DETERMINANTES

1. Departamento de Matemáticas DETERMINANTES Autora: Mª Soledad Vega Fernández Presentación adaptada al libro de texto Matemáticas II de Anaya Ed. 2003

2. Departamento de Matemáticas Contenidos • Concepto de determinante. • Propiedades de los determinantes. • Menor complementario. • Adjunto de un elemento. • Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. • Rango de una matriz a partir de sus menores.

3. Departamento de Matemáticas Determinante de una matriz cuadrada de dimensión 2 x 2 (orden 2) Es un número asociado a la matriz, que se obtiene de la forma : Ejemplo:

4. Departamento de Matemáticas Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 (Regla de Sarrus) Es un número que se obtiene sumando todos los productos de 3 factores, uno de cada fila y uno de cada columna, obtenidos de la siguiente forma: Son positivos los productos: Son negativos los productos:

5. Departamento de Matemáticas Determinante de una matriz cuadrada de ordennmayor o igual que 4 Es un número que se obtiene sumando todos los productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, afectados de signo + o – siguiendo un criterio relacionado con los subíndices de dichos elementos. Por tanto, cuantos más ceros haya en la matriz, más fácil (y rápido) será el cálculo de su determinante. Es más fácil de calcular que:

6. Departamento de Matemáticas Determinante de una matriz cuadrada de ordennmayor o igual que 4 Pero, en general, calcular un determinante de este tipo utilizando la definición sería complicado. Por tanto, utilizando las propiedades, buscaremos la forma de transformarlo en otro que sea más sencillo de calcular.

7. Departamento de Matemáticas DETERMINANTES: PROPIEDADES 1º: El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. 2º : Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0. 3º : Si en una matriz cuadrada se permutan dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo. 4º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero.

8. Departamento de Matemáticas DETERMINANTES: PROPIEDADES 5º: Si en una matriz cuadrada, multiplicamos todos los elementos de una línea por el mismo número, k, su determinante queda multiplicado por ese número. 6º: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es 0. 7º: Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de otros dos de la forma:

9. Departamento de Matemáticas DETERMINANTES: PROPIEDADES 8º: Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de otras (u otra) paralelas, su determinante no varía. 9º: Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, entonces su determinante es 0. Y recíprocamente, si un determinante es 0, tiene una fila (y una columna) que es combinación lineal de otras filas (columnas). 10º: El determinante del producto es igual al producto de los determinantes. det (A · B) = det (A) · det (B)

10. Menor complementario de es el determinante de la matriz que queda al suprimir la fila i y la columna j en las que se encuentra dicho elemento. Adjunto de es el menor complementario de afectado del signo + o -, según que la suma i + j sea par o impar. Departamento de Matemáticas Menor complementario y Adjunto de un elemento Dada una matriz A = se definen:

11. Departamento de Matemáticas DETERMINANTES: PROPIEDADES 11º: Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea:El determinante de una matriz A es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos. 12º: La suma de los productos de los elementos de una línea por los respectivos adjuntos de otra paralela es igual a cero.

12. F 1 3 4 5 1 3 4 5 1 + - F F 1 3 8 0 0 6 12 5 2 1 = = = - - - - F 9 F 9 11 13 17 0 16 23 28 3 1 - - - - F 4 F 4 7 10 2 0 5 6 18 4 1 Departamento de Matemáticas Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea Si utilizamos las propiedad 8ª para “crear ceros”:

13. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

14. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

15. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

16. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

17. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

18. Departamento de Matemáticas CÁLCULO DE DETERMINANTES

19. Es decir: La condición n. y s. para que es que alguna fila pueda ponerse como combinación lineal de las demás. Las filas (o columnas) de A son l. i. Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz A, cuadrada, sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes. Rango de una matriz A es el mayor orden de sus menores no nulos.

20. b) Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores: Ejemplos

21. a) Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores: Ejemplos

22. Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores: Ejemplos

23. Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores: Ejemplos

24. cuando Departamento de Matemáticas Rango de una matriz por menores: Ejemplos