1 / 36

MATRIKS DAN DETERMINAN

MATRIKS DAN DETERMINAN. Teknik Informatika Universitas Brawijaya. PENGERTIAN. Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik.

kaleb
Télécharger la présentation

MATRIKS DAN DETERMINAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATRIKS DAN DETERMINAN Teknik Informatika Universitas Brawijaya

  2. PENGERTIAN • Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. • Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik. • Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. • Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom

  3. Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis: atau penulisan yang lebih singkat : dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j.

  4. BerapaOrdoMatriks A dan B ? A= B= Dalamcontohdiatasordo(A)= 2x5 danordo(B)=2x2 a23= 1032 b23= tidakada b21= sin x

  5. Jenis Matriks (1/7) • Matrik Bujursangkar banyakbaris = banyakkolom • Matrik Segitiga Atas, Matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol Diagonal Utama

  6. JenisMatriks (2/7) • Matrik Segitiga Bawah, matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol • Matrik Diagonal, matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol

  7. Jenis Matriks (3/7) • Matrik Satuan, matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan • Matrik skalar, matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol.atau c0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c. I2= I4= I3=

  8. Jenis Matriks (4/7) • Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O53 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 5x3 =c = cIn O23= O53=

  9. Jenis Matriks (5/7) • Matrik Invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1 • Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu: , maka A-1 = A= , maka A-1 = = A=

  10. Jenis Matrik (6/7) Untukmencariinversmatrikbujursangkardenganordolebihdari 2, akandibicarakanpadabagianberikutnya. Metode yang digunakanadadua, yaitu: menggunakanmatrikelementer (eliminasi Gauss-Jordan) danmenggunakandeterminanbersamadenganmatrik adjoin. Namundasaruntukmenghitungnyatetapharusmemperhatikaneliminasi Gauss dandefinisideterminan.

  11. Contoh • Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

  12. Jawab • Termasuk matrik segitiga atas • Termasuk matrik segitiga bawah • Termasuk matrik diagonal • Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua

  13. Jenis Matriks (7/7) • Matrik Simetri, yaitu matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT • Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.

  14. LATIHAN Jikamatrik A dibawahinitermasukmatrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c A = Jawab: AT = = = -A Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2

  15. Operasi Matriks • Penjumlahan Matrik • Perkalian Matrik dengan Skalar • Transpos Matrik • Perkalian Dua Matrik • Trase Matrik

  16. Penjumlahan matrik Jika A=[aij], danB=[bij] Jumlah matrik A dan B ditulis: C =A + B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}

  17. CONTOH A= , B= , C= Hitung: A+B, B+C Jawab: A+B= + = A+B= B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B back

  18. Perkalian dengan Skalar A=[aij] dan k skalar, maka: kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k} (-4) = = Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back

  19. Transpos matrik A=[aij],i=1, 2, ..., n;j=1, 2, ..., m Jika B=AT , dan B=[bji], maka bji = aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT} A = AT = back

  20. Perkalian dua Matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m B=[bjk],k=1, 2, ..., p{banyak kolom A=banyak baris B} C=AB cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk= vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah:cik =

  21. Contoh Perkalian Matrik (1/ 2) A=, B= , dan C=AB c23= c21= c13= = 4 – 1 – 35 = -32 = 0 – 1 + 10 = 9 = -6 + 1 + 28 = 23

  22. Contoh Perkalian Matrik (2/2) c12= = -9 + 4 – 24 = -29 C=AB = = back

  23. HITUNG !!! Apakah AB=BA??? Buktikan Jika: Sehingga: ABBA

  24. Trase matrik A=[aij],i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} A = , trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

  25. Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar • A+B=B+A {sifat komutatif} • (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} • A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} • A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} • k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalark} • (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalarkdanl} • (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} • 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

  26. Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) • ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian} • (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif} • AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} • AO=OA=O {sifat matrik nol} • (A+B)T = AT + BT{sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} • Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O • (kA)B=k(AB)=A(kB)

  27. Contoh AB=0 = , berarti AB=O Tetapi = , berarti BAO

  28. Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) • trase(A+B) = trase(A) + trase(B) • trase(AT) = trase(A) • trase(kA) = k trase(A) • trase(Inxn) = n

  29. Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) • (A+B)C=AC+BC • C(A+B)=CA+CB • (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik} • (kA)T=kAT • An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0 • ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli Sebanyak n

  30. Contoh Tambahan (1/3) Jika A = , dan B = BTAT = = (A + B)T = = AT + BT = = + (AB)T = = ATBT = =

  31. Contoh Tambahan (2/3) A = , dan B = (½B)T = = = ½ BT = ½ –2 A = –2IA = =

  32. Contoh Tambahan (3/3) A = , dan B = A2 = AA= = A3 = A2A = = trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 trase(A+B) = trase( ) = 6 + 1 = 7

  33. Determinan • Determinan Matriks Persegi Berordo 2 Matriks A = Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonalsamping. Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc

  34. Contoh maka det A = Jika A = = ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10

  35. Determinan • Determinan Matriks Persegi Berordo 3 Matriks A = Cara menentukan det A sebagai berikut : det A =

  36. Determinan Menggunakan aturan Saurrus det A = - - + - + +

More Related