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Wavelets: come e perché

Wavelets: come e perché. Primi fondamenti di signal processing. 1780 - 1830 Pierre Simon Laplace Jean Baptiste Fourier Augustine Cauchy. L’algoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!. Risultati moderni. 1920 - 1950. Norbert Wiener Andrei Kolmogorov Claude Shannon. Probabilità

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Wavelets: come e perché

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Presentation Transcript

  1. Wavelets: come e perché

  2. Primi fondamenti di signal processing • 1780 - 1830 • Pierre Simon Laplace • Jean Baptiste Fourier • Augustine Cauchy L’algoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!

  3. Risultati moderni 1920 - 1950 • Norbert Wiener • Andrei Kolmogorov • Claude Shannon Probabilità Teoria dei segnali casuali Predizione – Filtro di Wiener Teoria dell’Informazione Teorema del campionamento

  4. Ricadute industriali 1960 - 1980 • R. E. Kalman • Tukey - Cooley • DSP P TMS 32010 Signal processing Produzione di DSP

  5. Storia di oggi 1980 - • Ingrid Daubechies Time Frequency Analysis WAVELETS! Architetture VLIW Applicazioni nelle Telecomunicazioni Esplosione dei servizi Multimedia

  6. Trasformata di Fourier FT Trasformata di Fourier F Frequenza Fourier Transform Tempo

  7. Segnale stazionario 250 200 150 1 100 0.8 0.6 50 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 tempo frequenza

  8. Segnale variabile nel tempo 1 1.5 0.8 0.6 0.4 1 0.2 0 -0.2 0.5 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 50 100 150 200 tempo frequenza Analisi ambigua

  9. Un altro segnale stazionario In tempo In frequenza

  10. Un altro segnale non stazionario In tempo In frequenza

  11. I due segnali nel dominio delle frequenze  ¹

  12. Problemi con la Trasformata di Fourier • Contiene solo informazioni sulla frequenza • Le informazioni sul tempo vengono perse • Funziona bene per segnali stazionari • Crea problemi per segnali non stazionari Trasformata di Fourier variabile nel tempo

  13. Analisi in tempo-frequenza 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 Frequenza 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tempo

  14. Trasformata di Fourier Short-time (STFT) Funzioni finestra

  15. Come si legge la STFT AMPIEZZA FREQUENZA TEMPO

  16. Finestra AMPIEZZA AMPIEZZA TEMPO FREQUENZA FREQUENZA TEMPO AMPIEZZA TEMPO FREQUENZA (tempo) Piccola Media Larga (frequenza)

  17. Problemi con la STFT • Scelta di una finestra appropriata • Finestra troppo piccola Þ cattiva risoluzione in frequenza • Finestra troppo grande Þ cattiva risoluzione nel tempo (violazione della condizione di stazionarietà) Risoluzioni diverse a frequenze diverse

  18. Trasformata wavelet • Si sceglie una wavelet e ne si fa variare la scala • Si analizza la risposta del segnale alle varie scale

  19. Frequenze La frequenza diminuisce La scala diminuisce

  20. Analisi tempo-frequenza per le wavelet Principio di indeterminazione di Heisenberg Dt Df ³ C

  21. Trasformata wavelet Segnale Passo 1 Passo 2 * * Passo N

  22. Scala bassa

  23. Scala media

  24. Scala alta

  25. Come si legge la Trasformata wavelet AMPIEZZA SCALA TRASLAZIONE CWT

  26. Come si calcola la trasformata wavelet (discreta) in modo veloce- Haar wavelet - 1 1 -1 1 1  (t) Funzione wavelet (t) Funzione di scaling (Haar)

  27. Algoritmo piramidale 10 2 8 4 6 2 4 0 6 6 4 2 4 2 2 2 6 3 0 1 4 2 2 2 4.5 1.5 0 1 4 2 2 2

  28. Veloce! 6 6 4 2 N 4 2 2 2 6 3 N/2 0 1 4 2 2 2 4.5 N/4 1.5 0 1 4 2 2 2 10 2 8 4 6 2 4 0 O(N) operations

  29. Ridondanza delle rappresentazioni 10 2 8 4 6 2 4 0 6 6 4 2 4 2 2 2 6 3 0 1 4 2 2 2 4.5 1.5 0 1 4 2 2 2 Dati Scaling Wavelet

  30. Filter Bank Analisi (FWT) Sintesi (IWT) Filtro passa-alto Dettagli ­ ¯ g g’ 2 2 + ­ h ¯ 2 2 h’ Filtro passa-basso Approssimazione Coefficienti della trasformata

  31. Algoritmo di Mallat Dettagli Livello 1 Coefficienti wavelet Livello 1 HPF HPF ¯ ¯ 2 2 g f[n] f[n] + HPF ¯ ¯ 2 2 HPF g’ ... LPF LPF + ¯ ¯ 2 2 h Approssimazione Livello 1 LPF ¯ ¯ 2 2 LPF Coefficienti scaling Livello 1 h’ Coefficienti scaling Livello 2 Analisi Sintesi

  32. Altre funzioni wavelet HAAR DAUBECHIES COIFLET SYMMLET

  33. Segnali(1D) Segnale Wavelet Scaling

  34. Rappresentazione trasformata discreta Scaling Wavelet

  35. Immagini(2D)

  36. Applicazioni • De-noising • Compressione • Analisi serie temporali • Classificazione • Problemi inversi • Equazioni a derivate parziali • …………

  37. De-Noising

  38. Compressione - Immagini

  39. Compressione - Telerilevamento

  40. Compressione - FBI

  41. Strumenti di lavoro • Notiziaro: Wavelet Digest - http://www.wavelets.org • Software di base: Wavelab per Matlab – http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/ • Altro software - http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/index.html • Per divertirsi e impratichirsi - http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/Java/index.html • Letteratura - http://www.mathsoft.com/wavelets.html

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