第二單元：機率概論

第二單元：機率概論

日常生活中常見的機率問題 在日常生活當中，我們經常會面對許多機率的問題，例如： ◆老英、小英兩人當選下一任總統的機率（probability）各有多大？ ◆尼克隊林書豪出賽獲勝的機率有多高？ ◆飛機與汽車出事的機率究竟誰高？ ◆購買樂透獲得頭獎的機率有多大？ ◆為何某香腸攤老闆開18點的機率較大？

為何需要機率 • 現在激烈競爭的社會中，人們對許多不確定的事件”對這些不確定事件須利用機率理論來協助解決。不確定越高，越需要機率理論。 • 因為你不是上帝，所有事件都具有不確定性，其發生的可能性的大小，必需利用機率才能回答。 • 什麼是機率？與我們日常所說的機遇或機會（chance）其意義是否相同？一般而言，機率是長期不斷重複某種機遇現象所得到的規律模式而以數學來表示者。現實世界裡，許許多多事件的發生是不確定的，機率就是用來表示發生某事件的可能性的大小。

統計學與機率 • 統計學探討如何由母體抽取樣本，並從樣本統計量去推論母體參數。而在抽樣時，到底會出現哪一個樣本，必須利用機率才能得知。當我們知道樣本出現機率的大小時，我們就可以利用它來推論母體。 • 機率理論的基礎，包括隨機實驗、機率的意義、種類，以及事件的性質與機率的計算及各種機率分配等。

隨機實驗 • 先談談與機率論有關的隨機實驗 • 隨機實驗是一種過程(process)，是一種不能確實預知會發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可能的結果之一，但實驗前並未能正確的、肯定的預知會出現何種結果。隨機實驗可重複進行，而經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某些規則。 • 例如擲一枚銅板或3顆骰子，其可能出現的結果，已早為世人所知，在”特殊情況下”，出現的結果會遵循某些規則(總是開大頭或18點)，輸贏隨即決定，此時老闆與賭客便已完成了一次「隨機實驗」。

隨機實驗、出象與樣本空間 • 隨機現象的任一結果的機率是在0與1之問的一個數字，此一數字是重複無限次之後該結果的比例。

擲銅板是個隨機實驗？ 隨機是指一個現象事先無法預知是否發生，但在長期多次重複實驗之後，該現象的發生會出現有規則的型態。為什麼「拋擲銅板」是「隨機實驗」呢？因為在完成拋擲前·可能出現的結果大家已經知道，不是「大頭」，就是「10元」，沒有第3種可能。縱使如此，卻沒有人有百分之百的把握猜中拋擲的結果。該實驗可一再重複，並在多次實驗後，出現「正面」和「反面」的次數會逐漸趨於相等。若不斷繼續實驗下去，兩種結果的出現次數會愈加趨近(這是統計的結果)，機會各一半，且不會有明顯的變化。(但你還是不確定下一次出甚麼)

基本名詞 • 與隨機實驗有關的基本概念包括基本出象(elementaryoutcome)、樣本空間(samplespace)及事件(event)。 • 基本出象-隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象，又稱為樣本點。擲銅板有兩個基本出象，即「正面」與「反面」。 • 樣本空間-隨機實驗中，所有可能出象的集合稱為樣本空間，通常以英文大寫字母S表示之。擲2次銅板的樣本空間包括「正正」、「正反」、「反正」與「反反」。

打香腸樣本空間 • 傳統的香腸攤子目前在都市裡雖已經少見，但在純樸的鄉鎮仍偶爾可看到。打香腸的玩法是擲3粒骰子比點數的大或小。3粒骰子擲入碗中，其可能的基本出象為，(111),(112)，…，(666)，根據乘數定理有6x6x6=216個可能結果，其中的任何一個都是樣本點，全體合起來就稱為樣本空間。 • 但通常比的都是3粒骰子的點數和，從3,4點一直到18點都是可能的結果，其中任何一種點數都是一個樣本點，3,4，…，18就稱為樣本空間，可以S={3,4，…，18｝表示之。

事件 • 樣本空間的部份集合稱為事件。 • 事件有兩種：一種是簡單事件(simple event)；另一種是複合事件(composite event）。 • 簡單事件-事件只包含一個基本出象者稱之。 • 複合事件-事件包含二個(含)以上基本出象者稱之。 • 例如擲一個骰子，令A為出現偶數點數者，則A為一事件，表為A＝{2,4,6}，此為複合事件。令B為骰子點數為「3」，表為B={3}，此為簡單事件。 • 令C為二個骰子點數和為「13」者，則C亦為一事件但卻是一個空集合的簡單事件，因為二個骰子的點數和不可能有為13的出象。

計算樣本點的法則 在計算隨機實驗可能出現的結果（樣本空間）時可利用下面的計算法則： • 乘數定理設一隨機實驗包含k個實驗E1，E2 ，…，En。，若每一實驗Ei有ni種結果，i=l,2，…，k，則該隨機實驗有n1×n2×n3…×nk種可能結果。 • 排列(permutation) 自一個含有n個元素的集合中，一次抽取r個元素（或每抽取一個，抽出不放回，連續抽取r個），則共有個不同排列的樣本組，公式為： ==n*(n-1)*…*(n-r+1) 例:電腦開機密碼的設定電腦為了保密，資訊室都會要求使用者都設有密碼。並且限定資安規則，現要求密碼設定4個數字的長度，問有幾種方式可設定？若要求4個數字皆不相同，則有幾種方式可設定？ Ans: 若無特殊要求，則根據乘數定理有10×10×10×10=10000種方式可設定。若要求4個數字皆不相同，則共有個＝10×9×8×7=5,040種方式可設定。

計算樣本點的法則(續) • 組合（combination) 自一個含有n個元素的集合中，一次抽取r個元素，若不考慮順序，則共有個不同組合，其公式為： == 例: 6/38樂透彩中獎的組合台灣的樂透彩頭獎為彩券號碼38個中選6個號碼。有多少種組合可供選擇? ==，一注50元，從頭到尾包牌要花138034050元

HW2-1 • 前例的樂透彩每次開獎6碼加1特別號，式計算基於上述號碼的頭獎、貳獎、參獎、肆獎、普獎各有多少種組合?

三種機率理論 • 用理論來說明解釋機率，因機率是指事件發生可能性的大小，機率論則是討論如何解釋事件的機率以及機率運算所遵循的一些法則，藉此我們可以對不確定事件的發生做預測及做出適切的決策。 • 解釋機率的理論主要有三種: (1)古典的機率理論 (2)客觀的機率理論 (3)三個是主觀的機率理論。

古典的機率理論 又稱為先驗的機率理論(Prior Probability)，它是指若在某一隨機實驗中，有N種互相排斥且同等可能出現的出象，則任一出象E發生的機率，以P(E)表示為為何叫先驗? 這種機率理論源於賭博遊戲，我們都假定隨機實驗中，各種可能的基本出象出現的機率完全相同。例如擲一枚銅板，如果銅板無偏的話，則出現正面的機率與出現反面的機率相同，皆為1/2。又如擲一枚骰子，各個樣本點1,2,3,4,5,6出現的機率均相等，同為l/6。這兩種機率（l/2,1/6）在事前已經知道，所以稱為先驗（先知）的機率。

案例 Ex:投擲一粒骰子，出現偶數（2,4,6）的機率是多少？投擲一粒骰子有6個基本出象1,2,3,4,5,6，這6個基本出象有同等的出現機率(1/6）。設A為骰子出現偶數的「事件」，則事件A包含2,4,6三個「出象」，每一出象的機率均相等。根據古典機率理論，事件A的機率為：

古典的機率理論(續) 先驗的機率理論必須假定N種互相排斥且有同等可能出現的出象。然而，在現實的社會中，很多事件的出現機率不能用先驗的機率來解釋。例如: 明天下雨的機率為何？出象有(下,不下)，但這2個出象的機率各是1/2? 購買冷氣機其為瑕疵品的機率有多大？出象有(瑕疵,非瑕疵)，但這2個出象的機率各是1/2? 職棒簽賭要壓兄弟象隊贏的機率有多大？出象有(贏,不贏,平手)，但這2個出象的機率各是1/2? 因此，先驗機率論不能用來解釋某些事件出現的機率(用途很小)。

客觀的機率理論 • 客觀的機率理論又稱為相對次數的機率理論(relativefrequencyProbability)，它係指在長期重複的隨機實驗中，事件E發生的機率為出現該事件之次數與隨機實驗的總次數之比。即 n(E）表示事件E出現的次數，n為隨機實驗的總次數。 • 客觀機率理論認為，機率是事件長期試行的相對次數比，此一理論是認為經長期重複試行的隨機實驗後，事件的相對次數比會漸趨穩定，而此一次數比即為該事件之機率。根據此一理論，機率係屬長期試行的結果，因此，機率是客觀的或後天的。

案例 Ex:投擲一粒錢幣，出現正面的機率是多少？上圖表示第一次擲出正面，故出現正面的機率為1，第二次擲出反面，故擲二次出現正面的機率為l/2。接著第三次又擲出反面，故擲三次出現正面的機率為1/3，接著第四次擲出正面，故擲四次出現正面的機率為2/4，接著第五次擲出正面，故擲五次出現正面的機率為3/5。此後不斷的投擲，投擲的次數越多，出現正面的機率就會逐漸穩定下來，而趨近於1/2。這就是所謂的大數法則。

大數法則 若某事件有既定的機率，而我們不斷的進行相同的實驗，則該事件發生的次數比例會越來越接近這個既定的機率。例:假設教育部長想知道小學生上網的比例，問如何得知？教育部可進行「小學生上網問卷調查」，假設共調查3000個小學生，其中2,452個學生會上網。設n表示隨機抽取而接受調查的小學生（n夠大），n(E)表示n中曾上網的學生。則依據客觀的機率理論，台灣小學生上網的比例為： P(上網的小學生)= 實際上人們不太可能（很少有機會）重複觀察到同一個事件無數次，以致於能夠觀察出該事件長期的有規則的模式，所以，相對次數的機率理論有一個缺點，就是，如果隨機實驗不能長期重複試行，則不能依此種機率理論求得其發生的機率。

主觀的機率理論 • 主觀的機率論是指事件發生的機率決定於人們對發生此事件的相信程度。即 [對事件E發生的信心] • 主觀機率理論認為人們對某事件發生的信心或信賴度，即為該事件之機率。例如:總統大選老英與小英各候選人當選的「可能性」（機率）為何？今年新春開紅盤的機率為何？上述2個例子，在結果到來的前一天止，都是尚未發生的事件，既無法以古典的機率來表示(老英上/不上2個出象，P=1/2)，又不能以客觀的機率來說明(對無數個投票者調查)，那只好利用主觀的機率了，此時個人以其所獲得的不完全的資訊，對未來事件做估計或預測。

主觀的機率理論(續) • 主觀機率是人類用推理方式建構出來的機率分配。 • 例如擲骰子，大家認為形狀方正無偏的骰子，每一面出現的機率沒有不相等的理由，從而認定每一面出現的機率皆為1/6。然而真正擲骰子真的每一面出現的機率卻也都不相等? • 又如生男生女，由於細胞分裂後男性精子中帶Y染色體與帶X染色體的照理說數量相等，所以看來生男生女的機率應該是各l/2。可是事實是如此嗎？ • 擲骰子各面機率是否相等，需要經過大量的實驗才會知道，而嬰兒性別統計的實際情況其實不是男女各半，根據統計，根據科學統計，男嬰與女嬰的比率約為106比100，生男生的機會其實要高些。

3個機率理論比較 • 比較這三個機率理論可知，就先驗的機率而言，若事件的出象不是同等可能時，則不能求得機率。在相對次數的機率方面，若事件不能實驗，則亦不能求得機率。主觀的機率因無客觀的標準，因此，經常因主觀認知的差異而發生爭議，但其所以被接受，並不斷的擴大其使用範圍，係因有些事件既無法實驗，又非先驗的，因此對其發生機率的估計，只好依主觀來認定了。恰巧總是有人喜歡自己去預測各種事件發生的可能性的大小，也正因為各個人主觀的機率不一樣，所以才會有各種爭議與競爭。而競爭的結果，不是成功就是失敗。成功的人是因為他的預測準確，而預測不準的人當然就要失敗了。像現代的各種選舉，總是有許多人自認為能夠當選而出來競選，結果敗選；又例如許多人預測進行某項事業會成功，結果失敗，這些都是因為主觀機率與客觀機率不一致所造成的結果。

機率的公理論體系 • 不論哪種機率理論，機率都必須滿足一些規則才合乎機率的性質，才能進行後續機率的演算。拋開機率的理論解釋，純粹由機率的性質及其演算去定義機率，我們稱之為機率的公理體系。 • 在一個隨機實驗中，設其樣本空間為S，對應於S中任一事件Ei，給予一實數值，表為P(Ei)，若P(Ei)滿足下列三條件，則稱P(Ei)為機率。機率的三個公理 • ， • ++…+，為互斥事件。 • 1 以上稱為機率的三個公理（axiom），指出若P(Ei)滿足上述三公理，無論機率係屬相對次數比、先驗機率或主觀機率，則P(Ei)為一定義在樣本空間的機率函數。

案例-無偏銅板的”機率” 擲一枚銅板的隨機實驗，其樣本空間為{正面，反面}，因此，依照機率的三公理，對應樣本空間的任何一事件(正面或反面)均有一實數值與之對應，如P(E1=正面)=l/2，P(E2=反面)=l/2，且滿足下列機率的三個公理 • ，i=1,2 因 • + • 1 因S= • 由上可知，它們符合機率的公理體系，故稱為機率。

事件機率 事件的機率可分為：一個事件發生的機率、二個事件發生的機率、及多個事件同時發生的機率。一個事件發生的機率稱為事件機率，二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率（joint probability)，在探討聯合機率時，因涉及二個事件以上，故可同時探討邊際機率（marginalprobability）及條件機率（Conditionalprobability)。事件機率是事件基本出象機率的總和，定義如下: 設事件A定義於隨機實驗的樣本空間，其發生機率P(A)為事件A的基本出象的機率總和，即： P(A)=ΣP(Ei) Ei A

案例-打香腸贏的”機率” 假設你現在正在跟老闆對賭打香腸，且以點數大的為贏，將這事件稱為~勝利。現老闆已擲出16點，勝利的機率? 想贏，只有擲出17點或18點。擲到17點的組合{(5,6,6)、(6,5,6)、(6,6,5)}，18點唯有{(6,6,6)}才行。一個骰子有6面，3個骰子的樣本空間共有6×6×6==216個樣本點。如果骰子無偏，出現任何一面的機率均相等，每一樣本點出現的機率均為1/216。由上可知，要得到17點或18點的組合共4種，所以出現17點或18點的機率為4x(1/216）=1/54，這就是勝利事件實現的機率，也就是說想賭贏老闆的機率是1/54。 P(勝利)=ΣP(++)=

聯合機率 定義如下：事件A、B同時發生的機率可表示為：P(A∩B)或P(A,B) A、B均為定義於樣本空間S的事件。P(A ∩ B）是”A集合與B集合的交集”之基本出象(樣本點)的機率總和，亦即同時發生A事件與B事件的機率為聯合機率。即： P(A ∩ B)＝ Σ P(Ei) ， Ei=A ∩ B 設有樣本空間S，依A類別分割為A1與A2的互斥空間；依B類別分割為B1與B2的互斥空間，則S可分割為2×2個互斥空間，可得一聯合次數分配表，如下，根據此一樣本空間更可得聯合機率分配表。

聯合機率-前置練習 B A B A 交集 A ∩ B 聯集 A B Ex:若A、B為兩事件，下列敘述何者為真？ (a) P(A ∩ B)<P(B) (b) 若P(A ∩ B)<P(B)<l，則P(A|B)>P(A ∩ B) (c) 若A ∩ B=ϕ，則P(A|B)>P(A ∩ B) Sol: (a) 這式子成立只有在A、B不完全重疊時才成立 (b)P(A|B) = > (c) A ∩ B是空集合，所以P(A ∩ B)=0

聯合機率(續) 聯合機率分配表

案例 Ex:某工廠零件的品質與模具的狀況假設某零件製造廠想要提高其汽車煞車片的良率，於是進行更嚴密的品質管制。結果發現煞車片的品質可能與模具狀況的好壞有關。為了確認兩者的關係，品管人員搜集了450個產品，檢驗模具的狀況與煞車片的品質，檢查結果如下表所示。試問模具狀況佳與煞車片為良品的機率為何？

案例(續) 解:根據機率的運算法則計算可得良品與模具狀況好壞的機率為： P(模具狀況佳，煞車片良品)=P(A1 ∩ B1)=320/450=0.71 P(模具狀況差，煞車片良品)=P(A2 ∩ B1)=14/450=0.03 同理可得，瑕疵品與模具狀況好壞的機率，結果可得聯合機率，如下表所示。因此可知，模具狀況佳產品為良品的比例較高。

案例(續) 汽車煞車片的品質與模具狀況的結果可以樹枝圖來表示

邊際機率 邊際機率的定義在二個或二個以上類別的樣本空間中，若僅考慮某一類別個別發生的機率者稱為邊際機率。意即，在聯合機率表中，垂直相加或平行相加所得的機率稱為邊際機率。以前面那題說明垂直加總與平行加總。 Ex:汽車墊片良品與瑕疵品的機率各為何？

條件機率 定義如下: 令A、B為定義於樣本空間的事件，事件A的條件機率是在先發生B的條件下，再發生A的機率，稱之，可表示為： P(A|B)= 反之，事件B的條件機率是在先發生A的條件下，再發生B的機率，可表示為 P(B|A)=

事件的性質與事件機率的運算 • 事件的性質與關係一個事件依其與其他事件的關係可區分為獨立事件(independent event)、相依事件(dependent event)及互斥事件(mutually exclusive event)三種。 • 獨立事件獨立事件係指各事件間發生的機率互不相關，即一事件Ａ的發生不影響其他事件Ｂ發生的機率，則稱為Ａ、Ｂ兩事件獨立。數學定義如下：若A、B符合下列任一條件，則A、B獨立 • A的條件機率等於其邊際機率 • B的條件機率等於其邊際機率 • *A與B同時發生的機率等於A發生機率與B發生機率的乘積。三條件中若任一條件成立，則其他二條件必定成立

案例 Ex:體重控制方法之間是否有關係？為瞭解體重過重的國中生控制體再的情形，調查了351位體重過重的國中生，結果發現沒有任何體重控制行為的佔23.9%，而有控制行為者佔76.1％。有控制行為者採飲食控制的佔98.5%，採運動控制的佔74.9%，兩種控制方法都採用的佔73.8％。試問這兩種體重控制方法之問是否有關？ Sol: 設A表採飲食控制，B表運動控制，已知P(A∩B)=0.738，且知： P(A)*P(B)=0.985*0.749=0.738 因此可得： P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.738 由上知P(A∩B)=P(A)*P(B)，因此可知，兩種體重控制方法獨立無關。

事件的性質與事件機率的運算(續) • 相依事件二事件獨立的三條件中，若有一條件不成立，則事件A、事件B為相依事件，或稱為從屬事件，相依事件係指一事件的發生會影響其他事件發生的機率。 Ex:自52張撲克牌中抽取2張脾。設事件A為抽取的第1張牌為老K，事件B為抽取的第2張牌為老K。問A,B二事件的相互關係為何？又若自撲克牌中以抽出放回的方式抽取2張，則A,B事件關係又為何？ Sol:先求事件A與事件B的機率，然後再求事件A發生後再發生事件B的機率。若條件機率等於邊際機率，則兩事件為獨立，若不相等，則不獨立。 (1)抽取2張抽出不放回 P(A)=P(B)=

案例(續) P(B|A)== 故P(B|A)≠P(B) P(B|A)=l/17是因當抽出不放回時，第2張牌出現老K的機率受第1張為老K影響。因此事件A、事件B不獨立。 (1)抽取第1張後放回，再抽出第2張 P(A)=P(B)=P(B|A)= 因當抽出後放回，第2張牌出現老K的機率不受第1張為老K影響。因此事件A、事件B獨立。

事件的性質與事件機率的運算(續) • 互斥事件不會同時發生的事件稱為互斥事件·亦即若事件之交集為空集合(事件沒有共同的樣本點)者，為互斥事件，否則為非互斥事件。 Ex:自52張撲克牌中抽取2張脾。設事件A為出現老K，事件B為出現「J、Q、K 」，事件C為出現A 。問A、B、C是否為互斥事件？ Sol:先求事件A與事件B的機率，然後再求事件A發生後再發生事件B的機率。若條件機率等於邊際機率，則兩事件為獨立，若不相等，則不獨立。因，所以A、B不互斥因，所以A、C互斥因，所以B、C互斥

事件機率的運算法則 • 事件機率還有幾個定理 (1)餘集合的機率:設A為某一事件，則其餘集合發生的機率為： P()=l-P(A) (2)加法定理:兩事件聯集的機率為： =P(A)+P(B)- 如果A、B互斥 =P(A)+P(B) (3)乘法定理:二事件交集的機率為： P(AB)=P(B)·P(A|B) 如果A、B獨立 (P(A|B)=P(A)·P(B)，則P(AB)=P(A)·P(B) 上式指出A、B兩事件交集(AB)的機率(A與B同時發生的機率)等於B發生的機率再乘上A的條件機率（先B發生後再發生A的機率）。 A B B A

案例1 Ex:企業校園徵才的條件許多大學校園會舉辦就業博覽會，但到底企業招人時最重視哪些條件？這是大學生非常關心的問題。調查結果顯示，54％重視溝通能力】79％重視團隊精神，48％兩者皆重視。令：事件A：重視溝通能力事件B：重視團隊精神試求企業至少重視一種條件的機率。 Sol: 企業重視溝通能力的機率為P(A)=0.54，重視團隊精神的機率為P(B)=0.79，兩種都重視的機率為P(AB)=0.48。至少重視一種條件的機率為 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.54+0.79-0.48=0.85 看了上面的統計結果，同學們應該知道必須具備什麼樣的條件方可順力謀職吧。

案例2 Ex:子承父業在現在的社會中，若父親從事的是傳統產業，孩子往往不願繼承父業。據調查，若父親從事農林漁牧業，其孩子亦從事農林漁牧業的機率為0.22；若父親不從事農林漁牧業，其孩子亦不從事農林漁牧業的機率為0.98。已知所有接受調查的人員中，其父親從事農林漁牧業的佔0.38，不從事農林漁牧業的佔0.62。現在隨機抽取一人，求其從事農林漁牧業的機率。 Sol: 令：A1表示父親從事農林漁牧業，A2為表示父親不從事農林漁牧業( A1與 A2為分割集合)，則P(A1)=0.38，P(A2)=0.62。令：B表示某人從事農林漁牧業。由題意知： P(孩子從事農林漁牧業|父親從事農林漁牧業)=P(B|A1)＝0.22 P(孩子不從事農林漁牧業|父親不從事農林漁牧業)=P(|A1)＝0.98 故隨機抽取一人，求其從事農林漁牧業的機率 =P(A1)+P(B|A1)-P(A2)·P(B|A2)=0.38*0.22+0.62+0.02=0.096 上式P(B|A2)=1-P(|A2)=1-0.98=0.02

HW2-2 Part 1 : 調查大學入學甄試審查是否有性別歧視？某大學今年有700位高中應屆畢業生申請參加電機學院及文學院的入學甄試。甄試結果如下：根據該結果，有家長認為女生的錄取率偏低，有性別歧視之嫌，試問真有性別歧視嗎？

HW2-2 Part 2 : 又，納入各學院錄取的詳細資料，不同學院是否有性別歧視嗎？

第二單元：機率概論