1. Chapter Three The Discrete Fourier Transform

2. 傅里叶变换 • 傅里叶变换——连续时间、连续频率 • 傅里叶级数——连续时间、离散频率 • 离散时间傅里叶变换——离散时间、连续频率 • 离散傅里叶变换——离散时间、离散频率

3. ¥ ò - W W = j t X ( j ) x ( t ) e d ( t ) - ¥ ¥ ò W = W W j t x ( t ) X ( j ) e d ( ) - ¥ 傅里叶变换 连续时间、连续频率

4. 傅里叶级数 连续时间、离散频率

5. 离散时间傅里叶变换 离散时间、连续频率

6. 离散傅里叶变换 离散时间、离散频率

7. 内容 • 3.1 理解 DFT公式 • 3.2 DFT的对称性 • 3.3 DFT的线性 • 3.4 DFT的幅值 • 3.5 DFT的频率轴 • 3.6 DFT的移位理论 • 3.7 DFT的反变换 • 3.8 DFT的频谱泄漏

8. 内容 • 3.9 窗函数 • 3.10 DFT的栅栏效应 • 3.11 DFT的分辨率、补零、频域采样 • 3.12 DFT的增益 • 3.13 矩形函数的DFT • 3.14 复数输入的DFT • 3.15 实余弦输入的DFT

9. 引言 一、数字信号处理领域常见问题： • 离散傅立叶变换 • 滤波器设计 二、离散傅立叶变换的作用 DFT is a mathematical procedure used to determine the harmonic, or frequency, content of a discrete signal sequence.

10. 三、连续傅里叶变换的定义： Fourier’s theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensable instrument in the treatment of nearly every recondite question in modern physics.

11. 四、离散傅里叶变换公式：

12. Euler关系式： 3.1 理解 DFT公式 一、导出DFT公式的另一种表达式

14. N取值范围往往从0到（Ｎ-1），频域输出是在N个等间隔分布的点上。N取值范围往往从0到（Ｎ-1），频域输出是在N个等间隔分布的点上。 • With N input time-domain sample values, the DFT determines the spectral content of the input at N equally spaced frequency points.

15. The value N is an important parameter because it determines how many input samples are needed, the resolution of the frequency-domain results, and the amount of processing time necessary to calculate an N-point DFT. N是一个重要参数，它决定需输入的样本个数、频域的分辨率、计算N点DFT所需的处理时间。

16. 二、举例：

19. 从上例可看出： • Each X(m) DFT output term is the sum of the point for point product between an input sequence of signal values and a complex sinusoid of the form . 每个DFT的输出是输入序列与正弦曲线 （ ） 对应点的乘积和。

20. The exact frequencies of the different sinusoids depend on both the sampling rate fs, at which the original signal was sampled, and the number of samples N. • 输出的各个分解频率取决于采样频率和采样数目：

21. 例如：采样率为500samples/s，采样点数为16，则基本频率为500/16=31.25Hz例如：采样率为500samples/s，采样点数为16，则基本频率为500/16=31.25Hz

22. Imaginary axis(j) 0 Real axis • X(m)代表相应频率的幅值；DFT的输出形式也代表输入信号所包含各分解频率的相位关系。 • 三、幅度和功率，如图3-1所示：

24. 3.1.1 DFT Example 1 • 加入对含频率成分1kHz、2kHz连续输入信号进行采样和8点DFT变换：

26. 图3-2、图3-3

33. 图3-4

35. 从上例可知 • 1、 X(0)是x(n)均值的N倍。 • 2、任一X(m)不过是输入信号样本序列和余弦、正弦函数序列的逐项乘积和，这些余弦、正弦函数的频率可表示成包含N个样本的总时间长度中的正弦或余弦周期的个数m。 • 3、实数输入样本的DFT输出是对称。

36. 第三章作业1 • 一、直接计算序列x(n)=[1,2,3,4]的4点DFT输出X(m) • 二、上题用matlab实现，画出幅度、实部、虚部和相位图。

37. 3.2 DFT的对称性 • 一、对于实数输入 • 第m个DFT输出的幅值等于第(N-m)个DFT输出的幅值； • 第m个DFT输出的相位等于第(N-m)个DFT输出相位的负数；

38. Even symmetry Even symmetry Odd symmetry Odd symmetry

39. 对实数输入在执行N点DFT变换时，N个输出中，只有前N/2个是独立的。所以计算DFT时，只需计算前N/2项，此时0m (N/2)-1。 二、导出过程：

41. 三、DFT对称性补充： • 当输入是偶对称的实数即x(n)=x(-n)，则DFT输出的实部是偶对称，虚部是0 即Ximag(m)=0 ； • 当输入是奇对称的实数即x(n)=-x(-n) ，则DFT输出的实部是0即Xreal(m)=0，虚部奇对称。

42. 3.3 DFT的线性

43. 3.4 DFT的幅值 • 一、当输入为实数，且输入的N个样本中包含整数个周期的正弦波形（幅值为A0）时，DFT输出的幅值为Mr,则

44. 二、当输入为复数，且输入的N个样本中包含整数个周期的复正弦波形（A0ej2ft）时，DFT输出的幅值为Mc,则：二、当输入为复数，且输入的N个样本中包含整数个周期的复正弦波形（A0ej2ft）时，DFT输出的幅值为Mc,则：

45. 三、当输入为直流信号，即DC=D0，DFT输出中的X(0)的幅值为MD：三、当输入为直流信号，即DC=D0，DFT输出中的X(0)的幅值为MD：

46. 例如 对输入中的1000Hz的信号来说，8点DFT的幅值：

47. 四、其他DFT表示形式： • 在用软件或浮点硬件进行DFT时，幅值问题不是特别重要；但在使用定点硬件进行DFT时要注意DFT的输出幅度将会是输入幅度最大值的N/2倍，这意味着硬件寄存器应能存放大小为输入最大值N/2倍的数。 • 其他DFT表示

49. 3.5 DFT的频率轴 • DFT的输出频率分辨率取决于时域采样频率和DFT的点数。

50. 小节 • 各个DFT 输出项是输入时域序列与表正弦、余弦波的序列的逐项乘积和； • 对于实数输入，N点 DFT的输出只有前 N/2 项是独立的； • DFT是线性运算； • DFT输出幅度与N成比例； • DFT’s 频率分辨率是fs/N。