Computabilidade e Linguagens Formais

Computabilidade e Linguagens Formais Máquinas de Turing Gabriel David / Cristina Ribeiro

Hello, world main() { printf(″hello, world\n″); } • Qual a saída deste programa?

Hello, world de novo int exp(int i, n) /* calcula i^n */ { int ans, j; ans = 1; for (j=1; j<=n; j++) ans *= i; return(ans); } main() { int n, total, x, y, z; scanf(″%d″, &n); total = 3; while(1){ for (x=1; x<=total-2; x++) for (y=1; y<=total-x-1; y++){ z = total-x-y; if (exp(x,n) + exp(y,n) == exp(z,n)) printf(″hello, world\n″); } total++; } } • Qual a saída deste programa? • Para entrada 2? E 3? xn + yn = zn • Último teorema de Fermat • Levou 300 anos a provar que é impossível para n3

Devem existir problemas indecidíveis • Problema é decidir se uma cadeia pertence a uma linguagem • O número de linguagens diferentes sobre um alfabeto com mais do que um símbolo não é numerável • Não é possível estabelecer uma correspondência biunívoca com  • Os programas são numeráveis • Cadeias finitas sobre alfabetos finitos • Ordenar por comprimento e por ordem lexicográfica • Podem ser contados, embora em número infinito • Há infinitamente menos programas do que problemas • Linguagem ao acaso dá provavelmente um problema indecidível • A maioria dos problemas parecem decidíveis porque são escolhidos

Teste do “Hello, world” • Hipótese • Existe um programa H que recebe como entrada um programa P e uma entrada I e imprime yes se P com entrada I imprimir hello, world e no no caso contrário; e faz sempre uma coisa ou outra • Um problema que tenha um algoritmo como H é decidível • Senão é indecidível • Vamos provar que H não existe • Seria estranho que um programa resolvesse o último teorema de Fermat H P yes I no

Prova por contradição • Simplificação na classe de programas P • Só programas em C com saída em caracteres e que só usam printf() • Modificar H • As modificações não põem em causa a existência de H • Modificar printf() de forma a que quando devesse imprimir no, passe a imprimir hello, world • Obtém-se H1 H1 P yes I hello, world

Prova por contradição • Interesse em programas que processam programas • Restringir H1 • Só tem entrada P • Pergunta o que faz P quando recebe P como entrada • H2 é modificação de H1 • H2 começa por ler P para um array com malloc() • H2 simula H1 substituindo leituras de P e de I por leituras do array • O que faz H2 quando é dado como entrada a ele próprio? H2 yes P hello, world H2 yes H2 hello, world

H2 não pode existir • H2, dado P • Imprime yes se P imprimir hello, world com entrada P • Imprime hello, world se P, com entrada P, não imprimir hello, world • Dando H2 a H2 • Se imprimir yes diz que H2 com entrada H2 imprime hello, world • Mas acaba-se de assumir que H2 com entrada H2 imprime yes • Se imprimir hello, world (tem que ser uma ou outra das possibilidades) então a saída da caixa tem que ser yes • Contradição também • Portanto H2 não pode existir nem H1 nem H • O problema do hello, world é indecidível

Redução de problemas • Outros problemas • Para testar a indecidibilidade pode-se construir um programa paradoxal, semelhante a H2 • Alternativa: reduzir o problema indecidível ao novo problema; se conseguisse decidir o novo, também decidia o antigo; como o antigo é indecidível, o novo também é • Questão: saber se se consegue reduzir o antigo ao novo • Nota: reduzir o novo ao antigo não resolve porque daria Decidível(antigo)  Decidível(novo), mas o antecedente é falso • Decide yes ou no conforme a sua entrada instância do problema P2 está ou não na linguagem do problema Decide yes P1 P2 Constrói no

Fase de construção • A construção tem que reduzir cada instância de P1 (cadeia w) a uma instância de P2 (cadeia x) com a mesma resposta • Qualquer cadeia no alfabeto de P1 que não pertence à linguagem de P1 tem que ser convertida para uma cadeia que não está na linguagem de P2 • Assim, se w está em P1, x está em P2 e Decide diz yes; se w não está em P1, x não está em P2 e Decide diz no; fala verdade sobre w

Exemplo de redução • Problema • Programa Q, com entrada y, chama a função foo? • Se Q não tiver a função foo é fácil • P1 é o problema hello, world e P2 é o problema chama-foo • Dado um programa Q com entrada y construir um programa R com entrada z que chame foo se e só se Q com entrada y imprimir hello, world • Construção • Se Q tiver foo, renomeá-la e a todas as suas chamadas • Adicionar uma função foo vazia e que não é chamada • Memorizar no array A os primeiros 12 caracteres da saída • Sempre que o programa escrever para a saída, verifica em A se está lá hello, world e, nesse caso, chama foo • O programa modificado é R; a entrada z é igual a y • Se fosse possível decidir R também seria possível decidir Q

Motivação • Problemas indecidíveis • Não existe algoritmo • Problemas intratáveis • Os algoritmos conhecidos são demasiado dispendiosos • Simplificação; heurísticas • Necessidade de um modelo simples de computador para estudar a computabilidade • Máquinas de Turing • Modelo de computador, mais do que de linguagem

Contexto • David Hilbert (início do séc. XX) • Há alguma maneira de determinar se qualquer fórmula da lógica de predicados de primeira ordem, aplicada aos inteiros, é verdadeira? • Kurt Gödel (1931) • Teorema da incompletude: construiu uma fórmula que não pode ser provada nem refutada • Técnica semelhante ao programa contraditório H2 • Alan Turing (1936) • Máquina de Turing: modelo de qualquer computação possível • Veio a estar envolvido, durante a 2ª Guerra, no esforço de construção de máquinas de que emergiram os computadores • Hipótese de Church (tese de Church-Turing, não demonstrável) • Todos os modelos gerais de computação são equivalentes às funções parciais recursivas e às máquinas de Turing (mesmo os computadores actuais)

Máquina de Turing Controlo • Controlo finito • Número finito de estados • Fita de comprimento infinito dividida em células • Cada célula pode conter um símbolo (alfabeto finito) • Entrada • Cadeia finita constituída por símbolos do alfabeto de entrada • Colocada na fita no início; resto da fita preenchido com brancos (B) • Símbolos da fita • Alfabeto de entrada + branco + possivelmente outros símbolos … … B B X1 X2 Xi Xn B B

Máquina de Turing • Cabeça da fita • Sempre posicionada numa célula • No início, está na célula mais à esquerda da entrada • Movimento ou passo da máquina • função do estado do controlo e do símbolo a ser varrido pela cabeça • 1. Mudança de estado • Pode ser o mesmo • 2. Escrita de um símbolo na célula onde está a cabeça • Pode ser o mesmo • 3. Deslocação da cabeça de uma célula à esquerda ou à direita • Não restringe: sequência de passos com a cabeça parada seguida de um com movimento pode ser resumida neste

Formalização • Semelhante a autómatos de pilha • Máquina de Turing (TM) M= (Q, , , , q0, B, F) • Q: conjunto finito de estados do controlo • : conjunto finito de símbolos de entrada • : conjunto finito de símbolos da fita • : função de transição (q, X) = (p,Y,D) • q é um estado, X um símbolo da fita • p é o novo estado, em Q; • Y é o símbolo em  que substitui X; • D é L ou R, esquerda ou direita, direcção em que a cabeça se move depois da substituição • q0: estado inicial • B: branco, símbolo que preenche a fita, excepto as células com a entrada • F: conjunto de estados de aceitação ou finais

Computação • Descrição instantânea • X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn • Células desde a primeira à última não brancas (nº finito) • Mais um prefixo ou sufixo finito com brancas até à cabeça • O estado (q) e a célula (i) onde a cabeça está • Passo da máquina de Turing M (├M;├*M – 0 ou mais passos) • Supondo (q,Xi) = (p,Y,L) • X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn ├MX1X2…Xi-2pXi-1YXi+1…Xn • Estado q passa a p; célula Xi passa a Y; cabeça anda para a esquerda • Se i=1: qX1X2…Xn ├ pBYX2…Xn • Se i=n e Y=B: X1X2…Xn-1qXn ├ X1X2…Xn-2pXn-1 • Simétrico para (q,Xi) = (p,Y,R)

Exemplo 0n1n • TM para aceitar a linguagem {0n1n | n1} • Ideia • Fita no início contém 0’s e 1’s • Mudar o primeiro 0 para X; deslocar para a direita até ao primeiro 1 e mudá-lo para Y; deslocar para a esquerda até ao primeiro X; deslocar um para a direita; recomeçar • Se num estado aparecer algum símbolo não previsto, a TM morre • Se a entrada não for 0*1* • Se na iteração em que marca o último 0 também marca o último 1 então aceita

Exemplo 0n1n • M = ({q0,q1,q2,q3,q4), {0,1}, {0,1,X,Y,B}, , q0, B, {q4}) • q0: muda 0 para X • q1: desloca-se para a direita até ao primeiro 1 que muda para Y • q2: desloca-se para a esquerda até encontrar um X e volta a q0 • Se tiver um 0 reinicia o ciclo; se tiver um Y vai para a direita; se encontrar um branco vai para q4 e aceita; senão morre sem aceitar

Computações no exemplo • Entrada 0011 • Descrição instantânea inicial q00011 • q00011 ├ Xq1011 ├ X0q111 ├ Xq20Y1 ├ q2X0Y1 ├ • Xq00Y1 ├ XXq1Y1 ├ XXYq11 ├ XXq2YY ├ Xq2XYY ├ • XXq0YY ├ XXYq3Y ├ XXYYq3B ├ XXYYBq4B • aceita • Entrada 0010 • q00010 ├ Xq1010 ├ X0q110 ├ Xq20Y0 ├ q2X0Y0 ├ • Xq00Y0 ├ XXq1Y0 ├ XXYq10 ├ XXY0q1B • morre

Diagramas de transição • Semelhante a autómato de pilha • Nós são estados da TM • Arco do estado q para o estado p com etiquetas X/YD • (q,X) = (p,Y,D), X e Y são símbolos da fita e D é L ou R • Start é estado inicial; circunferência dupla, estados finais; B, branco Y/Y  0/0 Y/Y  0/0 Start 0/X  1/Y  q0 q1 q2 X/X  Y/Y  B/B  q3 q4 Y/Y 

Exemplo • Diagrama de transição para uma TM que aceite a linguagem das cadeias com número igual de 0 e 1. 0/X  Y/Y  1/1  Y/Y Y/Y  0/0 Start 1/X  q0 q1 q2 B/B  1/Y  0/Y  X/X  q4 q3 0/0  1/1  Y/Y  • q00110 ├ Xq2110 ├ q3XY10 ├ Xq0Y10 ├ XYq010 ├ XYXq10 ├ XYq3XY ├ • XYXq0Y ├ XYXYq0B ├ XYXYBq4B • q0110 ├ Xq110 ├ X1q10 ├ Xq31Y ├ q3X1Y ├ Xq01Y ├ XXq1Y ├ XXYq1B

Linguagem de uma TM • Cadeia de entrada colocada na fita • Cabeça no símbolo mais à esquerda • Se a máquina entrar num estado de aceitação, a cadeia é aceite • Linguagem da TM M= (Q, , , , q0, B, F) • Conjunto das cadeias w em * tais que q0w ├* p e p  F • Linguagens recursivamente enumeráveis Linguagens Linguagens recursivamente enumeráveis TM Linguagens sem contexto (CFL) PDA, CFG Linguagens regulares (RL) DFA (NFA, -NFA), RE

Paragem • Uma TM pára se entrar num estado q a ler um símbolo X e (q,X) não estiver definida • Permite encarar a máquina de Turing como executando uma computação, com princípio e fim • exemplo: calcular a diferença de dois inteiros q00m10n├* 0m-nqf • TM que param sempre, aceitem ou não a entrada, constituem modelos de algoritmos (linguagens recursivas) • Pode-se assumir que uma TM pára sempre que aceita • Infelizmente não é sempre possível exigir que uma TM pare quando não aceita • Indecidibilidade (linguagens recursivamente enumeráveis) • Possibilidade de uma TM se referir a si própria (poder para ser indecidível)

Técnicas de programação de TM • Uma TM tem o mesmo poder computacional que os computadores actuais • Memória no estado • Estado = controlo + memória de dados • Ver o estado como um tuplo • Pistas múltiplas • Fita composta por várias pistas; um símbolo em cada pista • Alfabeto da fita constituída por tuplos • Poder das TM permanece inalterado

Subrotinas • Uma TM é um conjunto de estados que executa um processo • Tem uma entrada e estados finais • Encarada como subrotina de uma TM principal • Chamada vai para estado principal • Não existe noção de endereço de retorno • Se uma subrotina for chamada de vários estados diferentes, faz-se cópias (macro) para retornar ao estado que chamou

Extensões • TM com várias fitas • Cada qual tem a sua cabeça • Entrada só na primeira fita • Movimento: esquerda, direita e estacionário • Equivalente a uma fita • Complexidade temporal quadrática • TM não deterministas • Função de transição dá conjunto de tuplos (q,Y,D) • Equivalente a determinista • Codificar na fita uma fila com as descrições instantâneas a processar • Simular o não determinista percorrendo-as em largura

Restrições • TM com fitas semi-infinitas • Máquinas com várias pilhas • Máquinas com contadores • Comparação com computadores

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