Leçons de la Nature L’os et le bambou

1. Journée de rencontre Lions – D’Alembert Biomécanique Leçons de la NatureL’os et le bambou Cécile Baron Institut Jean Le Rond D’Alembert – UMR CNRS 7190 Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

2. FGM, qu’est-ce que c’est ? • Functionnally Graded Materials : matériaux à gradient de propriétés. • Matériau hétérogène ou non-homogène ? Une seule phase. • Les propriétés mécaniques et/ou thermiques du matériau varient progressivement selon une direction de l’espace. Cette variation « lente » des propriétés peut être due à une variation de la (micro)structure (porosité) ou de la composition du matériau. • Rq : selon l’échelle d’observation, un matériau à hétérogénéité unidirectionnelle peut être un matériau à variation « continue » ou stratifié. • Intérêt des Functionnally Graded Materials : éviter les concentrations de contraintes dues aux interfaces et améliorer les propriétés mécaniques et thermiques des pièces par association de matériau Biomécanique Aéronautique et aérospatiale Automobile Etc. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

3. Des milieux biologiques à gradient de propriétés • Les milieux biologiques, après des millions d’années d’évolution présentent des (micro)structures à gradient de propriétés. Les milieux vivants sont des milieux adaptatifs / environnement. Le bambou L’os Mais aussi, le coquillage, les dents, les ailes de certains insectes etc. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

4. Des milieux biologiques à gradient de propriétés Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

5. Aki-Richard, 1980 Fonction constante par morceaux Hétérogénéité unidirectionnelle • Milieux stratifiés • Milieux continûment variables Problème de Thomson-Haskell Solutions analytiques connues pour les couches homogènes+raccords aux interfaces + Conditions aux limites OU conservation de la continuité des profils de propriétés Développement en série de Peano du matricant pour des profils quelconques Fonctions spéciales pour des profils particuliers (ex : couche de Epstein) Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

6. fluide 1 fluide 2 Plaque FGM Direction de propagation 0 Direction d’hétérogénéité d solide Modes propres (courbes de dispersion) Spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

7. Equation d’onde et solution analytique termes d’hétérogénéité Méthode originale pour conserver la continuité des profils de propriétés : (Formalisme de Stroh) Solution explicite : Série de Peano du matricant M Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

8. Le développement en série de Peano (Peano 1888; Pease, 1965; Aki-Richard, 1980; Kennett, 1983) Écriture polynomiale : gain en temps de calcul et développements asymptotiques Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

9. Le développement en série de Peano • Schéma récursif de construction : méthode des approximations successives Convergence de la série : Si chaque composante de est une fonction bornée sur l’intervalle d’étude [a,b] alors la série est uniformément convergente (Kennett, 1983). Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

10. vide d x3 Cij (x3), r(x3) Paramètres caractéristiques du profil : - épaisseur de la zone dégradée ; - localisation du gradient ; - pente du gradient . Baron et al. Ultrasonics 2007 Objectif « problème inverse » Courbe de dispersion de l’onde de Rayleigh Confrontation à l’expérience Plaque de microbéton EDF Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

11. Osteoporose Diagnostic de l’ostéoporose : perspective L’os cortical est un tissu vivant à gradient de propriétés. Gradient de porosité = gradient des coefficents de rigidité et de densité de masse Résistance mécanique GEOMETRIE + STRUCTURE + MATERIAU Baron et al., JASA (122), 2007 • Objectifs : problème inverse • Identifier le gradient des propriétés matérielles • Forme du gradient de porosité (structure) • Stade de l’ostéoporose. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

12. Source Récepteurs Tissus mous x1 (direction axiale) Os moelle x3(direction radiale) Transmission axiale Skeletal site : multi-site Type of bone : cortical bone Frequency : 250kHz-2MHz Acoustic parameter : SOS Typical range : 3000-4000 m/s qc: angle critique pour les ondes longitudinales dans l’os Propagation de l’onde de tête à l’interface Bossy et al., JASA 2002 ; Bossy et al. IEEE UFFC 2004 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

13. 0 fluide 1 d solide fluide 2 Guide d’onde plan Fluides parfaits : contraintes de cisaillement nulles : Les ondes P-SV waves se propagent dans le plan x2 = 0. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

14. Conditions aux limites Conditions aux limites et propriétés de propagateur du matricant Expression analytique des coefficients de reflexion et de transmission : Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

15. Résultats |R| 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 - 0 - frequency × thickness (MHz.mm) Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

16. ez homogène gradient linéaire eq er Géométrie, anisotropie & hétérogénéité • Peano & guide cylindrique anisotrope et hétérogène Ondes circonférentielleset axiales dans un cylindre creux à variation linéaire des et de . Résistance osseuse aux phalanges par transmission transverse et/ou axiale. 1/vitesse de phase (ms/mm) Mesure de la vitesse ultrasonore de l’enveloppe corticale aux phalanges par transmission corticale transverse P. Laugier et al. / ITBM-RBM 26 (2005) Cylindre creux d’os anisotrope à gradient linéaire fréquence × rayon extérieur (MHz.mm) Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

17. En question… • Homogénéisation • Changement d’échelle : modéliser la variation des propriétés à l’échelle de la microstructure par une variation continue des propriétés à l’échelle supérieure • Evaluation de l’erreur • La série de Peano est convergente. • 2 sources d’erreur lors de l’évaluation numérique de la solution exacte : • troncature de la série ; • évaluation numérique des intégrales (Simpson’s rule) • Recherche de zéros/pôles • Newton-Raphson • dichotomie • Problème inverse – optimisation • Méthode d’optimisation pour déterminer le profil de propriétés à partir de mesure de courbes de dispersion ou de spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

18. Merci ! Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

19. Bones, sea shells, and bamboo are some typical examples of natural FGMs, which have evolved to their existing “optimally” graded properties over millions of years to accommodate specific physical, chemical and biological environments that they expose « Smart materials » Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

20. Homogénéisation de matériaux FGM? • Title: Modeling Bamboo as a Functionally Graded Material  Author(s): Prof Emilio Silva, Dr. Matthew Walters , Prof Glaucio Paulino  Abstract: Natural fibers are promising for engineering applications due to their low cost. They are abundantly available in tropical and subtropical regions of the world, and they can be employed as construction materials. Among natural fibers, bamboo has been widely used for housing construction around the world. Bamboo is an optimized composite that exploits the concept of Functionally Graded Material (FGM). Biological structures such as bamboo have complicated microstructural shapes and material distribution, and thus the use of numerical methods such as the finite element method, and multiscale methods such as homogenization, can help to further understanding of the mechanical behavior of these materials. The objective of this work is to explore techniques such as the finite element method and homogenization to investigate the structural behavior of bam- boo. The finite element formulation uses graded finite elements to capture the varying material distribution through the bamboo wall. To observe bamboo behavior under applied loads, simulations are conducted under multiple considerations such as a spatially-varying Young's modulus, an averaged Young's modulus, and orthotropic constitutive properties obtained from homogenization theory. The homogenization procedure uses effective, axisymmetric properties estimated from the spatially-varying bamboo composite. Three-dimensional models of bamboo cells were built and simulated under tension, torsion, and bending load cases. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

21. direction de l’hétérogénéité • Équation d’onde Équation d’onde :équation différentielle d’ordre 2 • Équations de l’élastodynamique : principe fondamental de la dynamique + loi de comportement (loi de Hooke) • Champs harmoniques en x1et x2 et en t, se propageant dans le plan . Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

22. Définition et propriétés du matricant • Définition : le matricant est LA matrice fondamentale solution de • Propriétés • Existence : théorème de Picard-Lindelöf • Matrice de propagation Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

23. Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh • formulation de Lothe et Barnett Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

24. Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh • formulation de Thomson et Haskell Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

25. Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh • formulation de Ingebrigsten et Tonning Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

26. factorisation factorisation factorisation Paramétrage et écriture polynomiale • Formulation de Lothe et Barnett • Formulation dite de Thomson et Haskell • Formulation de Ingebrigsten et Tonning Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

27. Paramétrage et écriture polynomiale • Formulation de Thomson et Haskell • ondes SH – système • ondes P-SV – système Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

28. Biomécanique : Appliquer les principes de la mécanique à la compréhension des processus et des fonctions biologiques. Biomécanique ou mécanobiologie? Biomécanique : prévoir le comportement mécanique d'un tissu ou d'un organe, en tenant compte des contraintes physiologiques et biologiques. Action biologique sur la mécanique Mécanobiologie : prévoir l'évolution biologique d'un tissu ou d’un organe, en tenant compte des contraintes mécaniques qu’il subit. Action mécanique sur le biologique Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 7

29. Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique