TEMA: VALORES , VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACIÓN

1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MÁTEMATICA M49 (EPE) TEMA: VALORES , VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACIÓN

2. Competencias: . Explica los conceptos de valores y vectores propios de una matriz cuadrada. . Explica los conceptos de polinomio característico y ecuación característica de una matriz. . Explica el concepto de base propia. . Explica el concepto de matriz diagonalizable. . Determina cuando una matriz es diagonalizable y hallar la matriz de transición necesaria para diagonalizarla.

3. INTRODUCCIÓN: En muchas aplicaciones se requiere el cálculo de potencias grandes de matrices (cadenas de markov , crecimiento poblacional , análisis de estructuras,etc) tales cálculos suelen ser tediosos. Con información adicional acerca de la matriz se puede facilitar el trabajo. Así tenemos por ejemplo: Calcúlese A6 , donde : A = ¿ y si se sabe que A = P P -1 donde P = y P -1 = como sería A6 ?

4. Dada la Matriz A nxn se llama valor propio de A al escalar y vector propio de A al vector no nulo v tal que: nx1 vector propio AV= V valor propio VECTOR Y VALOR PROPIO Definición:

5. POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SEA A ySEA V NO NULO, nx1 nxn Tal que AV = V entonces : polinomio característico P( ) = det ( A- I) ecuación característica det ( A - I ) = 0

6. E = { V (A- I)V = 0 } nx1 CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ SEA UN VALOR PROPIO DE A EL CONJUNTO: nxn CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO observe que los v son las soluciones del sistema homogéneo (A - I)V=0

7. PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ 1. Se halla los valores propios que son las raíces 1, 2 ,..., n de p( ) = det(A- I )= 0 2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A- I)v= 0, correspondiente a cada valor propioi ( son los vi)

8. EJEMPLO: Hallar los valores y vectores propios de A=

9. BASE PROPIA DE Rn Definición: Se llama base propia de Rnrespecto a la transformación lineal Ta una base de Rn formada por los vectores propios de T. Teorema:El conjunto de vectores propios correspondientes a valores propios distintos es linealmente independiente.

10. MATRIZ DIAGONALIZABLE Definición: Una matriz A de nxn es diagonalizable si existe una matriz C tal que A= CDC-1, donde D es una matriz diagonal.

11. TEOREMA: Una matriz A de nxn es diagonalizablesi y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.En tal caso la matriz diagonal D semejante a A está dada por: D=

12. Donde 1 , 2, 3,..., n son los valores propios de A , y C es una matriz cuyas columnas son los vectores propios linealmente independientes de A,entonces: D=C-1AC Matriz de transición

13. Nota : Para que una matriz cuadrada A sea diagonalizablebasta que esta posea una base propia. Corolario: Si la matriz A de nxn tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.

14. CONCLUSIONES : • Una matriz A es diagonalizable si existe • C tal que C-1 A C = D, donde D es • diagonal • La matriz C que diagonaliza a A esta • formada por vectores de una base propia • de A en sus columnas. • Para que A sea diagonalizable basta con • que posea una base propia.