Vorlesung 11.12.2006 Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten

1. 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Vorlesung 11.12.2006Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten

2. Klausur: Montag, 22.01.2007, 16.15-17.45 Uhr Von Seckendorff-Platz 1 (Informatikgebäude), Raum 5.09 Hilfsmittel: 1 selbst beschriebenes A4-Blatt, TaschenrechnerÜbungsaufgaben zur Vorbereitung:  Auslage auf dem FlügelKlausurschwerpunkte: Anwendung der behandelten Grundbegriffe auf konkrete Zufallsvorgänge Literatur zur Klausurvorbereitung:  Auslage auf dem Flügel

3. Beispiel: Was ist gerecht? Zwei gleichstarke Mannschaften bestreiten einen Wettkampf, der aus einzelnen Runden besteht. Im Fall eines Rundengewinns bekommt die Siegermannschaft einen Punkt, die Verlierermannschaft geht leer aus. (Gleichstand in einer Runde gibt es nicht.) Die Mannschaft, die als erste 3 Punkte zusammenhat, ist Gesamtsieger und bekommt das Preisgeld.  Die Bedingungen des Experiments „Wettkampf zwischen Mannschaft A und Mannschaft B“ sind damit festgelegt! Alles wäre in Ordnung, wenn nicht der Wettkampf wegen eines Wolkenbruchs vorzeitig beim Spielstand 2:1 für die Mannschaft A hätte abgebrochen werden müssen. Wie ist nun der Preis möglichst gerecht unter den beiden Mannschaften A und B aufzuteilen?

4. Kombinatorisches Problem: Auswahl von einer Nummer aus einer Rundennummer-3er-Kette  Möglichkeiten. Möglicher bisheriger Verlauf: • Runde: Mannschaft A gewinnt  1 Punkt für A • Runde: Mannschaft B gewinnt  1 Punkt für B • Runde; Mannschaft A gewinnt  1 Punkt für A Zum Spielstand 2:1 für Mannschaft A nach 3 Runden gibt es für den bisherigen Verlauf außer der oben genannten noch weitere 2 Verlaufsmöglichkeiten.

5. Vorschlag: Aufteilung des Preisgeldes im Verhältnis 2:1 Mannschaft A bekommt des Preisgeldes, Mannschaft B bekommt des Preisgeldes. Einverstanden? Mannschaft A war ja eigentlich schon „viel näher“ am Gesamt- sieg als Mannschaft B …  Es wäre gerechter, die zukünftigen Chancen zu berücksichtigen!

6. 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Blick in die Zukunft: Aktueller Stand: A hat 2 Runden gewonnen, B eine Runde Weiterer möglicher Spielverlauf im Baumdiagramm dargestellt:  verbleibende Spiele bis zum Wettkampf-Ende Bisher erreichter Stans

7. Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle Chancengleichheitfür die beiden möglichen Fälle 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Laplace-Modell für jedes der noch ausstehenden Spiele Eintrittschancen? Schritt für Schritt und insgesamt: Produktregel!

8. 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Mögliche Wettkampfsverläufe: nach dem Spielstand 2:1 für A sindA gewinnt im 1. ausstehenden Spiel oder B gewinnt im 1 ausstehenden Spiel und A im 2. ausstehenden Spiel oder B gewinnt im 1. und im 2. noch ausstehenden Spiel Das zufällige Experiment „weiterer Wettkampfverlauf“ hat also 3 mögliche Ausgänge = 3 Elementarereignisse

9. 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Berechnung der Elementar-Wahrscheinlichkeiten: P(A gewinnt das 1. ausstehende Spiel) =P(B gewinnt im 1. und A im 2. ausstehenden Spiel) =P(B gewinnt im 1. und im 2. ausstehenden Spiel) =

10. 1. noch ausstehendes Spiel 2. ausstehendes Spiel A siegt Stand: 2:1 für A A siegt B siegt B siegt Ereignis „ A gewinnt den Wettkampf“ = { A gewinnt das 1. ausstehende Spiel , B gewinnt das erste und A gewinnt das 2. ausstehende Spiel } P( A gewinnt den Wettkampf) =  P(B gewinnt den Wettkampf) = Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch die Summe der zugehörigen Elementarwahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

11. Gerechte Verteilung des Preisgeldes? Unsere Antwort: des Preisgeldes an Mannschaft A; des Preisgeldes an Mannschaft B. Welches stochastische Modell verbirgt sich hinter diesen Überlegungen?  mehrstufige Zufallsexperimente

12. n-stufiges Zufallsexperiment: Das Experiment gliedert sich in n Teilexperimente, die man sich als Kette hintereinander angeordnet vorstellen kann. Jeder Ausgang (=Elementarereignis) des n-stufigen Experimentsist eine Kette von n Teilausgängen:w = (w1, w2, … , wn) , wobei gilt: wi = Ergebnis des i-ten Teilexperiments (i=1,…,n). Achtung: Die Teilexperimente eines mehrstufigen Zufallsexperiments müssen nicht sämtlich identisch sein!

13. n-stufiges Zufallsexperiment Abfolge der Teilexperimente T1, …, Tn  Veranschaulichung durch einen Baum: w1 . . . . . . . . . w2 wn wn-1 T1 T2 . . . Tn mögliches Elementarereignis des n-stufiges Experiments

14. Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen 9 Kinder stehen auf dem Schulhof – 5 Jungen und 4 Mädchen.Als Tino dazukommt, atmen alle auf: Jetzt gibt es 2 Völkerball-Mannschaften mit je 5 Kindern. Tino stellt die Mannschaften so zusammen: auf gut Glück wählt er die vier Kinder aus, die mit ihm in der gleichen Mannschaft spielen sollen. Die „übrig gebliebenen“ fünf Kinder spielen dann in der anderen Mannschaft. Versuchsbedingungen : 4-stufiges Zufallsexperiment

15. 4-stufiges Zufallsexperiment? 4 zufällige Versuche sind „hintereinandergeschaltet“.  Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments setzen sich aus 4 hintereinandergeschalteten Einzel-Ausgängen zusammen.  Die Elementarereignisse des 4-stufigen Experiments sind also 4-er-Ketten von Ausgängen der 4 hintereinandergeschalten Versuche. Darstellung durch ein Baumdiagramm mit 4 Ebenen

16. Abzweigung nach links: Tino wählt in diesem Schritt einen Jungen;Abzweigung nach rechts: Tino wählt in diesem Schritt ein Mädchen. Jungen Mädchen Jungen Mädchen Jungen Mädchen

17. Stochastisches Modell: 4-stufiges Zufallsexperiment„4x Wählen“  Ausgänge: (1. gewähltes Kind, 2. gewähltes Kind, 3. gewähltes Kind, 4. gewähltes Kind) Dabei ist jeweils nur die Information Junge oder Mädchen interessant (möglich).  Elementarereignisse: 4-er-Ketten mit den Einträgen J(unge) oder M(ädchen)

18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tinos Mannschaft aus 2 Jungen und 3 Mädchen besteht? Ereignis E : Tino wählt 1 Jungen und 3 Mädchen aus  E = Menge aller möglichen Auswahlen von 1 Jungen und 3 Mädchen Nach der Auswahl sind noch 4 Jungen und 1 Mädchen „übrig“.  Im Baum ist nach der End-Konstellation zu suchen.

19. Jungen Mädchen Jungen Mädchen Jungen Mädchen

20. Eine der Möglichkeiten (= ein Elementarereignis aus E): Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “ Junge: in 4 der 9 möglichen Fälle  dann Mädchen: aus 4 der dann noch 8 (=4+4) wählbaren Kinder  dann Mädchen: aus 3 der dann noch 7 (=4+3) wählbaren Kinder  dann Mädchen: aus 2 der dann noch 6 (=4+2) wählbaren Kinder  „Pool“ der jeweils noch übrigen Kinder

21. Pfad „ Junge , Mädchen , Mädchen , Mädchen “ Junge: in 5 der 9 möglichen Fälle   Wahrscheinlichkeit: dann Mädchen: davon in 4 der noch 8 (=4+4) möglichen Fälle  dann Mädchen:davon in 3 der noch 7 (=4+3) möglichen Fälle  dann Mädchen: davon in 2 der noch 6 (=4+2) möglichen Fälle 

22. Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) : P(E) = = = 0,15673 Wir benutzen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(E) die Pfadregelunddas Additivitätsaxiom . Pfadregel: Multiplikation aller Einzelschritt-Wahrscheinlichkeiten des Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Pfad- Ereignisses zu berechnen.

23. Besonderheit dieses 4-stufigen Experiments: Die 4 Teilexperimente sind 4 unterschiedliche Zufallsversuche! 1. Teilexperiment: Auswahl des ersten Kindes aus einer Gruppe von 5 Jungen und 4 Mädchen 2. Teilexperiment: Auswahl des zweiten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 8 Kinder 3. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 7 Kinder 4. Teilexperiment: Auswahl des dritten Kindes aus der Gruppe der verbliebenen 6 Kinder Die Teilexperimente sind voneinander abhängig: Die Bedingungen jedes Teilexperiments hängen davon ab, wie das Vorgängerexperiment ausgegangen ist!

24. Wir benötigen einen Begriff, der die Abhängigkeit in der Sprache der Stochastik modelliert.  bedingte Wahrscheinlichkeiten

25. Beispiel:

26. Stochastisches Modell: Für jede von ihm wählbare Kugel-Aufteilung auf die 2 Gefäße muss der Astrologe den folgenden zufälligen Versuch untersuchen: Auswahl einer Gefäßes durch den König und Ziehen einer Kugel aus diesem Gefäß, Feststellen der Kugelfarbe • Wir interessieren uns für 2 Merkmale gleichzeitig: Gefäß und Kugelfarbe • Elementarereignisse: (Gefäß A , schwarze Kugel ) (Gefäß A , weiße Kugel) (Gefäß B , schwarze Kugel ) (Gefäß B , weiße Kugel) Darstellung der Ergebnisse des Versuchs in einer 4-Felder-Tafel

27. Ausgewähltes Gefäß A B Gezogene Kugel w s w s Mögliche Kugelverteilungen durch den Astrologen: s w s w s s w w s s w w w s s w Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Gefäß A Gefäß B Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4 Achtung: Austauschen der Gefäßbezeich-nungen führt auf 4 analoge Situationen! Wir untersuchen zunächst Situation 1: Wir betrachten deshalb nur die 4 oben darge-stellten Situationen.

28. Zufällige Festlegung der Gefäßaufstellung Gefäß A links, Gefäß B rechts Gefäß B links, Gefäß A rechts A B B A w s w s w s w s 8 Elementarereignisse (=8 Pfade), jeweils mit der Eintrittswahrscheinlichkeit Austauschen der Gefäßbezeichnungen führt auf 4 analoge Situationen! Aufstellungsentscheidung(Festlegung der Gefäß-bezeichnung) Ausgewähltes Gefäß Gezogene Kugel

29. Ausgewähltes Gefäß A B Gezogene Kugel w s w s Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für das reduzierte Modell: P( Gefäß A gewählt ) = P( (A,s) , (A,w)) = P( Gefäß B gewählt ) = P( (B,s) , (B,w)) = P( Schwarze Kugel gezogen, falls vorher Gefäß A gewählt ) = P( w, falls A gewählt) = , P( s, falls B) = , P( w, falls B) = P(B) P(A)=

30. Definition bedingte Wahrscheinlichkeit:Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P Sei F ein Ereignis mit P(F) 0. Für jedes Ereignis E heißt dann die bedingte Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung F (=Wahrscheinlichkeit von E, unter Bedingung, dass F eingetreten ist).

31. Ziehen einer schwarzen Kugel, falls vorher Gefäß A gewählt wurde: Ereignis „Gefäß A wird gewählt“ • Einschränkung von W auf das Ereignis „A“ • Untersuchung des Ereignisses „s“ nur noch hinsichtlich der Einschränkung „A“ Ereignis „Schwarze Kugel wird gezogen“ Untersuchung von Ereignis „s“ unter der Bedingung, dass Ereignis „A“ eingetreten ist

32. Multiplikationsregel:1. Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P Sei F ein Ereignis mit P(F) 0. Dann gilt für jedes Ereignis E: 2. Entsprechend gilt: Sind Ereignisse E und F mit P(E) 0, so gilt:

33. Multiplizieren mit P(F): Multiplizieren mit P(E): Definition der bedingtenWahrscheinlichkeit Multiplikationsregel

34. P(B) P(A)= Ausgewähltes Gefäß A B Gezogene Kugel w s w s Unser Astrologen-Beispiel, Situation 1: Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten

35. s w s w Gefäß A B Wahrscheinlichkeit, die unseren Astrologen interessiert: P( gezogene Kugel ist weiß) = P(w) Situation 1:  P(w)= = Pfadregel und Additionsaxiom P(A)= P(B) Ausgewähltes Gefäß A B Gezogene Kugel w s w s

36. s s w w Gefäß A B Situation 2:  P(w)= = Pfadregel und Additionsaxiom A B s(l) s(r) w(l) w(r)

37. s w w s Gefäß A B Situation 3:  P(w)= = Pfadregel und Additionsaxiom A B 1 s w(l) w(r) s

38. w s s w Gefäß A B Unser Astrologe sollte sich für die Kugelverteilung gemäß Situation 4 entscheiden: Dann ist seine Chance, seiner Wege gehen zu dürfen, größtmöglich. Sie beträgt rund 66%. Situation 4:  P(w)= = Pfadregel und Additionsaxiom A B 1 s(r) s(l) w w

39. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Gegeben: Zufälliger Versuch mit dem Ergebnisraum W und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P. Außerdem gelte und Ø für alle Ereignispaare Bi und Bj.. Dann gilt für jedes Ereignis A: Beweis: Pfadregel auf das zugehörige Baumdiagramm anwenden!

40. Pfadregel und Additivität B1 B2 Bn . . . A A A

41. A Veranschaulichung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit durch ein Venn-Diagramm: für den Spezialfall n=5 W B2 B4 B1 B5 B3

42. Begründung: Additionsaxiom Begründung: Multiplikationsregel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

43. Beispiel: In den zwei Körben befinden sich jeweils sowohl Schokoladenmäuse als auch Schokoladenkugeln: Im Korb mit der roten Schleife sind 40 Schokomäuse und 20 Kugeln, im Korb mit der blauen Schleife 30 Schokomäuse und 30 Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei rein zufälligem Griff eine Schokoladenmaus herauszufischen?

44. Zufälliger Versuch: Schritt 1: zufälliges Auswählen eines der beiden Körbe, • Schritt 2: zufälliges Auswählen einer Süßigkeit aus dem ausgewählten Korb. • Also: 2-stufiger Zufallsversuch; Elementarereignisse: geordnete Paare (gewählter Korb, Art der Süßigkeit)  W = { (rot, Maus) , (rot, Kugel) , (blau, Maus) , (blau, Kugel) } Achtung: wir haben es nicht mit einem Laplace-Modell zu tun, da in beiden Körben die Anzahl der Mäuse der Anzahl der Kugeln ist.

45. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit: P(Schokomaus)= Begründung: Pfadregelund Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Schokomaus“ Korb mit blauer Schleife Korb mit roterSchleife Schokomaus gezogen Kugel gezogen Schokomaus gezogen Kugel gezogen

46. Wichtige Begriffe der heutigen Vorlesung: Mehrstufiges Zufallsexperiment Beschriftetes Baumdiagramm als Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten  Pfadregel Bedingte Wahrscheinlichkeit  4-Felder-Tafel, Multiplikationsregel Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit  im 2-stufigen Baumdiagramm: Pfadregel + Additionsaxiom