Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento

1. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.1 Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento Fulvia Furinghetti Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova Dipartimento di Matematica dell’Università di Genova

2. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.2 Dictionnaire des mathématiques ou idée générale des mathématiques di Ozanam (1691, Amsterdam)

3. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.3 L’algebra è come il gatto del Cheshire … The algebrization of mathematics, Samuel Eilenberg (1969)

4. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.4 Che cosa è l’algebra e che cosa è stata nella storia? (Freudenthal, What is algebra and what has been in history, 1976)

5. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.5 • L’algebra è ... • 1. simbolismo operazionale • 2. attenzione alle relazioni matematiche più che agli oggetti matematici, le quali relazioni determinano le strutture che costituiscono l’oggetto dell’algebra moderna. Il modo di pensare algebrico è quindi basato su una logica relazionale più che predicativa • 3. libertà da ogni questione ontologica e coinvolgimento, e, legato a ciò, astrazione piuttosto che intuizione • Michael Mahoney (1971)

6. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.6 Si cercherà di capire che cosa è l’algebra attraverso ciò che è stata nella storia

7. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.7 • Argomenti trattati • parametri, variabili, …algebra scolastica • visualizzare l’algebra e scrivere la geometria • metodi approssimati e quasi-euristici

8. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.8 Autori trattati • Anonimi • Euclide • Pappo • Diofanto • Al-Khwarizmi • Viète • Descartes

9. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.9 Argomenti non trattati • esplicitazione delle strutture • storia dell’insegnamento dell’algebra • note biografiche Storia usata come • lente di ingrandimento per districare i nodi concettuali • fonte di problemi

10. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.10 • Filo rosso: metodo di analisi e sintesi • nasce dalla storia (Pappo, Viète, ...) • va in classe (Smith, Sabbatini, Campedelli) • torna alla storia e va in classe (insegnante: Annamaria Somaglia, autore del percorso scelto) • flash back • flash, ma non pezzi separati

11. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.11 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston).Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola più o meno finché imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perché segue il metodo che si è seguito e si seguirà da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate”

12. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.12 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston)Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e più sistematico metodo. Questo è noto come il metododi analisi ed è applicabile a teoremi ed a problemi.”

13. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.13 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston)Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi così importanti queste distinzioni, bensì basta dargli l’idea di base di queste forme, un’idea che risale a Platone (V sec. a.C.).”

14. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.14 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston)Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa”.

15. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.15 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston)Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare ilprocesso, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l’analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l’analisi] risponde alla domanda.”

16. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.16 David EugeneSmith The teaching of geometry (1911, Boston)Cap. XIII. How to attack the exercises(pp.161-162) “Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l’analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato. Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perché in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.”

17. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 1.17 In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicché PQ vale AP + BQ

18. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.1 Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale PXA? Allora perché BAX = XAP? Analogamente si ragiona per QBX eXBA

19. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.2 Supponiamo il problema risolto. Allora AP sarà uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sarà uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l’angolo PXA? PQ è parallelo ad AB; a che cosa è uguale PXA? Allora perché BAX = XAP? Analogamente si ragiona per QBX eXBA Sintesi Analisi

20. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.3 I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone: nel celebre passaggio sulla dialettica l’autore espone l’idea di un doppio percorsodalle idee ai principi (ascendente) e dai principi alle idee (discendente). Questo doppio percorso rappresenta un processo completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso, meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a farne un procedimento dimostrativo. Nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d. C.) Proclo dice che Platone insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso], che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per mezzo di esso.

21. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.4 Dalle Collezioni matematiche di Pappo (ediz. di Commandino 1660, Urbino): “Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit, tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes, quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod sit è numero principiorum. Et huismodi processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus vocatur compositio”

22. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.5 In italiano il brano è tradotto in Fonti per la storia della matematica di U. Bottazzini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli (1992), p. 88 “Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide, l’autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il Vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria] avviene appunto attraverso i metodi dell’analisi e della sintesi. L’analisi è dunque la via, la procedura, che parte da ciò che si cerca, considerato come concesso, per giungere passo dopo passo alla sintesi. Cioè in analisi noi assumiamo ciò che è cercato come se già fosse stato ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora ciò che viene prima di questa,...”

23. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.6

24. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.7

25. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.8 Problema VIII (Ghetaldi, 1630, pp.92-93): Data base trianguli, angulum rectum subtendente, & differentia crurum. Invenire triangulum. 90°, base D, differenza lati B. 90°, base AB, differenza lati Z

26. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.9 Presentiamo la dimostrazione secondo lo schema (“conspectus”) Supponiamo il problema risolto. Sia A = somma lati A/2 + B/2 = lM A/2 B/2 = lm lM2 + lm2 = D2 A2/2 + B2/2 = D2 A2 + B2 = 2D2 A2 = 2D2B2 [questo, come osserva l’autore stesso, è il porisma che permette di trovare la somma dei lati] DB2 + ED2 = AB2 EB2/2 + FB2/2 = AB2 EB2 + FB2 = 2AB2 EB2 = 2AB2FB2 EB2 = 2AB2Z2 EB2 = CB2EC2

27. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.10 Per analisi Per sintesi

28. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.11

29. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.12 Le uguaglianzesono fondamentali in algebra, ma non sono proprie solo dell’algebra Euclide, Elementi, Libro I, Nozioni comuni: 1. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro 2. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali 3. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. (2) e (3) sono in Al-Khwarizmi (al-jabr = restaurare, completare e al-muqabala = bilanciare, confrontare) Euclide le usa in una forma ‘quasi algebrica’ (vedere Prop.III-35)

30. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.13 Euclide, Elementi, Libro II Le prime 10 proposizioni possono essere viste come identità algebriche provate geometricamente; la 11 e la 14 sono equazioni - i numeri sono sostituiti da segmenti di retta - la somma e la differenza tra numeri è l’ordinaria somma o differenza tra segmenti - il prodotto di due numeri è l’area di un rettangolo i cui lati rappresentano i numeri dati - il prodotto di tre numeri è il volume

31. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.14 Euclide, Elementi, Libro II, 4 Si divida AB nel punto C e si costruisca il quadrato di lato AB. Preso sul lato BE il punto K tale che BK = CB si traccino da C e da K le parallele rispettivamente ai lati BE e DF. In tal modo il quadrato ABED risulta scomposto nei due quadrati CBKG, HGFD e nei due rettangoli uguali GKEF e ACGH. Posto a = AC, b = BC. Si ha: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

32. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.15 L’uso delle uguaglianze in Euclide è caratterizzato da un ambiente non numerico. Si confrontano grandezze, non la loro misura. Le operazioni che si fanno sono “mettere insieme”, “ottenere un rettangolo con due dati lati”, ...

33. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.16 Si può parlare di una aritmetica delle grandezze, ma il significato è molto diverso rispetto a quella dei numeri. Non ci sono i simboli numerici, qui i simboli (per esempio, AC per indicare un segmento) non hanno significato per loro stessi. Le grandezze risultato di un’operazione hanno significato in relazione a quelle da cui provengono.

34. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.17 Il Libro V degli Elementi riguarda la teoria delle proporzioni Def. V.3. Rapporto fra due grandezze omogenee è un certo modo di comportarsi rispetto alla quantità Def.V.5. (in termini moderni)  m,n Î , ma >nbÞma >nd ma =nbÞma = nd ma < nbÞma < nd

35. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.18 L’uguaglianza di rapporti coinvolge non solo le grandezze, ma anche relazioni fra esse. Siamo ad un secondo livello di astrazione in cui usiamo relazioni di primo livello (uguale, maggiore, minore).

36. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.19 • Riassumendo: • Le uguaglianze presso i Greci hanno due aspetti: • uguaglianze di grandezze • uguaglianze di rapporti (proporzioni) • Due grandezze che sono uguali devono essere dello stesso tipo (segmenti, aree, volumi). Per i rapporti ciò è solo parzialmente vero: si confrontano rapporti che possono essere da una parte tra aree ed aree e dall’altra tra segmenti e segmenti.

37. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.20 Lo storico danese Zeuthen (1892) ha introdotto il nome di “Algebra geometrica” a proposito del metodo e del trattamento delle quantità usati per risolvere i problemi nel libro II degli Elementi. Discussione accesa (anni 1975-79): da una parte Zeuthen, Tannery, Neugebauer, van der Waerden; dall’altra Freudenthal, Mahoney, Seidenberg, Unguru, A. Weil. Questa discussione è collegata alla risposta che si dà alla domanda “Che cosa è l’algebra?” Per esempio, quando proponiamo agli studenti un problema del tipo 5 + ∆ = 14, chiediamo di risolvere un’equazione o solo di fare dei calcoli su numeri?

38. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 2.21 Van der Waerden (1976) dice: “Quando parlo di algebra babilonese o greca o araba, intendo algebra nel senso di Al-Khwarizmi o dell’Ars Magna di Cardano, o nel senso della nostra algebra scolastica. L’algebra, allora, è l’arte di manipolare espressioni algebriche come (a + b)2e di risolvere equazioni come x2  ax = b[...] senza curarsi del simbolismo usato nel testo. Se questa definizione è applicata ad un testo arabo o babilonese è irrilevante quale simbolismo il testo usa”.

39. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.1 • Uno stesso problema può presentarsi in diverse forme: • L’area del quadrato costruito su due segmenti sitrova sommando il doppio del rettangolo sui due segmenti alla somma dei quadrati su ognuno dei segmenti (algoritmica) • Se si divide a caso un segmento in due parti, il quadrato costruito su tutto il segmento è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo che ha per lati le parti (geometrica) • Il quadrato della somma di due numeri è uguale al quadrato di uno più il quadrato dell’altro, più il doppio del prodotto dei due numeri (retorica) • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (simbolica)

40. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.2 • Problemi relativi alla pratica didattica collegati alla polemica presa in considerazione: • possiamo vedere le due posizioni come non contrapposte, bensì complementari? • quale uso del mediatore geometrico? • si arriva alla liberazione da ogni questione ontologica attraverso situazioni fortemente ‘ontologiche’? • grado di accettazione da parte degli studenti

41. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.3 • Gli storici hanno considerato tre aspetti relativamente all’algebra • retorico: il problema e la soluzione si scrivono nella prosa corrente • sincopato: i singoli autori introducono abbreviazioni stenografiche • simbolico: sono usati veri e propri simboli • Ci sono sovrapposizioni di questi aspetti, anche nello stesso autore e nella stessa opera

42. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.4 • L’introduzionedei simboli non è avvenuta dall’oggi al domani. Un esempio di primo uso dei simboli si ha in Raffaello Canacci (abacista fiorentino della metà del Quattrocento): • “adunque segnerò porgi glorechi e attendi cholla memoria acoché imprenda meglio quelo ch’io dicho” • Le ragioni per l’introduzione dei simboli furono intellettuali, ma anche pratiche. Il decollo avvenne nei secoli XVI e XVII, essenzialmente per due motivi: • i problemi complicati necessitano di semplificazioni • la stampa dei libri richiedeva la standardizzazione delle lettere di stampa

43. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.5 • Algebra in Mesopotamia • C’è un gran numero di problemi del tipo: • trovare le dimensioni di un rettangolo con area 96 e in cui la somma della base con l’altezza è 20. • In forma moderna: x + y = 20 • xy = 96 • Neugebauer (1957) la chiama “forma normale”. • Si opera sui numeri dati, seguendo le istruzioni di uno scriba • 1. Dividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = 10 • 2. Elevare al quadrato: 102 = 100 • 3. Togliere l’area data, 96, a 100: 100  96 = 4 • 4. Estrarre la radice quadrata: 2 • 5. La base è 10 + 2 =12, l’altezza è 10  2 = 8

44. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.6 Algebra in Mesopotamia Come si vede, la forma retorica rende difficile vedere le sostituzioni per noi facili I problemi quadratici più complessi sono ricondotti alla “forma normale” (trovare due numeri nota la loro somma o differenza ed il loro prodotto) Manca il simbolismo algebrico Termini come lunghezza, larghezza, area, volumi sono usati in modo astratto (si sommano tra lorosenza scrupoli)

45. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.7 Algebra in Mesopotamia I processi mentali sono di tipo “algebrico”, la geometria ha un ruolo ausiliario. Sono trattate: - equazioni di primo grado (anche nei papiri egizi) - equazioni di secondo grado - particolari equazioni di terzo grado - equazioni di grado superiore riconducibili a equazioni secondo e terzo grado

46. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.8 Algebra in Mesopotamia Gli Assiro-babilonesi erano abili nei procedimentialgoritmici (si veda il calcolo di riportato nella seguente tavoletta) Tavoletta YBC 7289 collezione di Yale

47. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.9 Algebra in Mesopotamia In riferimento alla tavoletta precedente: (nel sistema sessagesimale) sul lato è segnato il numero 30 e sulla diagonale i numeri 1;24,51,10 e 42;25,35 42;25,35 è la misura della diagonale ottenuta assumendo come valore approssimato di 2 1;24,51,10 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1,414213 secondo Neugebauer  2  3/2 = 1;30 (per eccesso: (3/2)2 = 9/4) 2:2/3 = 4/3 =1;20 valore medio di queste due approssimazioni è 1;25 ripetendo 1;25 e 1;24,42,21 che ha come media aritmetica 1;24,51,10

48. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.10 Potenzialità didattiche

49. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.11

50. Una lettura della storia dell’algebra alla luce dei problemi d’insegnamento/apprendimento 3.12 • In Diofanto troviamo: • quadrato, cubo, biquadrato, quadrato- • cubo, cubo-cubo, ... • introduce dei simboli per indicarli • arithme, che è una “quantità • indeterminata di unità”, per cui usa • sempre lo stesso simbolo, V • l’arithme è assoggettato agli stessi • trattamenti dei numeri (che, per • Diofanto, sono solo i razionali positivi) • Diofanto crea un linguaggio con una • sintassi ben definita