Función Cuadrática

1. Función Cuadrática Situaciones que dan origen a funciones cuadráticas

2. Introducción • Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles  para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así  información sin necesidad de recurrir a la experimentación.

3. Un poco de historia • Siglos antes de resolver algebraicamente la ecuación de segundo grado, se encontraron soluciones utilizando un método geométrico, interpretando los términos como áreas, y distinguiendo varios casos pues no se conocían los números negativos (y menos aún las áreas negativas). Se sabe que los matemáticos babilonios alrededor del 400 a.C y los chinos en el 300 d.C usaban este método para resolver ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. En torno al 300 d.C Euclides creó un método geómetrico más general (abstracto).

4. Situaciones que dan origen a funciones cuadráticas • Un terreno rectangular se desea proteger con una cerca. ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar con 110 metros de malla?

5. Temperaturas • Supongamos que la temperatura de un cierto día de la ciudad de México luego de t horas pasada la medianoche está dada por la función: T(t) = ¿A qué hora la temperatura fue máxima?

6. Proyectiles • Se arroja un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80m/seg.  Su altura en función del tiempo se puede aproximar por la fórmula:

7. Características de la función cuadrática • Una función de la forma: f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a ≠ 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. • Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

8. Características de la función cuadrática • En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: f(x)= ax2 + bx + c Término Cuadrático Término Independiente Término Lineal

9. Raíces de la función cuadrática • Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

10. Simetría • La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos.

11. Vértice • El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x se calcula:

12. Concavidad • Otra característica es si la parábola es cóncava o convexa: Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

13. Ahora ya conoces los elementos que componen a la función cuadrática y algunas de sus aplicaciones.