SUBTEMA 2.5.2. PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.

1. SUBTEMA 2.5.2. PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE.

2. 1.- Calcúlese el producto vectorial V = P X Q cuando el vector P tiene una magnitud de 6 N y se encuentra en el plano zx formando un ángulo de 30° con el eje x y el vector Q tiene una magnitud de 4 N y se encuentra a lo largo del eje x . como se ve en la figura siguiente:

3. Y Q X θ = 30° θ = 60° P Z

4. A partir de la definición del producto vectorial se concluye inmediatamente que el vector V, debe estar a lo largo del eje Y, que su magnitud es igual a: • V = PQ sen θ = (6) (4) sen 30° (6) (4) (0.5) = 12 N. • Una tercera propiedad, la propiedad asociativa, no es válida para los productos vectoriales; en general, se tiene que: • (P X Q) x S ≠ P x (Q X S).

5. PRODUCTOS VECTORIALES EXPRESADOS EN TERMINOS DE COMPONENTES RECTANGULARES. • A continuación se procederá a determinar el producto vectorial de cualquier par de vectores unitarios i, j y k. Considere primero el producto de i x j, como se ve en la figura siguiente:

6. Y j X i i x j = k Z

7. Como ambos vectores tienen una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial también deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a derechas. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha presentada en el punto 3 de la sección anterior, se concluye que el producto j x i debe ser igual a –k como se ve en la figura siguiente.

8. Y j x i = -k j X i Z

9. Por último, se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, tal como i x i, es igual a cero, dado que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son: • i x i = 0 j x i = -k k x j = j • i x j = k j x j = 0 k x j = -i • i x k = -j j x k = I k x k = 0

10. Ordenando las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario a las manecillas del reloj como se ve en la figura siguiente, se puede facilitar la determinación del signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si estos se siguen uno al otro en un orden contrario a las manecillas del reloj y será negativo si estos se siguen uno al otro en un orden en el sentido de las manecillas del reloj.

11. j i k

12. Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores dados P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Descomponiendo a P y a Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe: • V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi + Qyj + Qzk).

13. Haciendo uso de la propiedad distributiva, V se expresa como la suma de productos vectoriales, tales como Pxi x Qyj. Observando que cada una de las expresiones obtenidas es igual al producto vectorial de dos vectores unitarios como i x j, multiplicados por el producto de dos escalares, como PxQy, y recordando las identidades, después de factorizar a i, j y k, se obtiene: • V = (PyQz- PzQy)i + (PzQx-PxQz)j + (PxQy – PyQx)k. • Por lo tanto, se encuentra que las componentes rectangulares del producto vectorial V están dadas por: • Vx = PyQz-PzQy • Vy = PzQx-PxQz • Vz = PxQy-PyQx

14. También se puede obtener como un determinante: • V = i j k • Px Py Pz • Qx Qy Qz.

15. La representación anterior se denomina un determinante y se interpreta de esta forma: Si queremos hallar la componente x (Vx) del producto de las componentes de P y Q, basta con multiplicar la componente y del vector P por la componente z del vector Q, menos la componente z del vector P por la componente y del vector Q. Si queremos hallar la componente y (Vy) del producto de las componentes de P y Q, basta con multiplicar la componente z del P por la componente x de Q, menos la componente x de P por la componente z de Q.

16. Y finalmente si queremos hallar la componente z (Vz) del producto de las componentes de P y Q, basta con multiplicar la componente x de P por la componente y de Q, menos la componente y de P por la componente x de Q. A todo lo anterior se le denomina desarrollo del determinante.

17. COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA. • En general, el cálculo del momento de una fuerza en el espacio se simplifica considerablemente si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y, Y z. Por ejemplo considere el momento Mo, con respecto a O, de una fuerza F de componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de coordenadas x, y z, de la figura siguiente.

18. Fyj A(x,yz) y r Fxi O x Fzk z

19. Observando que las componentes del vector de posición r son iguales respectivamente, a las coordenadas x, y Y z, del punto A, se puede escribir que: • r = xi + yj + zk • F = Fxi + Fyj + Fzk • Sustituyendo a r y a F obtenemos: • Mo = r x F • Y recordando los resultados obtenidos anteriormente se puede escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma: • Mo = Mxi + Myj + Mzk • donde las componentes escalares Mx, My y Mz, están definidas por las relaciones: • Mx = y Fz – zFy • My = zFx- x Fz • Mz = xFy –y Fx.

20. 1.- Una fuerza vertical de 100 libras se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O.

21. A 24 in 100 lb 60° O d

22. Solución: Momento con respecto a O. La distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la fuerza de 100 libras es: • d = (24 in) cos 60° = 12 in. • La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O es igual a: • Mo = Fd = (100 lb) (12 in) = 1200 lb.in.

23. 2- Una fuerza de 800 N, actúa sobre la ménsula como se muestra en la figura determine el momento de la fuerza con respecto a B.

24. 800 N A 60° 160 mm B 200 mm

25. Fy = (693 N) j F = 800 N Fx = (400 N i) A r A/B + 0.16 m j MB B - (0.2 m) i

26. Solución: El momento MB de la fuerza F con respecto a B se obtiene a través del producto vectorial: MB = r A/B x F. Donde r A/B es el vector trazado desde B hasta A. Descomponiendo a r A/B y a F en sus componentes rectangulares se tiene: • r A/B = - (0.2 m)i + (0.16 m)j • F = (800 N) cos 60° i + (800 N) sen 60° j • F = (400 N) i + (693 N) j • MB = r A/B x F. = [ -(0.2 m)i + (0.16 m)j]x [(400 N)i + (693 N) j] • = -(138 N.m) k – (64.0 N.m) k = (-202.6 N.m)k.