Experimentera med sannolikhet!

1. Experimentera med sannolikhet! Per Nilsson Växjö 2012-02-28

2. Slumpmönster • Vilka av följande serier är ”äkta” kastserier med ett mynt och vilka har jag konstruerat själv, utan att kasta myntet? Vi sätter G för Gubbe och K för Krona! • GGKGKGGGGGGKKGKKKKGGG • KKGKGKGGKGKGKKGGKGKGG • GGGKGKGGGGKKKKKKGKKKG • GKGGGKKGKKKKKGGGKGGKK • Serie B har jag konstruerat själv! • Gäller att skapa en känsla för hur slump beter sig i det korta respektive i det långa loppet.

3. Miljonvinsten • Du står framför tre lådor. I en av lådorna finns en miljon och i de två andra är det tomt. • Du går fram och väljer en av lådorna utan att öppna. • Innan du öppnar lådan öppnar programledaren en av de båda andra lådorna och visar dig att där finns inte miljonen. • Byter du då låda till den tredje lådan (den som varken du valt eller programledaren öppnat) eller står du kvar? • En av er är programledare • Programledaren gör ett kryss på en av de tre lapparna. • Den tävlande väljer (pekar på) en av lapparna. • Programledaren visar en av de andra två, att där ligger inte vinsten (krysset)

4. Vad är sannolikhet? • När ett fenomen når en sådan grad av komplexitet att vi inte kan förklara det utifrån givna villkor och orsakssamband säger vi att fenomenet innehåller element av osäkerhet och är slumpberoende. • Sannolikhet är ett sätt att beskriva slumphändelser, dvs. det karaktäristiska för en sannolikhetsmodell är att den innehåller slump. • Att tilldela sannolikheter till en slumphändelses olika utfall innebär att vi tilldelar utfallen varierande grad av säkerhet (mellan 0 och 1).

5. Varför vill vi att elever ska lära sig sannolikhet? • Det finns två grundläggande skäl till detta. • Sannolikhet är en del av matematik och statistik, som är kunskapsfält som ska läras och utvecklas för sin egen skull. • Sannolikhet är en väsentlig del av livet. Vi gör ständigt bedömningar i situationer som är slumpmässiga, dvs. vi har inte all information tillgänglig eller så är situationerna för komplexa.

6. Sannolikhet bland solrosor • Bakgrund till undervisningsförsöket • Växande intresse för experimentell och modelleringsorienterad undervisning av sannolikhet. • Växande intresse för utomhusmatematik. • Vad blir kritiskt i elevers sätt att försöka skapa sig en bild av och förutsäga uppkomsten av solrosor utifrån egenproducerad statistisk data om solrosornas grobarhet?

7. Första aktiviteten - Plantering • 12 elever i klass 3 • Varje elev planterade 15 frön vardera, dvs. totalt 180 frö. • Det hade berättats för eleverna att detta var speciella frö, vars grobarhet vi ska undersöka. • Vissa var förstörda. Körda i mikron. Visste ej eleverna. • Eleverna fick gissa hur många de trodde skulle gro i sin ruta.

8. Andra aktiviteten – Beräkna frekvenser och ”Solroslotteriet” Solroslotteriet Säg att du tar ett frö i påsen på måfå och planerar det. Tror du det kommer gro eller inte gro? Satsa era 1000 kr på det alternativ gruppen kommer överens om.

9. Söker orsakssamband • Eleverna har svårt att betrakta situationen som slumpmässig. • När de ska bestämma om de ska satsa på att ett frö kommer gro eller inte kommer gro så argumenterar de utifrån biologiska och fysiska aspekter. • De bryr sig inte om vad experimentet har gett och resultaten i frekvenstabellen. “Om det är som där [pekar på landet], då måste alla [frö] dela på vatten och så. Men, om det är självt, då får det allt själv, och då kan det gro. ” • Andra elever hänvisar till att ett ensamt frö får all sol och alla näringsämnen själv.

10. Beroende händelser • Eleverna betraktar situationen med alla frö och situationen i lotteriet som väldigt olika. • Ser de olika fröerna som ”beroende” av varandra. • Vart går gränsen för när ett frö inverkar på ett annat? Hur tätt kan man plantera frö? • Matematiken försvinner i frågor om naturkunskap.

11. 0 1 2 3 4 5 8 12 13 14 15 6 10 7 9 11 Idé om medelvärde • Jag “tvingar in” experimentet och diagrammet i diskussionen. • I diagrammet noterar några elever att antalet rutor med fler än hälften av de 15 fröna grodde var fler än antalet rutor där färre än 15 frön grodde. • Efter att flera började inse att det i snitt var fler frön som grodde än inte grodde, föreslogs att det borde vara bättre att satsa på att fröet gror (i lotteriet).

12. Implikationer för undervisning • Att experimentera med sannolikhet ger sammanhang åt mycket matematik • Medelvärde, procent, multiplikation, diagram… • Var alert på elevers naturliga fallenhet för at söka orsaksförklaringar. • Var alert på hur undervisning i matematik kan stödja determinism som en klassrumsnorm. • Väcker frågor om ämnesintegrering. • Vad skulle hända om vi istället planterar i äggkartonger eller i plastmuggar?

13. Solrosor och pumpor • Betingad sannolikhet • Eleverna går i årskurs 5 • Klassens lärare leder aktiviteten. • Tio elever planterar 18 frön vardera av varje frösort (alltså, totalt 180 frön av varje sort).

14. 9/18 5/18 1/18 3/18 6/18 7/18 11/18 9/18 10/18 6/18 33% 39% 61% 50% 56% 33% 50% 28% 6% 17% 13/36 20/36 16/36 14/36 4/36 36% 56% 44% 39% 11% 43/90 24/90 48% 27% 67/180 37% Frekvensen pumpor

15. 4/18 4/18 7/18 5/18 7/18 5/18 3/18 6/18 4/18 6/18 28% Frekvens solrosor

16. Solrosor 67 Grodde 51 118 113 242 Grodde ej 129 Summa 180 180 360 Pumpor Summa Frekvenstabell – betingad sannolikhet • Vad är sannolikheten att ett frö gror? • Ett rådjur äter upp en planta. Vad är sannolikheten att det är pumpa? • Vad är sannolikheten att en mask får fatt i ett solrosfrö bland de frön som inte grott?

17. Erfarenheter • Nu blir det inte någon diskussion om orsakssamband. • För att eleverna är äldre? • Eller för att lektionen var annorlunda upplagd? • Organisering av frekvensinformation för att ge elever möjlighet att urskilja hur frekvenser stabiliseras ju fler försök man gör. • Interaktiv skrivtavla som stöd för organisationen av frekvenser och som yta för kommunikation. • Låta eleverna gå ut och göra en egen undersökning.

18. Samlade erfarenheter • Sannolikhet är en matematik med stor praktisk relevans. • I en sannolikhetsaktivitet ges mycket matematik och många matematiska förmågor möjlighet att komma till uttryck. • ”Enkelt” att hitta aktiviteter för matematisk modellering och problemlösning där teori och praktik förenas.