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Nociones Elementales de Matrices

Nociones Elementales de Matrices. Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales haremos un repaso de las fundamentos de las matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices. Nociones Elementales de Matrices.

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Nociones Elementales de Matrices

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  1. Nociones Elementales de Matrices • Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales haremos un repaso de las fundamentos de las matrices.

  2. Nociones Elementales de Matrices

  3. Nociones Elementales de Matrices

  4. Nociones Elementales de Matrices

  5. Nociones Elementales de Matrices

  6. Nociones Elementales de Matrices

  7. Nociones Elementales de Matrices

  8. Solución de sistemas de ecuaciones lineales • Análisis de Circuitos (ecuaciones de malla y nodos) • Solución Numérica de ecuaciones diferenciales (Método de las diferencias Finitas) • Solución Numérica de ecuaciones de integrales (Metodo de los Elementos Finitos, Método de los Momentos)

  9. Consistencia (Solubilidad) • El sistema lineal de ecuaciones Ax=b tiene una solución, o es consistente si y solo si Rango{A}=Rango{A|b} • Un sistema es inconsistentecuando Rango{A}<Rango{A|b} Rank{A} esel máximo numerode columnas linealmente independienteso filas de A. El rango puede ser encontrado usando ERO (Elementary Row Oparations) ó ECO (Elementary column operations).

  10. Operaciones Elementales de filas (ERO) • Las siguientes operaciones aplicadas a la matriz aumentada[A|b], producen un sistema lineal equivalente • Intercambios: El orden de dos filas pueden ser cambiada • Escalado: Multiplicando un fila por una constante no cero • Reemplazo: Las filas pueden ser reemplazadaspor la suma de esa fila y un múltiplo distinto a cero de cualquier otra fila

  11. Un ejemplo inconsistente ERO:Multiplicarla primera fila por -2 y sumar la segunda fila Rank{A}=1 Entonces este sistema de ecuaciones no es soluble Rank{A|b}=2

  12. Unicidad de las soluciones • El sistema tiene una única solucion si y solo si Rango{A}=Rango{A|b}=n n esel orden del sistema • Tales sistemas son llamados sistemas full-rank (rango completo)

  13. Sistemas rango completo (Full-rank) • Si Rango{A}=n Det{A}  0  A es nonsingular por lo tanto invertible Solución Única

  14. Matrices de rango deficiente • Si Rango{A}=m<n Det{A} = 0  A is singular por lo tanto no es invertible número infinito de soluciones(n-m variables libres) sistemasub-determinado Rank{A}=Rank{A|b}=1 Consistente soluble

  15.  Sistemade ecuaciones mal-condicionadas • Una pequeña desviación en las entradas de la matriz A, causa una gran desviación en la solución.

  16. Mal condicionada(continua.....) • Un sistema lineal de ecuaciones se dice a ser “mal condicionada”si la matriz de coeficientes tiendea ser singular

  17. Tipos de ecuaciones de sistemas lineales a ser estudiados • Los coeficientes reales de la matrizcuadrada A • EL vector b es diferente de cero y real • Sistema consistente, soluble • Sistemas rango completo, solución única • Sistemas bien-condicionados

  18. Técnicas de Solución • Métodos directos de solución • Encuentra una solución en un número finito de operaciones transformando el sistema en un sistema equivalente que sea ' más fácil ' de solucionar. • Triangulares diagonales,. • Métodos de solución Iterativos • Calcula las aproximaciones sucesivas del vector solución para una mat. A y un b dados, comenzando de un punto inicial x0 • Total del · de operaciones es incierto, puede que no converja.

  19. Back substitution ERO Métodos de solución directa • Eliminación Gaussiana • Usando ERO, la matriz A es transformadaen una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero). • Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior

  20. Elemento pivotal Primer paso de la eliminación

  21. Elemento Pivotal Segundo paso de la eliminación

  22. Algoritmo de la Eliminación Gaussiana For c=p+1 to n

  23. Algoritmo de la sustitución hacia atrás

  24. Dominates No eficientepara diferentes vectores RHS Contador de Operaciones • Número de operaciones aritméticasrequeridas por el algoritmo para completar esta tarea. • Generalmente solo multiplicaciones y divisiones son contadas. • Proceso de Eliminación • Sustitución hacia atrás • Total

  25. Decomposición LU A=LU Ax=b LUx=b Define Ux=y Ly=b Resolver y por sustitución hacia adelante Ux=y Resolver x por sustitución hacia atrás Las operaciones elementales entre filasdebe ser desarrolladas en b así como en A. La información de estas operaciones es almacenada en L En verdad y es obtenida aplicando operaciones elementales al vector b.

  26. Decomposición LU por EliminaciónGausiana Existen infinitas formas diferentes para descomponer A. Una de las más populares es: U=Matriz de la Eliminación Gaussiana L=Multiplicadores usados para la eliminación Almacenamiento Compacto:Las entradas diagonales de la matriz L son todos unos, estos no necesitan almacenarse. LU es almacenado en una matriz.

  27. Contador de Operaciones • A=LU Descomposición • Ly=b Sustitución hacia adelante • Ux=y Sustitución hacia atrás • Total • Para diferentes vectores RHS, el sistema puede ser eficientemente resuelto.

  28. Pivoteo • Computadoras usan precisión aritmética finita • Pequeños errores son introducidos en cada operación aritmética, propagación de errores • Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los multiplicadores podrían ser muy grandes. • La adición de números de magnitud diferente puede conducir a la pérdida de significación . • Para reducir el error, se realiza intercambio de filas para maximizar la magnitud del elemento pivotal.

  29. Ejemplo: Sin Pivoteo aritmética 4-digit Pérdida de precisión

  30. Ejemplo: Con Pivoteo

  31. Parte Eliminada Fila Pivotal Columna Pivotal Procedimiento de Pivoteo

  32. Pivoteo por fila • Más comúnmente llamado procedimiento de pivoteo parcial • Busque la columna pivotal • Encuentre el mas grande elemento en magnitud • Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

  33. Intercambio de filas El más grande en magnitud Pivoteo por filas

  34. El mas grande en magnitud Intercambio de Estas columnas Pivoteo por columna

  35. Intercambie estas filas Más grande en magnitud Intercambie estas columnas Pivoteo Completo

  36. Pivoteopor filas en Descomposición LU • Cuando dos filas de A se intercambian, las filas de b deben también ser intercambiadas. • Use un vectorpivote. Vector pivoteinicial son enteros desde 1 hasta n. • Cuando dos filas (i y j) de A son intercambiadas, aplicar esto al vector pivote.

  37. Modificando el vector b • Cuando se realiza la descomposición LU de A, el vector pivotenos da el orden de las filas después del intercambio. • Antes de aplicar la sustitución hacia adelantepara resolver Ly=b, modificar el orden del vector b de acuerdo a las entradas del vector pivote.

  38. Descomposición LU algoritmo con pivoteo parcial Columna para una entrada máxima Intercambiode filas Actualizando la matriz L For c=k+1 to n Actualizando la matriz U

  39. Intercambio de columnas: Máxima magnitud segunda fila Intercanbio de la 1era y 2dafila Ejemplo

  40. Multiplicadores (matriz L) l21=0; l31=-0.25 Ejemplo (continuación)... Elimación de a21y a31usando a11como elemento pivotal A=LU en forma compacta (en una sola matriz)

  41. Columnaencontrada: Maxima magnitud en la tercera fila Intercambio de la 2day 3erafila Ejemplo (continuación)...

  42. Multiplicadores (matriz L) l32=3/3.5 Ejemplo(continuación)... Eliminar a32usando a22como elemento pivotal

  43. Ejemplo(continuación)... A’x=b’ LUx=b’ Ux=y Ly=b’

  44. Ly=b’ Sustitución Inversa Ux=y Sustitución Directa Ejemplo(continuación)...

  45. Eliminación de Gauss-Jordan • Los elementos sobre la diagonalse convierten y por debajo de la diagonal son ceros.

  46. Eliminación de Gauss-Jordan • Casi 50% mas de operaciones aritméticas que la Eliminación Gaussiana. • Gauss-Jordan (GJ) Eliminación es preferiblecuandola inversadeuna matrizes requirido. • Aplicar eliminación GJ para convertir A en una matriz identidad.

  47. Diferentes formas de factorización LU • Forma de Doolittle Obtenida por EliminaciónGaussiana • Formade Crout • Formade Choleski

  48. Forma de Crout • Cálculo de la primera columnade L • Cálculo de la primera fila de U • Cálculo alternado de las colum. de L y filas deU

  49. 2 4 6 1 3 5 7 Secuencia de la reducción de Crout Una entrada de la matriz A es usedasolamente una vez para calcular la Correspondiente entrada de las matrices L o U .Así las columnas de L y las filas de Upueden ser almacenadas en la matriz A

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