María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro

1. EXPERIENCIA SOBRE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES María E. Ascheri, Rubén A. Pizarro Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Universidad Nacional de La Pampa Uruguay 151 - (6300) Santa Rosa - La Pampa - Argentina mavacheri@exactas.unlpam.edu.ar ruben@exactas.unlpam.edu.ar

2. RESUMEN Presentamos los resultados de una experiencia de cátedra con alumnos de la asignatura Cálculo Numérico correspondiente a las carreras: Ing. Civil (2º Año), Lic. en Física y Prof. en Matemática (3º Año). Los avances tecnológicos y la disponibilidad de recursos informáticos se han convertido en herramientas de apoyo del proceso de enseñanza - aprendizaje. Es por ello que nos propusimos introducir nuevas estrategias metodológicas para la enseñanza - aprendizaje del tema resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales por medio de métodos directos utilizando, fundamentalmente, la computadora y un software matemático. Objetivo.Facilitar el proceso de enseñanza y aprendizaje de este contenido, aplicando la técnica de la ingeniería didáctica de Artigue, y generando el contexto educativo adecuado a este contenido y al logro del objetivo planteado. Estrategia. Se combina la enseñanza tradicional, las técnicas grupales de aprendizaje activo, y la computadora como apoyo a la explicación del docente y para fomentar el aprendizaje de los alumnos.

3. INTRODUCCIÓN • La implementación de nuevas estrategias metodológicas para la enseñanza de la resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales por medio de métodos directos, la realizamos en el marco de la ingeniería didáctica de Artigue [1], la cual hace una distinción temporal de su fase experimental en cuatro etapas: • 1 Análisis preliminar. • 2 Concepción y análisis a priori. • 3 Experimentación. • 4 Análisis a posteriori y validación. • Buscamos actividades relativas a los intereses de los alumnos deCálculo Numérico, las cuales fueron precedidas por: • Un marco teórico: para sistematizar los conocimientos dentro de la asignatura. • Resolución de problemas: para afianzar conceptos teóricos y técnicas usadas. • En este trabajo presentamos los resultados obtenidos de las fases de experimentación y de evaluación referidos a este contenido temático, debido a que tenemos resultados parciales del análisis a posteriori y validación de la propuesta.

4. DESARROLLO • Los métodos numéricos han adquirido una gran importancia en la enseñanza de la ingeniería y las ciencias, lo cual refleja el uso actual de la computadora. • Históricamente, la imposibilidad de resolver sistemas de cuatro o más ecuaciones limitó el alcance de problemas de muchas aplicaciones. • El advenimiento de computadoras de fácil acceso, hace posible y práctica la solución de grandes sistemas de ecuaciones. • Entre los objetivos propuestos por la Cátedra para la enseñanza - aprendizaje de este tema particular de Cálculo Numérico, podemos citar los siguientes: • Brindar los conceptos teóricos sobre los distintos métodos numéricos. • Proporcionar una importante batería de ejercicios. • Capacitar a los alumnos para que practiquen los métodos en una computadora. • Proporcionar software que resulte fácil de comprender. • Elaborar programas que puedan usarse en aplicaciones científicas.

5. Propuesta metodológica Nuestro objetivo es implementar nuevas estrategias metodológicas para la enseñanza y el aprendizaje de la resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales por medio de métodos directos, utilizando la computadora y un software matemático (MATLAB). Para ello, buscamos, seleccionamos e implementamos actividades afines a los intereses de los alumnos que cursan esta asignatura. El marco teórico es brindado a los alumnos en forma tradicional y con el apoyo de un Cuaderno elaborado por los docentes. En la actualidad (y como resultado parcial del análisis a posteriori y validación de la propuesta) hemos comenzado a diseñar un software educativo propio que incluye algunos temas de Cálculo Numérico, a efectos de brindar una nueva herramienta de apoyo a la explicación del profesor y fomentar el aprendizaje de los alumnos que cursan dicha asignatura [2].

6. Consideraciones iniciales para implementar la propuesta • De los datos recogidos de las fases 1 y 2, y teniendo presente que, según Douady [4], la ingeniería didáctica es un producto y un proceso en el transcurso del cual el profesor ejecuta el producto adaptándolo a la dinámica de la clase, comenzamos a organizar y a desarrollar la fase 3. Para ello: • Se proporcionan las fórmulas y los conceptos más importantes relacionados con esta temática. • Se desarrollan ejemplos para mejorar las habilidades de los alumnos, tanto en el conocimiento de la teoría como en la práctica. • Se proporcionan ejercicios para afianzar los conceptos teóricos y las técnicas utilizadas. • Se proporcionan actividades a desarrollar con herramientas computacionales, en donde se plantean situaciones problemáticas de la vida diaria, para lograr un incremento de la motivación y facilitar el desarrollo de destrezas.

7. Búsqueda y selección de las actividades • Los objetivos propuestos para la búsqueda y selección de actividades fueron, que el alumno: • Afiance los conceptos teóricos y las técnicas utilizadas, adquiridos en el aula. • Transfiera sus conocimientos sobre esta temática asituaciones problemáticas. • Compruebe lo indispensable de la utilización de la computadora para resolver este tipo de situaciones problemáticas y valore las bondades del MATLAB. • Desarrolle las actividades como miembro participante de un grupo. • Elabore programas propios que puedan usarse de manera sencilla. • Compruebe y valore la disminución en el tiempo de ejecución de sus labores, obteniendo rápidamente respuesta a sus inquietudes. • Desarrolle habilidad y destreza en el procesamiento de información científica. • Elabore un informe final en el que se deberán incluir los programas realizados, los resultados obtenidos y un análisis de los mismos.

8. Implementación de las actividades En la Sala de Computación, con los docentes de la asignatura, los alumnos, en grupos, desarrollan las actividades propuestas (fase de experimentación). Para realizar los programas correspondientes a esta temática utilizan el MATLAB. Durante las primeras semanas de iniciado el curso, se les da a los alumnos algunas nociones básicas sobre el uso de MATLAB, con apoyo de un Cuaderno elaborado por los docentes. La necesidad de implementar un cursillo de apoyo informático surgió como producto del análisis de las dos primeras fases. Si bien se pretende que, por sí mismos, los alumnos desarrollen las actividades propuestas, ellos cuentan con el apoyo de los docentes y pueden intercambiar ideas con sus pares. De esta manera, se espera contribuir a una mayor comprensión de los contenidos temáticos involucrados, y lograr un aprendizaje dinámico e interactivo favorecido por el intercambio de experiencias, producto del análisis y discusión de las situaciones problemáticas planteadas.

9. Evaluación de las actividades • Los alumnos deben: • Realizar una lectura comprensiva de los resultados obtenidos. • Emitir las conclusiones a las que arribaron. • Realizar una síntesis de los resultados obtenidos de cada actividad y presentar los programas por ellos diseñados. • Presentar un informe final que deberá ser expuesto y defendido, en forma individual, frente a los docentes y a los restantes alumnos, para producir un intercambio de experiencias y efectuar tareas remediales, si fuese necesario. • Esto redundará en beneficio del proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido curricular, resultando enriquecedor tanto para los alumnos como para los docentes (evaluación y validación de la propuesta). • Se evalúa la presentación del informe, su exposición y defensa, el trabajo en grupo y el desempeño de cada integrante dentro del mismo.

10. Actividades propuestas Presentamos una de las actividades propuestas. Se muestran los resultados y las conclusiones a las que arribaron. Aunque esta actividad, tomada de la ingeniería química, pertenece a la predicción de temperaturas en sólidos, también se usa este planteamiento para simular la distribución continua de otras variables de la ingeniería. Una delgada placa mide 2 pies x 2 pies x 1 pulg. Los bordes se mantienen a temperatura constante. Se quieren determinar las temperaturas en el interior de esta placa. Estas temperaturas pueden estimarse si se hace una retícula de puntos donde la separación entre cada punto mide 0.5 pies, y se hace que u1, u2, ..., u9 sean las temperaturas en los puntos de la retícula. En la figura se muestra una placa con estos puntos en la retícula. La temperatura u(x,y) en cada punto satisface una ecuación diferencial que puede simplificarse en un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes.

11. El resultado es el siguiente sistema de nueve ecuaciones lineales: Resultados obtenidos por los alumnos. La matriz asociada al sistema es:

12. Las soluciones obtenidas son: Conclusiones a las que arribaron los alumnos: • La matriz del sistema es simétrica y definida positiva. Por lo tanto, el método de Cholesky es aplicable a este sistema. • Con todos los métodos utilizados se puede obtener la solución del sistema. • El método de Cholesky es el que más rápido arroja la solución, pues es menor la cantidad de operaciones que debe realizar.

13. RESULTADOS Y CONCLUSIONES • Una vez finalizado el análisis de este tema, los alumnos: • Dominan varias técnicas y valoran la confiabilidad de las mismas. • Entienden los problemas de división por cero, errores de redondeo, mal condicionamiento y ventajas del pivoteo. • Saben cómo evaluar la condición del sistema, cómo calcular determinantes, cómo aplicar las técnicas de corrección de errores para mejorar las soluciones,cómo calcular la matriz inversa. • Comprenden por qué los esquemas compactos son particularmente eficientes en la solución de algunos problemas. • Comprenden que todos los métodos numéricos vistos se pueden programar sin demasiada dificultad, y tienen la capacidad de diseñar programas para resolver el problema que se les plantee. • Descubren las ventajas que proporciona el uso del paquete MATLAB.

14. Los principales aportes de este trabajo son: • Incorporación y contemplación de aspectos pedagógicos y educativos. • Incremento de la motivación y desarrollo de las destrezas. • Intensificación de la estrecha vinculación entre los conocimientos, el problema y la computadora. • Diseño y desarrollo de los programas. • Incremento de la interacción entre docentes y alumnos. • Concluimos que la experiencia resultó positiva y que es viable implementarla en otros temas de Cálculo Numérico.

15. BIBLIOGRAFÍA [1]Artigue, M., 1998, Ingeniería Didáctica en: Ingeniería Didáctica en Educación Matemática, Grupo Editorial Iberoamérica S. A. [2] Ascheri, M. E. - Pizarro R. A., 2005, Software para la enseñanza-aprendizaje de algunos métodos numéricos, Memorias del VII Simposio de Educación Matemática, EMAT Editora, Autores: Jorge E. Sagula, Nelson Hein y otros. Compilador: Jorge E. Sagula. Editor literario: Pablo C. Chale, Chivilcoy, Buenos Aires, Argentina, CD-ROM ISBN Nº 987-20239-3-X. [3]Chapra, S. - Canale, R., 1992, Métodos Numéricos para Ingenieros. Con aplicaciones en computadoras personales, Mc Graw - Hill. (Trad. de Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications, 1985, Mc Graw - Hill). [4] Douady, R., 1998, La Ingeniería Didáctica y la Evolución de su Relación con el Conocimiento Matemático en: Ingeniería Didáctica en Educación Matemática, Grupo Editorial Iberoamérica S. A. [5] Gerald, C. - Wheatley, P., 2000, Análisis Numérico con Aplicaciones, México, Pearson Educación.(Trad. de Applied Numerical Analysis, A. Wesley, 1999). [6] Golubitsky, M. - Dellnitz, M., 2001, Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales con Uso de MATLAB, International Thomson Editores. (Trad. de Linear Algebra and Differential Equations Using MATLAB, Brooks Cote Publishing Company, 1999).