1 / 32

ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices )

ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices ). Pendahuluan Pada Fisika : a. Besaran Vektor . b. Besaran Skalar

desma
Télécharger la présentation

ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices )

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices) Pendahuluan PadaFisika : a. BesaranVektor. b. BesaranSkalar Besaran : sesuatuygdapatdiukurdanbesarnyadinyatakan.denganangka*DefinisibesaranVektor : suatubesaranygbesarnyadapat.diukur (mempunyainilai) danmempunyaiarah.Contoh : kecepatan, gaya, dsb*DefinisibesaranSkalar : suatubesaranygbesarnyadapat.diukurtapitidakmempunyaiarah.Contoh : massa, panjang, dsb.

  2. Operasi2penjumlahan, pengurangandanperkalianyglazim.dalamaljabarbilangan, dengandefinisiygsama, dapat di- .perluaskedalamaljabarVektor • DefinisidasarAljabarVektor 1. DuabuahvektorAdanBsamajikamemilikibesardan.arahygsama, tanpamemperhatikantitikawalnya, A = B 2. SebuahvektorygarahnyaberlawanandenganvektorA.tapimemilikibesarygsamadinyatakanoleh – A 3. Jumlah (resultan) dariduavektor, AdanBadalahvektorC, .ygdibentukdenganmenempatkantitikawalBpadatitik. terminal A, lalumenghubungkantitikawalAke terminal B, .C = A + B 4. SelisihvektorAdanB, ygdinyatakanolehA – BadalahC BAB 1. VEKTOR dan SKALAR

  3. ygbiladitambahkanBmenghasilkanvektorA. .C = A – B. = A + (-B) .BilaA = B, maka A – B = 0 sebagaivektornol. 5. Hasil kalivektorAdenganskalar m adalahvektor mAyg.besarnya |m| kali besarnyaAdanmemilikiarahygsamaatau.berlawananA,bergantungpadaapakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mAadalahvektornol. .

  4. BilaA, BdanCadalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : 1. A + B = B + A⇨ hukumKomutatifpenjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukumAsosiatifpenjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukumKomutatifperkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukumAsosiatifperkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukumDistributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukumDistributif Hukum-hukumAljabarVektor

  5. VektorSatuanadalahsebuahvektorygbesarnya 1(satu) BilaAadalahvektorygbesarnyaA≠ 0makaadalahsebuahvektorsatuanygarahnyasamadenganA. - SetiapvektorAdapatdinyatakanolehsebuahvektorsatuan. a dalamarah A, dikalikandenganbesarnyaA. JadiA = Aa - Vektorsatuanmerupakanvektorygpanjangnyasatusatuan • SetiapvektorA = | | yang bukannol, mempunyaivektor.satuan : Ā = = | | -Besar (panjang) vektor.MisalnyaA = | |adalahvektor di R2, makabesarvektorA : . | A | = VEKTOR SATUAN

  6. 1. Sebutkanbeberapabesaranvektordanbesaranskalar, ma- . sing-masingdelapanmacam ? 2. Hitunglahbesar (panjang) vektordanvektorsatuandari.vektorA = 〔〕? 3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahkomutatif, yaitu.A + B = B + A ? Secaragrafis ! 4. Diketahui vektor2 : K = 〔 〕, L = 〔〕 dan M = 〔〕bila. 3K – 2L = - Mmakahitungnilaix ? 5. Tentukanresultan vektor2berikut : .Vektor A, 15 m arahbaratlaut, B. 25 m. 30odisebelah.utaradaritimurdan C, 40 m keselatan ? Contohsoal

  7. 1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medanlistrik, me- .dan magnet, medangravitasi, kohesi, adhesi, aruslistrik, pegasdll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalorjenis, volume, luas, jarak, massa.jenis, intensitascahaya, perbesaranlensa, dll. 2. Besar(panjang) vektorA : A = 〔〕 .A = |A| = = = 5 .Vektorsatuan, A = = 〔 〕 = 〔〕 3. HukumKomutatifpenjumlahan : A + B = B + A.bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C .P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C .ACAJadi : .C A + B = B + A .OBR Jawabancontohsoal

  8. 4. 3K – 2L = - M . 3 〔 - 2 〔 = - 〔 .〔 + 〔 = 〔 . 6 – 2x = -2 . x = . x = 4 5. A = 15 m arahbaratlaut. B = 25 m arahutaradaritimur 30o. C = 40 m keselatan Jawabancontohsoal

  9. U.BD = A + B + C.30oSecaragrafis : .A- padattk terminal Atempatkan.45oCttkpangkal B .BT - padattk B tempatkanttk pang.kal C.D- resultan D dibentikdengan.menghubungkanttkpangkalA . S denganttk terminal C, jadi. D = A+B+C Secaragrafis, resultanmempunyaibesar 4,5 satuan, jadiresultan D = 22,5 m denganarah 60odisebelahselatandaritimur. Jawabancontohsoal

  10. 1. a. NyatakanvektorAsecaraaljabar ? 3A(4,3) b. HitunglahbesarvektorA ? c. Tentukanbesarvektorsatuan A ? 4 2. HitunglahbesarvektordanvektorsatuandarivektorB = 〔 〕 ? 3. Buktikanbahwapenjumlahanvektoradalahassosiatifyaitu.A + B + C = (A + B) + C ? 4. Sebuahmobil sedan bergerakkearahutarasejauh 4km, lalu 8km .kearahtimurlaut. Tentukanvektorperpindahanresultannya se- .caragrafisdananalitis, gambarkanperpindahanmobilsecara.grafis ? Latihansoal/PR

  11. - Himpunan vektor2satuanpentingadalahygarahnyamenurut. sumbu2x, y dan z positifsistemkoordinattegak-lurusruang. 3-dimensi, dinyatakanoleh i, j dan k. zC k A 0 i j y B xA BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k

  12. - Umumnyamenggunakansistemkoordinattegak-lurusaturan.tangankanan, kecualiadapernyataan lain. - Sisteminidianalogikandengansebuahsekrupberulirkanan.ygdiputar 90odariOx keOyakanmajudalamarahsb z pos. - BilatigabuahvektorA, BdanCygtitikpangkalnyaberhim- . pit dantakkoplanar(tidakterletakpadaatausejajarbidangyg.sama)dikatakanmembentuksebuahsistemtangankananatau.sistemdekstral. Analogidengansebuahsekrup (baut)berulir.kananygdiputardengansudutkurangdari 180odariAkeB .makaakanmenujuarahC. 1. Vektor2SatuanTegak-lurus. i, j, k

  13. Setiap vektorAdalamruang 3-dimensi bisadigambarkandgntitikpangkalpadatitikasal O darisistemkoordinat - A1, A2, A3 : komponen2darivektorAdalamarah x, y dan z - A1i, A2j danA3k : vektor2komponendariAdlmarah x, y, z • ResultandariA1i, A2j danA3k adalah : .A = A1i + A2j + A3k • Besarvektor A = | A | = • Khususnya, vektorposisiatauvektorjejari(radius vector) rdari O ketitik (x, y, z) : .r = xi + yj + zk • Besarvektorr : . r = | r | = 2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR

  14. Bilapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkansebuahskalar(bilangan) φ(x,y,z) makaφdisebutfungsititikskalar (scalar point function),⇨ medanskalarContoh : 1. Temperaturdalamlaboratoriumkomputer. 2. φ(x,y,z) = x3y2+ y2z– xz2 • Jikapada tiap2titik (x,y,z) darisuatudaerah R dalamruang, dikaitkandengansebuahvektorV(x,y,z) makaVdisebutfungsititikvektor (vector point function) dandikatakansebuahmedanvektortelahdidefinisikandalam R. Contoh : 1. Kecepatanfluidaygbergerakdalampipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k - Medan vektorstationerataukeadaansteady stateadalah.sebuahmedanvektorygtidakbergantungwaktu. 3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR

  15. 1. Diketahui vektor2berikut, r = 〔〕, s = 〔〕,t = 〔〕Bila . 3r- 2s = -t, hitunglahnilai x dan y ? 2. Diberikanbeberapavektor, P = 〔〕, Q = 〔〕, R = 〔〕 dan .S = 〔〕.Tentukan nilai x dany,bilaPQ = RSdanbilaPQ = SR 3. KoordinattitikA( 2,-5) danvektorAB = 3i – 4j , hitunglah.koordinattitikB ? 4. Diberikanbeberapavektor, K= i - 2j + 2k, L= 2i - 4j - 4k .danM= 3i - 2j + 6k. Tentukanbesar : a. | K|, |L|, | M| .b. | K - L + M | c. 3K –L +2M 5. Diketahuimedanskalarygdidefinisikanφ(x,y,z)= 3x2y – xy3. + 5z2Tentukanφpadatitik-titik : 4. Contohsoal

  16. a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ? Contohsoal – lanjutan

  17. 1. 3r – 2s = - t .〔〕- 〔〕 = 〔〕.3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 . x = 1 y = 2 2. PQ = RSPQ = SR PQ = q – p = 〔〕 = 〔〕SR = 〔〕.RS = s – r = 〔〕. 〔〕= 〔〕〔〕= 〔〕.4 = 2 - x-12 = y - 1 4 = x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13 Jawabancontohsoal

  18. 3. AB = b – a = 〔 〕= ⇨ 3i -4j = 〔〕 = 〔〕 = 〔〕 3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 .Jadikoordinattitik B adalah B(5, -9) 4a. | K | = | i – 2j + 2k | = = = 3 .| L| = | 2i – 4j - 4k | = = = 6 .| M| = | 3i – 2j + 6k | = = = 7 4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k . | K– L + M | = = = 2 4c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = .7i – 6j + 22k Jawabancontohsoal– lanjutan

  19. 5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2 φ(0,0,0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – 1 + 20 = 22 φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – 8 + 45 = . = 31 Jawabancontohsoal – lanjutan

  20. 1. Diketahuibeberapakoordinat vektor2 : .Apada (4,3), Bpada( 2,-8), C(x,3) danD(3,y). Tentukan.nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ? 2. KoordinatvektorK(3,-5, 4) danvektorKL = 2i – 3j + 5k .Hitunglahkoordinat L ? 3. Diberikanbeberapavektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k .dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S| + | T| . b. | R+ S + T | c. | 3R - 2S - T | 4. Tentukansebuahvektorsatuanygsejajarresultandarivek- . tor-vektorA = 5i + 4j + 2k danB = 3i + 2j + k ? 5. Sebuahbeban 50 kg digantungkanpadapertengahansebuah.talisepertipadagambar di bawah.Tentukantegangan T pada.tali ? 5. SoalLatihan/PR

  21. . T1T2. 600600. 50 kg SoalLatihan/PR – lanjutan

  22. Pendahuluan • Padavektorterdapatduaperkalian, perkalianskalardan per- kalian vektor • Perkalianskalarduavektordinamakanhasil-kali titik(skalar) • Perkalianvektorduavektordisebuthasil-kali silang (vektor) • Hukum-hukumygberlakupadakeduaperkalianitu ; hasil-kali titikdanhasil-kali silang BAB 3. HASIL-KALI TITIK DANHASIL-KALI SILANG

  23. PerkalianSkalarduabuahvektordisebutjugahasil-kali titikataudot product. • Hasil-kali titik (skalar) duabuahvektor, AdanB, ygdinyatakanolehA · B didefinisikansebagaihasil-kali antarabesarnyavektor2AdanBsertacosinusθantarakeduanya : .A · B = | A | | B | cosθdimana 0 ⩽ θ⩽ 𝜋 • Bila diketahuiA= 〔〕B = 〔〕maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1z2), dimana| A |=dan | B |= • BilaA · B = 0 makaA ┴ BJadihasil-kali skalarduavektoradalahsuatubilangan(skalar) 1. Hasil-kali Titik (Skalar)

  24. 4. Sifat-sifatperkalianskalarduavektoratauhukum-hukumpadahasil-kali titik : 1. A · B = B · AHukumKomutatif 2. A · (B + C) = A · B + A · CHukumDistributif 3. m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m 4. i · i = j · j = k · k = 1 . i · j = j · k = k · i = 0 5. A · A = | A |2 6. Bila : A = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka.A · B = A1B1 + A2B2 + A3B3.A · A = | A |2 = A12 + A22 + A32.B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32 Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan

  25. Bila diketahuiA, Bdan < A · B = α, maka.cosα = = 8. Proyeksi orthogonal suatuvektorpadavektor lain .BilaCadalahproyeksiApadaB, maka a. Proyeksiskalar orthogonal (panjangproyeksi) vektor ApadaBadalah : C = hasilnyaskalar(bilangan) . b. Proyeksivektor orthogonal ApadaBadalah : .C = hasilnyavektor. 7. Besarsudutantaraduavektor

  26. 1). Hasil-kali silang (vektor) dariduavektorAdanBadalah.sebuahvektorC = A x B. BesarA x Bdidefinisikansebagai.hasil-kali antarabesarnyaAdanBserta sinus sudurθ anta- .rakeduanya. ArahvektorC = A x Btegakluruspadabidang.ygmemuatAdanBsedemikianrupasehinggaA, BdanC.membentuksistemtangankanan. A x B = | A | | B | sin θu , dimana 0 ⩽θ ⩽ 𝜋 dan.- uadalahvektorsatuanygmenunjukkanarahdariA x B . - bilaA = BatauAsejajarBmaka sin θ = 0 dandidefinisi- .kanA x B = 0 2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product

  27. a. A x B = - B x AhukumKomutatif. b. A x (B + C) = A x B + A x ChukumDistributif. c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i = j . e. BilaA = A1i + A2j + A3k danB = B1i + B2j + B3k, maka .A x B = 〔〕 f. BesarA x B = luasjajarangenjangdengansisi A, B g. BilaA x B = 0, AdanBbukan vektor2nol maka AdanBsejajar. 2). Hukum-hukumygberlakupadahasil-kali silang

  28. 1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) = 2. BiladiketahuivektorP = 2i – 2j – k danQ = i - 4j + 8k, .makatentukan : a. | P | c. P · Q. b. | Q | d. sudutθ. 3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dansudutantaravektorAdanB.adalah 60o. Tentukan | A – B | ? 4. BilasudutantaravektorK = i + j + a k danL = i - j . + a k, adalah 60oTentukanbesar a ? ContohSoalHasil-kali Titik

  29. 1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – 2 - 0 = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = 4 + 0 – 0 – 0 = 4 2a. | P | = = 3 b. | Q | = = 8c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cosθ = = = ⇨ θ= arc cos 0,667 = 48,50 3. | A – B |2 = | A |2+ | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 = 122 + 82 – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨| A – B | =4 JawabancontohSoalHasil-kali Titik

  30. 4. K . L = | K | | L | cosθ⇨ cosθ = = cos 600 = = = -2 + 2a2 = 12 + 2 + a2 a2 = 5 a = = 2,2360 Jawabancontohsoal

  31. 1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] = 2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k makabukti- .kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ? 3. Tentukansudutantara vektor2 K = 2i + 2j – k dan. L = 6i – 3j - 2k ? 4. Tentukanproyeksivektor A = i – 2j + k dan B = -4i – 4j +7k SOAL LATIHAN/PR

  32. Tentukanhasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k = . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k = • Bila P = 2i – 3j – k dan Q = i + 4j - 2k, makatentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) = • Jika K = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k dan M = i – 2j + 2k carilah : a. (A x B) x C . b. A x (B x C) ? ContohsoalHasil-kali Silang

More Related