Univerzitet u Istočnom Sarajevu Filozofski fakultet Studijski program: matematika i računarstvo

1. Univerzitet u Istočnom Sarajevu Filozofski fakultet Studijski program: matematika i računarstvo Predmet:Računarske mreže Mreže i grafovi Kako se mrežemogurazvijati u skladusarazličitimpravilima: alinakrajubogatipostajubogatiji. Mentor: Prof. Dr Milorad Banjanin Student: Jovana Janković

2. Riječmrežaimamnogorazličitih primjena (aspekata) proučavanja, odpodzemnegljivičneinterkonekcijekoja se proučava u biologiji do ljudskeinterakcijeispitivaneodstranedruštvenihnaučnika. Nasglavniinteres je u rasponuizmeđufizičkestruktureračunarskihmreža do logičkestruktureInterneta, alisvemrežedijeleosnovnekoncepteisvojstva, iteorijagrafovaje standardnimatematičkialatzanjihovoučenje. UVOD Mreža je graf kod kojeg su granama pridruženi realni brojevi.

3. Postoji mnogo logističkih problema u svakodnevnom životu. Na primjer: dostava pošte, skupljanje otpada, čišćenje snijega, posipanje ulica solju zimi, čišćenje ulica, održavanje puteva, određivanje ruta školskih autobusa i mnogi drugi. Sigurnosniaspektizahtijevajudanajosjetljivije tačkemreže (onamjestakoja se ledeprva) buduočišćenaprva. Ekonomičnostzahtijevadarutačišćenjabudenajjeftinija. Održavanje puteva zimi zahtijeva mnogo složenog strateškog i operativnog planiranja. Glavni problemi uključuju pozicionisanje skladišta, označivanje sektora, određivanje ruta servisnih vozila, određivanje voznog reda. Optimiziju čišćenja snijega i posipanja ulica solju treba izvesti pazeći na dva aspekta: sigurnost i ekonomičnost. Svi ovi problemi mogu biti riješeni koristimo li algoritme teorije grafova. Logistika je upravljanje protokom roba, informacija i drugih resursa, uključujući energiju i ljude, između tačke izvora (ishodišta) i tačke konzumacije (potrošnje) s ciljem udovoljavanja zahtjevima potrošača (često, i izvorno, vojnim organizacijama). Logistika uključuje integraciju informacija, transporta, popisivanja, skladištenja, baratanja i pakiranja.

4. Teorija grafova U matematici i računarstvu pod teorijom grafova smatra se proučavanje grafova, matematičkih struktura korištenih da bi se predstavile relacije koje uključuju dva elementa određene kolekcije. Grafovi se prikazuju crtanjem tačaka za svaki čvor i povlačenjem luka između dva čvora, ako su oni povezani granom. Ako je graf usmjeren, smjer se navodi crtanjem strelice. Svakojgrani možemo pridružiti realan broj, što znači da je graf proširen težinskom funkcijom. U slučaju kada graf predstavlja mrežu cesta, težinska funkcija je npr. dužina svakog puta. Takav se graf zove težinski graf.

5. Teorijagrafovaimaširokeprimjene u različitimdisciplinama. U teorijigrafovarazmatramostrukturepomoćukojihmožemo modelovatimnogoproblemaizsvakidašnjegživota. Začetak teorije grafova možemo povezati s jednim problemom iz realnog života, koji bi se u današnje vrijeme nazvao logističkim problemom. Taj problem postavio je iriješio 1736. išvicarskimatematičarLeonhard Euler. Nekolikogodinaposlije Euler je izdaočlanakSolutioproblematis and geometriamsituspertinentis u časopisuCommentariiacademiaescientiarumPetropolitanae, u kojem je formuliraoiriješio problemSedamkönigsberškihmostova. Ovajrad, objavljen 1741., danas se smatraprvimradom u matematičkojdiscipliniteorijigrafova.

6. Teorija grafova je jedna od grana matematike koja nalazi veliku primjenu na području mreže računara , na primjer na područjima algoritama usmjeravanja, traženja puteva kroz mrežu, te opisivanju topologije mreže. U narednim slajdovima detaljno će biti objašnjeni osnovni pojmovi i definicije vezane za teoriju grafova, najvažnii algoritmi koji se javljaju u primjeni , koji će biti i detaljno opisani na primjerima.

7. Graf 1. n-1 ≤ m ≤ n(n-1)/2 u neusmjerenomgrafu (ako je donjagranica m=n-1 graf je stablo) matematička je struktura koja se koristi za opisivanje relacija između dva objekta iz određene kolekcije. U ovom kontekstu graf se odnosi na neprazni skup čvorovai skup grana koji povezuju par čvorova. 2. Grane mogu biti usmjerene ili ne, zavisno od primjera. Graf u kojem su sve grane usmjereni zovemo usmjerni graf, u suprotnom, zovemo ga neusmjereni. 2(n-1) ≤ m ≤ n(n-1) u usmjerenomgrafu. Skup vrhova obično se označava s V(G), a skup grana saE(G). U pravom grafu, za koji inicijalno pretpostavljamo da je neusmjeren, linija od tačke u do tačke v identifikuje se sa linijom od tačke v do tačke u. Ako je čvor čvrsto povezan, to jeste ako svaki čvor može dosegnuti bilo koji drugi čvor, onda lukova ne može biti suviše malo. U ovom slučaju mi imamo:

8. Graf Graf G (V,E) se sastoji od skupa čvorova (ili vrhova; engl. nodes, vertices) V(G) i skupa grana (bridova; engl. branches, edges)E(G). Skup E(G) je neuređeni skup parova e{u,v}. u i v su čvorovi iz V(G). u i v su čvorovi iz V(G). u i v su krajnje tačke grane e. u i v su susjedni čvorovi. Grana e pridružena je čvoru u i čvoru v. 6 čvor 2 grana e1 e2 3 1 e6 e3 5 V(G)={1,2,3,4,5,6} E(G)={e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6 ,e7 ,e8 } e1= {1,2} e2= {2,3} e3= {2,4} e4= {1,4} e5= {3,4} e6= {3,5} e7= {1,5} e8= {4,4} e4 e5 4 e8 e7

9. U digrafu (skraćenozausmjerenigraf), smjer od nekog čvora u do nekog čvora v i smjer od v do usmatraju se različitimlukovima, odnosnogranama. Ako graf G nije usmjeren, tada su dva vrha pridružena jednojgranimeđusobno ravnopravna. Usmjeren graf sa šest vrhova i sedam grana U usmjerenomgrafugranamožebitiusmjerenaodjednogčvorapremadrugome.

10. Neusmjeren graf Usmjeren graf Grana koja počinje i završava u istom čvoru zove se petlja. Grana je višestrukaako postoji drugi čvor kojemu odgovaraju isti vrhovi (kao početni i krajnji vrh). w u Višestruka grana izmedju čvorova u i v v

11. Graf se naziva jednostavnim ako je neusmjeren, nema petlji i između bilo koja dva čvora nema više od jedne grane. U jednostavnom grafu svaka se grana može identifikovati s parom različitih čvorova. Grana povezuje dva čvora. Ta dva čvora nazivaju se incidentnima toj grani, odnosno grana je incidentnasa ta dva čvora. Stepen čvora grafaG je broj grana koje su incidentne satim čvorom, pri čemu se petlje broje dva puta. Ako je skup granaE(G) konačan, tada je ukupna suma stepena svih grana jednakadvostrukom broju grana. Vrhovi u i v su susjedni ako postoji grana između njih.

12. w u Slika pokazuje da su granevu, vt , vw incidentni čvoruv. Prema tome, stepen čvora v je 3. v t Neka je G graf sa skupom vrhova V(G) i skupom grana E(G) i neka je G′ graf sa skupom vrhova V(G′) i skupom bridova E(G′). ! Tada je G′ podgraf grafa Gako je V(G′) podskup od V(G) i E(G′) podskup od E(G). Podgraf G′ je razapinjući podgraf grafa Gako ima isti skup čvorova kao i G

13. Niz od i granav0v1, v1v2, …, vi−1vi u grafu Gšetnja je od čvorav0 do čvoravi dužinei u G Šetnju obično označavamo s v0v1v1v2…vi−1vi Šetnja je zatvorena ako su joj prvi i zadnji vrh jednaki, a otvorena ako su različiti. v v t z t z u w w Graf i podgraf Šetnja u grafu alternirajući niz čvorova i grana, koji počinje i završava čvorom u kojem je svaki čvor incidentan grani koji mu prethodi i grani koji mu slijedi u tom nizu, a čvor koji prethodi grani i čvor koji slijedi tu granu krajnji su čvorovite grane. Ako u otvorenoj šetnji nema ponavljanja vrhova (pa prema tome ni grana), zovemo je put.

14. Šetnja utzw je put između u i w w u z v t ŠETNJA je staza u kojoj su sve grane međusobno različite. Zatvorena staza zove se tura Staza je Eulerova ako se u njoj pojavljuju svi grane u grafu, i to tačno jedanput. Udaljenost između vrhova v0 i vi u grafu G je dužina najkraćeg puta među njima, tj. broj grana kojima se on koristi. Udaljenost između vrhova v0 i vi označavamo s dG(u0,vi)

15. Udaljenost između vrhova u i v je dužinanajkraćeg puta među njima w u z v t Za graf kažemo da je povezan ako postoji put između bilo koja dva vrha u grafu. U suprotnom, graf zovemo nepovezanim. POVEZAN GRAF NEPOVEZAN GRAF w w u u z z v v t t

16. Graf se naziva stablom ako su svaka dva čvora u njemu povezana tačno jednim putem. Ciklus je zatvorena staza u kojoj su svi unutrašnji vrhovi međusobno različiti. Svaki povezani graf bez ciklusa je stablo. Neka je G povezan, neusmjeren graf. Razapinjuće stablo u tom grafu je podgraf koji je stablo i razapinje taj graf.

17. v v z t t z u w u w Razapinjujući podgraf Graf U težinskomgrafuminimalnimrazapinjućim stablomzovemoonostabločija je težina (tj. sumatežinanjegovihčvorova) manjailijednakatežinisvakog drugograzapinjućegstabla Jedan graf može imati mnogo razapinjućih stabala.

18. Problem sedam Kenigzberških mostova Grad Königsberg (Kaliningrad, adminsirativni dio Rusije, ali zemljopisno između Poljske i Litve) leži na obalama rijeke Pregel. Na rijeci se nalaze dva veća otoka koja su međusobno i s obalama povezani s pomoću sedam mostova. Euler je postavio sljedeći problem: U ovoj sekciji predstavljamo problem Sedam königsberških mostova. Kao što je Euler pokazao u članku, takva šetnja ne postoji. Postoji li šetnja preko svih sedam mostova koji povezuju dva otoka na rijeci Pregel s ostatkom grada Königsberga takva da se svaki most pređe tačno jedanput?

19. Zašto Eulerova Put koji prolazi kroz svaku spojnicu (granu) samo jednom zove se Eulerova šetnjajer je upravo Euler razriješio pitanje kenigzberških mostova koje je sadržavalo zahtjev da se svaki most predje samo jednom Na Slici kako je Königsberg izgledao u to vrijeme, kao što vidimo, četiri dijela grada (sjeverni, južni i dva otoka) bila su međusobno povezana putem sedam mostova.Manji otok s po dva je mosta povezan sa sjevernim i s južnim dijelom grada. Veći otok s po jednim je mostom povezan sa sjevernim s južnim dijelom grada, a postojao je i jedan most koji je povezivao dva otoka. šetnja

20. Dok je proučavao problem, Euler je došao na genijalnu ideju da različite dijelove grada označi čvorovima,a mostove među njima granama. Na taj je način konstruirao graf sa četiri vrha i sedam grana, kao što možemo vidjeti na slici. Model Köningsberga i mostova predstavljen u teoriji grafova.

21. Na taj je način modelovao Königsberg i njegove mostove koristeći se teorijom grafova (u to vrijeme pojam još nije postojao). Detaljnoproučavajućitaj problem, Euler je došao do zaključkadarješenjeNE POSTOJI. Nekoliko vijekova poslije znamo da se zatvorena Eulerova šetnja može naći samo u grafovima u kojima je stepen svakog vrha paran. Prema tome se grafovi u kojima su svi vrhovi parnog stepena nazivaju Eulerovim.

22. Izdvojimonekeodproblemakojisuriješeniuzpomoćteorijegrafovaikojisuprimjenjivina modelovanjenekihlogističkihproblemaizsvakodnevnogživota: Problem kineskog primjer je u kojem pokušavamo naći šetnju kojom prolazimo kroz svaku granu na grafu samo jednom, i to učiniti na najkraći mogući način, koristeći se usmjerenim ili neusmjerenim grafom. Za bolje razumijevanje možemo zamisliti poštara koji hoda ulicama (u našem slučaju po grafu) i koji želi uručiti poštu u svaku kuću (čvorovi našeg grafa) u najkraćem vremenu i tada se vratiti u poštu (polaznu tačku). Poštar pokušava uštediti vrijeme, trud i novac izvršavajući svoj zadatak tako da upotrijebi najkraći put.. poštara

23. Izdvojimonekeodproblemakojisuriješeniuzpomoćteorijegrafovaikojisuprimjenjivina modelovanjenekihlogističkihproblemaizsvakodnevnogživota: trgovačkog Problem na je prvi pogled vrlo sličan problemu kineskog poštara. Bavi se slučajem u kojem tražimo šetnju u usmjerenom ili neusmjerenom grafu tako da prođemo svaki vrh u grafu barem jednom i vratimo se u početni vrh na najkraći mogući način. Možemo zamisliti da su pri tome i zadane udaljenosti među vrhovima, pa tražimo da je i ukupna prijeđena udaljenost najmanja. U potrazi za najkraćim putem želimo naći najkraći put (npr. u težinskom grafu) između nekadva čvora. putnika

24. STEPEN ČVORA U usmerenom grafu razlikuju se ulazni stepen (broj grana čiji kraj je čvor v) i izlazni stepen (broj grana za koje je čvor v početak). Stepen d(v)čvora v je broj grana susednih čvoru v(broj grana koje direktno povezuju čvor v sa nekim drugim čvorom). 1 2 3 4

25. Stepen čvora Kod neusmjerenog grafa stepen d(x) čvora x je broj lukova koji idu od njega. Ako je graf čvrsto povezan svi čvorovi će imati bar jedan stepeni čvor stepena 1 ne može pripadati ni jednom ciklusu jer svaki luk je vezan za dva čvora, što znači vrijednost stepena čvora u cijelom grafu je Kod usmjerenog grafa, moramo razlikovati lukove ulaza i lukove izlaza čvora x, čiji brojevi su respektivno u-stepenu din(x) i van-stepena dout(x) tog čvora. Slika prikazuje usmjeren graf G gdje čvor 1 ima din(1) = 1 i dout(1) = 3, dok čvor 4 ima din(4) =3 i dout(4) = 0 G

26. Kod usmjerenih i neusmjerenih grafova rastojanje između dva proizvoljna čvora x,y definisana je kao dužina Ixy na najkraćem putu od x do y, pri čemu je dužina broj lukova na putu. Takođe će nas zanimati sredina vrijednosti i svih parova čvorova, na primjer: Ako ne postoji put od x do y moramo staviti Ixy = ∞ , pa dati odnos ima značenje samo za čvrstvo povezane grafove, usmjerene ili neusmjerene.

27. Usmjeren graf Graf je usmjeren ako se svakoj grani pridruži smjer tj. grana e{u,v} koja predstavlja put od čvora u do čvorav ali ne i obrnuto. Grane takvog grafa označavaju se dodatno strijelicama. Ako je svaka grana označena nekim brojem w većim od nule (dužinom) graf postaje težinski graf. 2 0.8 0.8 3 1 1.5 0.05 5 0.7 1 4 0.35 3.2 Graf G

28. Prikaz grafa u programu: Matrica susjedstva S[i][j]=1 S[i][j]=0 Ako čvorovi i i j nisu susjedni Usmjereni graf G ima matricu S susjedstva prema slici Ako su čvorovi i i j susjedni 2 0.8 0.8 3 1 1.5 0.05 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 S= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 5 0.7 1 4 0.35 3.2 Graf G

29. Matrica susjedstva je kvadratna i može se potencirati. k-ta potencija te matrice daje broj puteva dužine k. 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 S= 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 3 2 1 2 2 5 4 3 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 1 S2= 0 1 1 1 0 S3 = 1 2 2 1 1 S4 = 2 4 3 2 2 1 2 2 1 1 2 4 3 2 2 3 7 6 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30. Analizatakvihgrafikovaigrasamosporednuulogu u računarskimmrežama, ali to namomogućavadanam se pojasnenekaosnovnapočetnapitanja. Slučajan rast grafikona Kako se graf može generisati i kako on može rasti? Iako ovo jasno zavisi od oblasti primjene za koje je graf uzet kao matematički model, neka opšta pravila uvijek važe. Počnimo slučajnim rastom, što nas dovodi do srodnih pitanja o tome šta je slučajan graf. Glavni učesnik u ovoj oblasti na početku je bio Paul Erdös, veliki Mađarski matematičar Posebno je razvio klasičnu teoriju slučajnih (neusmjerenih) grafova sa svojim kolegom Alfréd Rényi 1959/60 na osnovu jednostavnih procesa.

31. Paul Erdős (26.mart 1913.- 20.septembar 1996), je jedan od najpoznatijih svjetskih matematičara 20. vijeka . Proslavio se prije svega zahvaljujući obimnim pronalascima u oblastima teorija grafova, kombinatorika, teorija skupova i vjerovatnoća. Paul Erdős se rodio u Budimpešti. Već u mladosti je bio proslavljen kao matematički genije (sa četiri godine je bio sposoban izračunati iz datuma rođenja broj sekundi, koje opisuju nečiju starost ), što potvrđuje i činjenica, da je doktorirao matematiku 1934. godine - u 21. godini života. Većinu života je proveo putujući sa jedne matematičke konferencije na drugu. Često je ostajao u kućama svojih saradnika, duži vremenski period, sve dok određeni problem nije bio rješen.

32. Random process 1: Proces seodnosinaneismjerenegrafoveali se možeprodužitinausmjerenegrafovenajednostavannačin. Početni sa početnim skupom čvorova Unositi lukove jedan po jedan povezujući parove čvorova slučajno Ovaj proces generiše ono što se zove slučajan graf. Podrazumijeva se da je jedan par čvorova izabran nekoliko puta, dok odgovarajući luk je dodat samo jednom. Primjetimo da su lukovi dodani jedan po jedan uzastopnim koracima, pa je takođe i m broj koraka na kojem je praćen proces. Ako je graf namijenjen modeliranju mreža u realnom životu može biti rijetko sačuvan, na primjer, broj lukova m može biti ograničen linernom funkcijom po n (broj čvorova) .

33. P(d) je vjerovatnoćasusretačvorasastepenom d. Ako je , koliko je potrebnoda bi bio povezan (iako to moždanećebitidovoljno) vrijednostsvakogčvoramožeobuhvatitiod 0 do n – 1 iglavnavrijednost d je data sa: • Neka su nam dati n i m, označimo čvorove i korake tog procesa brojevima • od 1 do n, i 1 do m • Glavni parametar kojeg treba razmotriti je stepen podjele p(x,d) • svakog čvora x, to je, vjerovatnoća x ima je stepen d. • Mi pretpostavljamo da je stepen čvora statistički podijeljen • preko grafova (ili ansambla grafova). • Tada možemo preći iz p(x,d) na vjerovatnoću stepena podjele • P(d) cijelog grafa definisanu kao Ova razmatranja mogu se odmah produžiti u in-stepen i out-stepen čvora usmjerenog grafa, tako definišemo P(din) i P(dout) na jednostavan način. Ta ista vrijednost je povezana sa m vezom: Takođeimamo

34. Ispitajmo funkciju P(d) detaljnije P(d) P(d) a e-d̅ d (a) (b) (a) Otrovna podijela za slučajan proces 1. Vrijednost d gdje P(d) maksimalno zavisi od i uvećava se za tu vrijednost. P(d)  0 za d  ∞. (b) Eksponencijalna podjela stepena slučajnog procesa 2. Za d  ∞ kriva teži sa opadanjem eksponenta. Za Erdös i Rényi postupak grafa sa lukovima koji su izabrani savršeno slučajno, standardna kombinatorika dozvoljava da dokaže da P(d) prati Otrovnu podjelu:

35. Da bismodobiliidejuzaštofunkcijeimajuovajoblik, izrazimo faktorijel od d u obliku Uklanjanjem svih konstanti iz uslova Imamo: Za male vrijednosti d (za d<a) brojilac ad raste brže nego imenilac dd+1/2 i funkcija raste. Kako d raste, dva uslova prve jednakosti i funkcija prelaze maksimum, i onda imenilac definitivno pobjeđuje i P(d) teži nuli. Zapravo imamo ad/dd+1/2 < ad/dd = (a/d)d, sa eksponencijalom propadanja za d  ∞ pa osnova a/d postaje manja od jedan.

36. Vraćajući se ponovo na neusmjerene grafove imamo stav: Slučajanproces 2: počnimo u početnomčvoruipostavimocijelobrojnekonstante k ≥ 1; To se lako može vidjeti, na koraku i = k + 1, ukupan broj lukova je m = nk – k(k-1)/2. Sve dok je k konstanta, kako proces ide imamo m ~ nk, otuda imamo d~ k. postupajmo u uzastopnimkoracima; u svakomkorakuubacimonovičvori k lukovakojipovezujuparovečvorovakojisuizabranislučajno.

37. pri čemu je au konstantnojzavisnostiod k. Poznatoponašanjeovefunkcije je prikazano u figuri Proces je prejednostavan za modelovanje većine realnih životnih fenomena gdje, na primjer, lukovi nisu primorani rasti u grupama iste veličine k za bilo koji novi čvor (oba čvora i luka se mogu brojevno povećavati i povremeno brojevno opadati). UOtrovnoj podjeli stepeni različitih čvorova služe da se okupe „demokratski“ oko glavne vrijednosti približne slučajnosti sa maksimumom funkcije, što znaži da većina čvorova ima stepen blizu prosjeka,a samo nekoliko njih imaju visok stepen.U eksponencijalnoj podjeli mnogo više čvorova imaju veću vrijednost od d. Uzmimo P(d) kao neprekidnu funkciju i neka dmora ima cjelobrojne vrijednosti. Standardna matematička analiza pokazuje da funkcija P(d) za slučajan proces 2 ima eksponencijalnu podjelu: P(d) = a*e-d/d̅ P(d) Kad d  ∞, otrovnim dijeljenjemfunkcija teži nuli dosta brže nego eksponencijalna podjela zato što obje funkcije pokazuju eksponencijalno propadanje, odnosno (a/d)d i (1/e)d.Obje baze su manje od 1, ali za prvu bazu ona se smanjuje za d, dok u drugoj ona je konstanta. a d (b)

38. Jasno je P(d,n) = P(d), ieksponencijalanodnosP(d) = a*e-d/d̅slijedi. Stepen generisan podjelom iz procesa 2 je neuravnotežen, sa „starijim“ čvorovima koji imaju u prosjeku veći stepen. U procesu 1, kadalukoviulaze u igru, čvorovisuvećtu, pa svakilukmožebitiprivržensvakomčvorusaistomvjerovatnoćom. Kao posljedica toga svičvoroviimajuistušansubilokogdatogstepena. U procesu 2, ako je čvor x dodatnagrafpriječvora y, onda x imavećuvjerovatnoćudabude meta nekihlukovaizjedinograzlogazatošto je u igriduže. Za graf definisanprocesom, p(x,d,i) je vjerovatnoća da čvor x ima stepen d u koraku i, za i ≥ x; i ukupan stepen podjele u koraku i je dat sa: Definišemo d(x,i) kao glavni stepen čvora x u koraku i, za i ≥ x. Glavna vrijednost je interesantan element u razumijevanju kako graf raste i to može biti dokazano kao:

39. Vidimo da je logaritam po n pa to znači da razdaljina između mreža ostaje mala čak i u velikim mrežama. Konačno, imajmonaumudasuprocesi 1i2biliispitivanizaneusmjerenegrafovealinjihovoproduženjenausmjerenegrafove je jednostavno, dovodeći do sličnihrezultatazafunkcije P(din) i P(dout). Snaga zakona:bogati postaju bogatiji Iako slučajnosti ima važnu ulogu u rastu realnih životnih mreža uključujući Internet i Web, potpuno drugačiji model rasta može da bude još više relevantan. Kao što ćemo sada vidjeti taj fenomen je prvobitno primjenjen na polju ekonomije, i tek kasnije je našao svoju primjenu i u drugim naukama.

40. Snaga zakona: bogati postaju bogatiji p Priča počinje na kraju devetnaestog vijeka sa Vilfredo-m Pareto-m i njegovim teorijama političke ekonomije. 1896 godine Pareto je predstavio „krivu prihoda“ baziranu na tačnom statističkom istraživanju o raspodjeli dohotka u različitim evropskim zemljama, naročito u Engleskoj i Prusiji gdje su rapoloživi podaci pouzdaniji. Gdjesua,b i y pozitivnekonstante. Pareto-vom statistikom je bilo pokazano da su njihove vrijednosti konstanti a,b,y prilično slične u svim zemljama za koje su bili dostupni podaci, i ostalo je prilično nepromjenjeno u preko četrdeset godina On je dao najbolji matematički odgovor u obliku:Y=b(x+a)-y U svim slučajevima eksponent je negativan pa je kriva konkveksna i y se smanjuje kako se x povećava. Kao što je Pareto uvijek naglašavao, glavni „oblik“ krive karakteriše bogatu podjelu svuda, čak i ako neke promjene tih konstanti mogu proizvesti manje deformacije.

41. y P(d) ba-y x d 1 E M (b) (a) (a) Pareto-va podjela prihoda. Kriva počinje na velikoj vrijednosti y ose dok je a veoma malo. (b) Pravilo snage podjele stepena čvora za tipični rast mreže. Ograničavajući krivu u konačnom prostoru, 1 ≤ x ≤ M, da predstavlja stvarni raspon prihoda; i dopuštajući da E bude srednja vrijednost prihoda na tom rasponu; može biti dokazano da je dohodak osoba manji od E i ima ga mnogo više od jedne polovine ukupnog broja stanovnika nezavisno od vrijednosti a i b. Ekonomski podaci koji se koriste danas su dosta više prefinjeniji oblici u poređenju sa Pareto-vom krivom, ali osnovna činjenica i dalje važi. Od najsiromašnijeg do najbogatijeg stanovnika, mali broj populacije ima veliko bogatstvo.

42. Pravilo je zatim produženo podižući rang i do eksponenta podjele koji je različit od -1, ispitivajući različite oblasti u kojima se može održati. Početkom 1930 značajna uloga u empirijskoj statistici je odigrana proučavanjem frekvencije riječi u prirodnim jezičkim izrazima, uglavnom zbog hardvarskog lingvista George-a Kingsley Zipf-a. Originalno Zipf-ovo pravila je počelo tako, da ako su riječi dovoljno bogate jezički, korpus se prema njihovoj opadajućoj frekvenciji, obraća sljedećom relacijom:f(wi) ∝ i-1 Frekvencija bilo koje riječi i je obrnuto proporcionalna svom rangu. Zipf-ovo pravilo države je da je najčešća riječ „the“ se javlja dva puta više nego druga najčešća riječ „of“, tri puta nego treća najčešća riječ „and“, itd.

43. krenimo sa početnim čvorom 1 1. nastavimo u uzastopnim koracima; na svakom koraku i dodajmo novi čvor ii novi luk koji povezuje i sa postojećim čvorem x izabranim sa vjerovatnoćom p proporcionalnim postojećem stepenu čvora x (na primjer, p ∝d(x,i)). Ovaj proces, predstavljen od strane Barabasi-ja i Albert-a 1999., je jedan od baza cijele teorije povećavanja mreža, i daje povod da ga nazovemo „citat graf“. Preferential attaching process 3 2. Standardna matematička analiza pokazuje da funkcija nastala iz procesa 3 ima neprekidnu snagu pravila u obliku:P(d) ∝ d-3

44. Zapravo Pc(d) je integral od P(d) u granicamaod d do ∞, pa otudaimamo Pc ∝ d-2. U poređenju sa Pareto-vom krivom na slici desno funkcija P(d) ∝ d-3 teži ∞ pa će d težiti nuli. Nova kriva ima značenje samo za d ≥ 1 zato što izgradnja svih tjemena ima najmanje jedan posredan luk. Štaviše u eksponentu -3 relacije P(d) ∝ d-3 eksponenet je veći u apsolutnoj vrijednosti nego eksponent –y iz relacije Y=b(x+a)-ypa je nova kriva bliža x osi. y ba-y x 1 E M (a) Lako možemo transformisati jednačinu u drugu da bi dobili kumulativnu raspodjelu Pc(d), na primjer, vjerovatnoća pronalaženja vrhunca stepena je ≥ d. Jednakost Y=b(x+a)-ydaje broj ljudi sa prihodom ≥ x ( ne baš x), dok jednakost P(d) ∝ d-3 daje vjerovatnoću pronalaženja vrhunca čiji je čvor jednak d.

45. krenimo sa početnom vrijednošću 1 1. idemo uzastopnim koracima; na svakom koraku i dodajemo novi čvor i novi luk koji povezuje dva postojeća čvora x,y izabrani sa vjerovatnoćom px ∝ d(x,i) + a i py ∝ d(y,i) + a, za konstantu a > 0. Zay = (2+a/2),a morabitiizabranoizintervala (0-2] do ykojiimavrijednost (2-3]. Preferencijalni I slučajanproces 4 Sve uobičajene varijacije procesa 4 završavaju sa snagom pravila za P(d) čiji eksponent i ostale konstante su funkcije različitih parametara kao što su broj lukova uveden u svakom koraku, ili njihova razlika između preferencionalnih i slučajnih lukova ili čak broj lukova koji su skinuti sa grafa u određenom koraku. Svi ovi parametri se ogledaju u grafičkom prikazu ove funkcije, koja u svim slučajevima ima prikaz na slici 2. Proces 4 predstavlja mješavinu prefencionalne i slučajneprivrženosti. Što je veće a, to je manji preferencionalan proces. Iako je moguće da je a veoma malo, ono ne može biti nula zato što svaki novi čvor i ulazi u graf sa stepenom nula i, za a = 0, ne može biti privrženo ostalima. P(d) (b) Asimptotična analiza pokazuje da za velike vrijednosti d funkcija P(d) nastala iz procesa 4 ima oblik: P(d) ∝ d-y

46. Za b < 1. Srednji stepen čvora uvećava se za odnos i preko x kako je i očekivano, i dodaje mnogo brže nego u eksponencijalnoj podjeli Možemo razmatrati i vrijednost (znači stepen čvora x na koraku i) kao štosmo uradili za eksponencijalnu podjelu. Za proces 4 i njegove varijacije dobijamo nešto oblika: y Asimptotsko poređenje između slučajno privrženih (eksponencijalno pravilo prikazano isprekidanom linijom) i preferencijalno privržavanje (pravilo snage prikazano u punoj liniji). a x 1 Čak i za proces 3 i njegove ekstenzije, srednja razdaljina između čvorova je mala, generalno označeno sa n kao:

47. Slika pokazuje dvije funkcije: y = ae-bx, y = ax-ypri čemu se a,b,y konstante. y Tačke gdje se dvije krive sijeku su x i y osi, ili sijeku neke druge, zavisi od vrijednosti a,b,y, ali u opštem slučaju krive su nezavisne od njihovih parametara. a Eksponencionalno pravilo može se postaviti iznad pravila snage u srednjem intervalu koordinate x, ali uvijek ostaje ispod pravila snage za male i velike vrijednosti x. x 1 Srednja vrijednost stepena čvora kao funkcije od trenutka kada čvor ulazi u igru, označena u relacijama za dvije podjele potvrđuje obilje čvorova sa visokim stepenom u drugom slučaju. Za x ∞ eksponencionalnim pravilom teži nuli ( po definiciji) sa eksponencijalom propadanja, dok kod pravila snage teži nuli mnogo sporije.

48. oblik te krive je u suštini nezavisan na bazi izabranog logaritma U prvom planu eksponencijalnoj funkciji odgovara prava linija sa uglom nagiba –b. U drugom planu pravilu snage odgovaraprava linija sa uglomnagiba –y. Proučavanje dvije funkcije y = ae-bx, y = ax-y može se vršiti uzimanjem prirodnog logaritma od obje strane jednakosti, pa tako dobijamo: ln y = ln a – by, ln y = ln a – yln x. lny lny A A D

49. C F B x E lnx (a) (b) Eksponencijalnoponašanje (isprekidanom) protivpravilasnage (puna), u polu-logaritamskojskali (a), ilogaritamskojskali (b). Raskrsnicesu: A = ln a, B = ae-y, c = ln a/b, D = ln a -1, E = ln a/y, F=lnln a – ln b. Zapravo podaci koji dolaze iz slučajnog priključka za eksperiment, ili iz preferencionalnog priključka za eksperiment, imaju tendenciju da se grupišu duž prave linije x, log y, ili u oblasti log x, log y. Oblikkrivih je veomabitanzaprocjenurezultataeksperimenta.

50. Konačno, možemorećida se rješavanjespomenutihproblemavrlolijepouklapa u rješavanjelogističkihproblemaizsvakidašnjegživota. Naprimjer: Puteviralicazasnijegmogubiti modelovaniuzpomoćteorijegrafova. Zatuprilikukoristimonekuvarijacijuproblemakineskogpoštara Konstrukcijaelektričnemreže, cjevovodazavodovodi sl., možebitiriješenapotragomzaminimalnimrazapinjućimstablom. Ruteiredoslijedtransporta robe odskladišta do trgovinamogu se modelovatiprekoproblematrgovačkogputnika Planiranjefiksnetelefonskemrežekojapovezujenekolikorazličitihobjekatamodelirano je prekopotragezaminimalnimrazapinjućimstablom Potragazanajkraćimputemvrlo je raširena u svakodnevnomživotu. Popularna GPS tehnologijamože se vidjeti u mnogimmotornimvozilimakaometodazapronalaženjepravogputaodjedne do druge tačkenazemljopisnojkarti.