Unidad didáctica: El recurso de Internet para las semejanzas en el plano.

1. Unidad didáctica:El recurso de Internet para las semejanzas en el plano. Autores: Ceballos González, Manuel Clavijo Ruiz, Fidel

2. El recurso de Internet para las semejanzas en el plano.

3. Objetivos • Reconocer figuras semejantes. • Construir figuras semejantes a una dada. • Utilizar el teorema de Thales para resolver problemas de semejanzas. • Usar los distintos criterios de semejanza de triángulos para resolver problemas geométricos.

4. Conceptos • Figuras semejantes. Definición. Razón de semejanza. • Triángulos semejantes. Razón de áreas. • Teorema de Thales. Triángulos en posición de Thales. • Criterios de semejanza de triángulos. • Movimientos en el plano: Simetrías, traslaciones y giros. • Semejanzas en el plano.

5. Procedimientos • Comprobación de la semejanza entre figuras. • Cálculo de la razón de semejanza de figuras semejantes. • Cálculo de la razón de áreas entre figuras semejantes. • Determinación de la amplitud de los ángulos y de la longitud de los lados de una figura semejante a otra, de la que se conocen ángulos y lados, utilizando la razón de semejanza.

6. Utilización del teorema de Thales en la división de segmentos de partes iguales o proporcionales y en el cálculo de longitudes y distancias. • Comprobación de la semejanza cuando utilizamos triángulos en posición de Thales. • Utilización de los criterios de semejanza de triángulos para detectar situaciones de semejanza en triángulos, o resolver problemas geométricos y de situaciones reales. • Aplicación de movimientos a figuras en el plano. • Construcción de figuras homotéticas.

7. Actitudes • Interés por enfrentarse a situaciones geométricas nuevas. • Potenciación de la iniciativa personal para plantearse investigaciones sobre formas geométricas planas. • Reconocimiento de la semejanza, puesto que nos proporciona nuevos métodos de resolución de problemas geométricos. • Valoración de las aplicaciones de la semejanza en el cálculo de distancias. • Tenacidad en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos o situaciones reales.

8. Semejanzas en el plano • Conceptos vinculados a la semejanza (por niveles): • 1º E.S.O. • Proporcionalidad. Razón de proporción. Proporcionalidad directa e inversa. • 2º E.S.O. • Teorema de Thales.

9. Semejanzas en el plano • 3º E.S.O. • Teorema de Thales. • Traslación. • Simetría. • Semejanza de triángulos. • 4º E.S.O. • Giro. • Homotecia. • Semejanza.

10. (1) Referencias Históricas Índice: (2) Proporcionalidad (3) Teorema de Thales (4) Traslaciones (5) Simetrías (6) Semejanza de triángulos (7) Giros (8) Homotecias (9) Semejanzas (10) Webgrafía

11. REFERENCIAS HISTÓRICAS

12. Referencias Históricas (1) Referencias Históricas: (1.1)http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/geometria.html Esta web versa sobre el origen de las matemáticas en general y de la geometría en particular. Se hace un breve resumen de los descubrimientos matemáticos vinculados a la geometría que fueron sucediendo desde la época de los egipcios hasta finales del siglo XIX. En este recorrido se analiza el progreso de las matemáticas en las distintas culturas y civilizaciones. También se nombran a matemáticos ilustres, protagonistas de los avances que caracterizan cada etapa de este desarrollo. Por último se describen algunas disciplinas específicas de la geometría como son la geometría diferencial, la geometría analítica, la descriptiva y la proyectiva.

13. Referencias Históricas (1.2) http://www.mat.usach.cl/histmat/html/thal.html Esta web es una biografía de Thales de Mileto. Se describen las aportaciones que Thales ofreció como comerciante, geómetra y astrónomo. Otra web de contenido semejante a las anteriores es: (1.3)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/historia.htm (1.4)http://www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm Esta web es una referencia histórica sobre las proporciones. En primer lugar narra el estudio de las proporciones del hombre de Vitruvio, cuadro de Leonardo da Vinci que realiza una visión del hombre como centro del Universo.

14. Referencias Históricas A continuación encontramos un texto sobre la divina proporción o proporción áurea. Se resalta el hecho de cómo ha ido usándose este concepto en todas las disciplinas. Por último, la sucesión de Fibonacci donde el cociente entre dos números consecutivos se va aproximando a la sección áurea. (1.5)http://www.portalplanetasedna.com.ar/anecdotas_matematicas.htm#LA%20LEYENDA%20DEL%20AJEDREZ Esta web trata varias anécdotas y curiosidades matemáticas que pueden resultar de interés para los alumnos. Entre ellas encontramos títulos como: • La leyenda del ajedrez • Razón Áurea Para más información: http://www.geocities.com/ResearchTriangle/Thinktank/4492/noticias/la_proporcion_aurea.htm

15. Referencias Históricas • Cálculo ultrarrápido • Fibonacci • Eratóstenes • Pierre de Fermat • Gottingen • Número ∏ • Números perfectos • Recta de Euler • Herón de Alejandría • Problemas griegos • Siglo XXI • Ramanujan

16. (1) Referencias Históricas Índice: (2) Proporcionalidad (3) Teorema de Thales (4) Traslaciones (5) Simetrías (6) Semejanza de triángulos (7) Giros (8) Homotecias (9) Semejanzas (10) Webgrafía

17. PROPORCIONALIDAD

18. Proporcionalidad (2) Proporcionalidad: (2.1)http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Funciones_funcion_de_proporcionalidad/Proporcion.htm Conceptos: • Proporcionalidad directa. • Concepto de proporción. Propiedad fundamental de las proporciones. • Regla de tres directa. • Proporcionalidad inversa. • Regla de tres inversa.

19. Proporcionalidad En esta web se introduce el concepto de la proporcionalidad. Para definir los conceptos se parte de un ejemplo aplicado a la vida real, se resuelve y posteriormente se formaliza. En cada ejemplo se muestra una aplicación interactiva con los ejes coordenados donde se van dibujando las coordenadas correspondientes a las magnitudes objeto de estudio. El alumno podrá comprobar que todos los puntos se sitúan sobre una recta que pasa por el origen, en el caso de la proporción directa o sobre una curva cuyas asíntotas son los propios ejes, en caso de proporción inversa. Se propone a los alumnos que dibujen tablas en su cuaderno para que comprueben los resultados.

20. Proporcionalidad A partir de tablas, se define el concepto de proporción, la razón de proporción y la propiedad fundamental de las proporciones. A continuación, se muestran ejemplos de reglas de tres directa. Sobre un cuadro interactivo los alumnos pueden ir cambiando los valores de las magnitudes para resolver todos los ejemplos. Por último, se define la proporcionalidad inversa con ayuda de un ejemplo de la vida real y se plantean problemas de regla de tres inversa. Se usan aplicaciones interactivas semejantes a las consideradas anteriormente.

21. Proporcionalidad (2.2)http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Semejanza/Semejan1.htm Esta web trata la proporcionalidad geométrica. En primer lugar se define la razón de proporción entre segmentos. Para la comprensión de este concepto se usa una aplicación interactiva y se proponen dos ejercicios. Esta aplicación recibe como dato de entrada cuatro valores numéricos correspondientes a las longitudes de cuatro segmentos y devuelve como resultado el cociente de los dos primeros y de los dos restantes. En los dos primeros ejercicios se fijan tres valores: a, b, c y se pide hallar la razón de proporcionalidad y la medida del cuarto segmento.

22. Proporcionalidad A continuación, se define el concepto de medio proporcional y como aplicación se propone un ejercicio para calcular el medio proporcional asociado a los valores 2 y 8. Para resolver esta cuestión, el alumno deberá ir variando los valores de los términos centrales conservando la razón de proporción hasta que coincidan. En este mismo ejercicio se pide al alumno que dé otra forma de calcular ese valor.

23. Proporcionalidad (2.3) http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad Conceptos: • Proporcionalidad directa con varios factores. • Concepto de proporción. Términos de una proporción. Propiedades. • Proporcionalidad inversa. Esta web al contrario que las anteriores no contiene aplicaciones interactivas. En cuanto a contenidos teóricos, se definen los conceptos de proporción, proporción múltiple y términos de la proporción; se demuestra que “ser proporcional a” es relación de equivalencia y se enuncia la propiedad fundamental de las proporciones. Además, contiene ejemplos extraídos de la vida real:

24. Proporcionalidad • El primer ejemplo es un problema de proporción con razones iguales y con magnitudes directamente proporcionales. Tras resolverlo, se hace hincapié en la representación gráfica mediante una función lineal. • El segundo ejemplo es de proporcionalidad múltiple con influencia de más de un factor. Este ejemplo se resuelve de dos formas distintas. • La primera forma consiste en fijar cada uno de los factores y operar de forma habitual. • La segunda forma da un método más rápido multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor. Esta web es de un nivel superior a las anteriores, aún así puede resultar útil como orientación.

25. (1) Referencias Históricas Índice: (2) Proporcionalidad (3) Teorema de Thales (4) Traslaciones (5) Simetrías (6) Semejanza de triángulos (7) Giros (8) Homotecias (9) Semejanzas (10) Webgrafía

26. TEOREMA DE THALES

27. Teorema de Thales (3) Teorema de Thales: (3.1) http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Semejanza/Semejan1.htm Conceptos: • Teorema de Thales. Aplicación en un triángulo. En esta web se trata el Teorema de Thales. Se adjunta una aplicación interactiva. En la ventana de la aplicación aparecen tres rectas paralelas cortando a dos transversales. Se trata de que el alumno compruebe el Teorema de Thales haciendo variar elementos del dibujo. Para ello se proponen cuatro ejercicios:

28. Teorema de Thales En el primer ejercicio el alumno debe mover los extremos de los segmentos determinados por los cortes y comprobar que las razones se conservan. En el segundo se debe hacer la misma comprobación moviendo la recta intermedia paralela. El tercer ejercicio pide realizar las comprobaciones anteriores pero en el cuaderno, sin usar ordenador. Para el cuarto y último ejercicio, al alumno debe mover la recta paralela intermedia hasta que los cortes sobre ella equidisten de los extremos correspondientes. Después debe variar los extremos de los segmentos para comprobar que la longitud se conserva.

29. Teorema de Thales Actividades interactivas similares se pueden encontrar en las páginas: (3.2)http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Semejanza/teorema_de_thales.htm (3.3)http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/NivelIX/TeoremadeThales/TeoremadeThales.htm (3.4)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/teorema.htm

30. Teorema de Thales La última sección constituye una aplicación del Teorema de Thales sobre triángulos. Con una aplicación interactiva, el alumno puede comprobar que se sigue verificando el Teorema de Thales sobre un triángulo en el que se ha trazado una paralela a uno de los lados. Esta aplicación del teorema de Thales también puede verse en: (3.5)http://www.divulgamat.net/weborriak/recursosinternet/Recaula/Geometria/tales.htm

31. Teorema de Thales Las páginas web siguientes contienen las mismas actividades interactivas que la referencia del principio: (3.6)http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/0inicio/ThThales.htm (3.7)http://enebro.cnice.mecd.es/~jhep0004/Paginas/Lydia/aplicaciones.htm (3.8)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Teorema_de_thales/Semejanzas_thales.htm

32. Teorema de Thales (3.9)http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/semej2.htm Conceptos: • Teorema de Thales. • División de un segmento en partes iguales. • División de un segmento en partes proporcionales a segmentos dados. Esta web trata del Teorema de Thales y dos aplicaciones del mismo. Se comienza enunciando el teorema y se adjunta una actividad interactiva que permite al alumno reproducir paso a paso la construcción de los elementos geométricos que se usan y modificarlos a su gusto. Hay una errata: en la parte inferior de la actividad aparece A’B’=B’C’ en vez de A’B’/B’C’.

33. Teorema de Thales A continuación se presentan dos aplicaciones del Teorema de Thales muy útiles para dibujo y geometría. La primera es la división de un segmento en partes iguales. Esta construcción se puede hacer con regla y compás. Se adjunta una aplicación interactiva que permite visualizar la construcción paso a paso. La otra aplicación es la división de un segmento en partes proporcionales a segmentos o números dados. También se muestra una aplicación análogas a las anteriormente mencionadas.

34. Teorema de Thales (3.10)http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/Historia/Thales%20de%20Mileto.htm Conceptos: • Introducción histórica, periodo Helénico. • Thales de Mileto. • Cinco Teoremas atribuidos a Thales. En esta web nos encontramos con una pequeña introducción histórica al periodo Helénico y a Thales de Mileto como padre de la geometría deductiva. En ella se hace referencia a sus estudios en Egipto y Grecia. A continuación, se enuncian cinco teoremas que la tradición atribuye a Thales. Cada teorema aparece ilustrado con una imagen interactiva que los alumnos pueden modificar. Estos teoremas son:

35. Teorema de Thales • Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro. • Los ángulos de la base en un triángulo isósceles son iguales. • Los ángulos opuestos por el vértice intersección de dos rectas son iguales. • Congruencia de triángulos. • El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. (3.11)http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/andared02/geometria2/Trabajo/tema6/thales.htm En esta web se enuncia el Teorema de Thales ilustrándolo con un dibujo.

36. Teorema de Thales (3.12)http://www.rena.edu.ve/terceraEtapa/matematica/TEMA30/SemejanzaTriangulos.html En la siguiente web se enuncia el Teorema de Thales y se usa una aplicación para justificar el origen del teorema. Thales utilizó el teorema para calcular la altura de una de las grandes pirámides de Egipto. Aparecen imágenes ilustrativas explicando los razonamientos de este matemático. Por último, hay un enlace a una actividad interactiva que trata de averiguar la anchura de un río con ayuda de un árbol a cada lado del río. El alumno puede comprobar si su solución es correcta seleccionando “Evaluar”. Ahora vamos a desarrollar el contenido de páginas que no disponen de actividades interactivas.

37. Teorema de Thales (3.13) http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales En esta web se enuncian dos teoremas que reciben el nombre de Teorema de Thales. • El primero de los teoremas afirma que dadas dos rectas “r” y “s”, concurrentes en un punto “ O”, dos puntos de “r” A y A’, dos puntos de “s” B y B’, se verifica: Este enunciado establece una equivalencia con el paralelismo de las correspondientes rectas que cortan a las transversales.

38. Teorema de Thales Como aplicación se propone un problema en el que se conoce la sombra de un árbol, la longitud de un lápiz y la sombra del mismo. Se pide calcular la altura del árbol. • El segundo de los teoremas afirma que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Y viene acompañado de una demostración.

39. (1) Referencias Históricas Índice: (2) Proporcionalidad (3) Teorema de Thales (4) Traslaciones (5) Simetrías (6) Semejanza de triángulos (7) Giros (8) Homotecias (9) Semejanzas (10) Webgrafía

40. TRASLACIONES

41. Traslaciones (4) Traslaciones: (4.1)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimientos_plano_vectores/josepmnavarro_UD3.htm Conceptos: • Traslaciones en el plano. • Concepto de traslación. • Composición de traslaciones. • Propiedades de las traslaciones. El primer apartado de esta web trata el concepto de traslación en el plano. Se muestra un ejemplo de traslación dado por un vector director aplicado a un triángulo.

42. Traslaciones El ejemplo viene ilustrado con una imagen interactiva donde el alumno podrá variar la longitud y la dirección del vector en cuestión. A continuación un segundo ejercicio para estudiar la relación entre las coordenadas de los elementos del ejemplo anterior. En este caso también se puede variar el origen y extremo del vector dirección sobre la imagen interactiva. En el segundo apartado se estudia la composición de dos traslaciones con sus vectores directores correspondientes. Para ello también contamos con una actividad interactiva de características semejantes. Además se proponen ejercicios para que el alumno formalice y generalice lo que observa.

43. Traslaciones Por último, sobre una pizarra interactiva se pide comprobar las propiedades que caracterizan al grupo abeliano de las traslaciones con la operación composición. (4.2)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimientos_en_el_plano/Ricardo_Alonso_UD.htm En esta web se estudia el concepto de traslación. Primeramente se define formalmente y después se ilustra interactivamente con un ejemplo en la traslación de un segmento. También se hacen preguntas para que el alumno razone sobre las propiedades de las traslaciones.

44. Traslaciones (4.3)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Movimientos_plano_puntos_segmento/Traslacion.htm Conceptos: • Traslación en el plano. • Traslación de puntos. • Traslación de segmentos. • Traslación de rectas. • Traslación de ángulos. Esta web versa sobre traslaciones en le plano. Se comienza dando un ejemplo ilustrado por un dibujo para dar una idea intuitiva del concepto.

45. Traslaciones A continuación, tenemos cuatro apartados para estudiar la traslación sobre puntos, segmentos, rectas y ángulos. Cada caso se ilustra con una aplicación interactiva manipulable por parte del alumno. Además se proponen ejercicios para que le alumno perciba las propiedades de las traslaciones.

46. Traslaciones (4.4)http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Geometria/Vectores_y_traslaciones/Vectores_y_traslaciones.htm Conceptos: • Vectores. • Vector de posición. • Vector fijo y vector libre. • Traslación. • Traslación de un punto. • Traslación de una figura. • Suma de vectores y traslaciones.

47. Traslaciones Esta web trata sobre vectores y traslaciones. En la primera parte se definen conceptos como vector de posición , vector fijo y vector libre. Todos ellos vienen ilustrados con imágenes interactivas. En ellas el alumno puede modificar el extremo y origen de los vectores (salvo en el de posición) y ver como varían las coordenadas. A su vez se definen las características de un vector: módulo, dirección y sentido. En la segunda parte se estudia la traslación en el plano. Primeramente, se explica el proceso de traslación de un punto y después la traslación de una figura. Al igual que antes, el alumno dispone de aplicaciones interactivas para visualizar el procedimiento. Por último, se explica la suma de vectores para poder definir la composición de traslaciones. Son importantes los dos ejercicios finales pues en ellos se concentran las propiedades de las traslaciones.

48. (1) Referencias Históricas Índice: (2) Proporcionalidad (3) Teorema de Thales (4) Traslaciones (5) Simetrías (6) Semejanza de triángulos (7) Giros (8) Homotecias (9) Semejanzas (10) Webgrafía

49. SIMETRIAS

50. Simetrías (5) Simetrías: (5.1) http://www.cienciateca.com/simclases.html Esta web estudia las diferentes clases de simetrías. La simetría es una noción más fácil de intuir que de describir. Por ello en esta web se explica mediante dibujos con manos. Así los alumnos pueden reproducir las imágenes y comprender el concepto de simetría. Se hace hincapié en el origen histórico de la clasificación de las simetrías y en las redes y mosaicos regulares como aplicación de las mismas.