t0 wordt de evenwichtsstand stijgend gepasseerd. • De trillingstijd is seconde. 15.3

19. a opgave 31 amplitude 10 geeft b = 10 frequentie 3 geeft c = 3 · 2π = 6π uP = 10sin(6πt) met t in seconden en uP in cm. faseachterstand en trillingstijd geeft met t in seconden en uQ in cm. b geen opl. t op geeft

20. c opgave 31

21. Trillingen met gelijke frequentie • Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer • trillingen. • De formule van de samengestelde trilling u = u1 + u2 met u1 en u2 • harmonische trillingen met gelijke frequentie en gelijke amplitude is te • herleiden tot de vorm u = b sin(c(t – d)). 15.3

22. a opgave 38 b De maximale snelheid is mm/s ≈ 24 km/uur

23. a opgave 42 b c d

24. Parametervoorstellingen van Lissajous-figuren • Een lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt • aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. • We bekijken Lissajous-figuren beschreven door een parametervoorstelling • van de vorm • Deze parametervoorstelling hoort bij een punt dat gelijktijdig een • harmonische trilling uitvoert in de richting van de x-as en van de y-as. 15.4

25. In de x-richting 2 periodes, dus a = 2. In de y-richting 3 periodes, dus b = 3. x = sin(2t) x is maximaal voor x is minimaal voor x = 0 voor y = sin(3t) y is maximaal voor y is minimaal voor y = 0 voor a opgave 50 b 15.4

26. In de x-richting 3 periodes, dus a = 3. Voor en is y = 0 dus opgave 54 hoort de kromme van figuur 15.38 hoort de kromme die het spiegelbeeld van de kromme van figuur 15.38 is bij spiegelen in de x-as.

27. a opgave 59 De keerpunten zijn (2, -1) en (2, 1).

28. y = ax2 + b door (0, –1) y = ax2 – 1 door (2, 1) Vermoedelijk hoort bij K de formule met Substitutie van x = 2 sin(t) en in geeft b opgave 59 –1 = a· 02 + b b = –1 dus y = ax2 – 1 1 = a · 22 – 1 2 = 4a a = Dit klopt voor elke t. Bij K hoort de formule met

31. a opgave 66 15.5

32. b opgave 66 15.5

33. c opgave 66 geeft Voor is ABCD een rechthoek en is Dus de formule klopt ook voor Voer in d De optie intersect geeft x≈ 64 en x ≈ 138. geeft De optie maximum en y1 geeft x≈ 103 en x ≈ 51,5. De oppervlakte is maximaal voor e 15.5

38. a opgave 70

39. b opgave 70 Stel cos(x) = p 8p2 + 5p – 4 = 0 D = 52 – 4 · 8 · –4 = 153 geen opl.

40. b opgave 70 x op geeft x≈ 1,092 De oppervlakte is maximaal bij een hoek van

44. Snelheid en integraal • Bij een tijd-afstandformule is de formule van de snelheid v • de afgeleide van s. • Dus s’ = v. • Hieruit volgt dat s een primitieve is van v en • dat de afgelegde afstand gedurende een • tijdsinterval gelijk is aan de bijbehorende • oppervlakte onder de grafiek van v. • Algemeen geldt bij een functie f dat • Voor elke functie f met afgeleide f’ geldt dan 15.6

45. a opgave 79 geeft geeft De minimale hoeveelheid geleverd drinkwater is De maximale hoeveelheid is = 132 m3 per uur = 900 m3 per uur

46. De totale hoeveelheid drinkwater die op één dag geleverd wordt is Voer in De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft b opgave 79 ≈ 13 200 m3

47. c opgave 79 De optie fnInt (TI) of ∫ dx (Casio) geeft geleverde hoeveelheid = 8000 geeft Voer in De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 14,92 Dus om 14.55 uur is er 8000 m3 water geleverd.

48. Zwaartepunt en integraal • Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt • en wordt ingesloten door de grafiek van f, • de x-as en de lijnen x = a en x = b is de • x-coördinaat van het zwaartepunt • In figuur 15.62 wordt het vlakdeel V ingesloten • door de grafieken van f en g. • In dit geval is opp. van V

49. opgave 82 x3 = 8 geeft x = 2 Dit geeft

50. opgave 87