Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa ( matematica computazionale )

1. Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa(matematicacomputazionale) Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu EquityLineSolutions – Londra

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3. MODULO 3    Sabato 17 settembre  h10.00-13.00 e 14.30-18.00  STRATEGIE QUANTITATIVE D’INVESTIMENTO 1-     Analisi economica delle alternative: 1.1   descrizione delle opportunità d’investimento; 1.2   Strategie d’investimento 1.3   Valutazione dei titoli azionari  2-     La decisione tra diverse alternative: 2.1   Tipi di proposte d’investimento; 2.2   Opzioni 2.3   Derivati sui tassi si interesse 2.4   Ottimizzazione di portafoglio

4. Portfolio Selection Teoriadell’utilità La massimizzazionedell’utilitàattesa, riconosciuta come criteriogeneraledi decisione in condizionidiincertezza, costituisce un obiettivoditipoglobale, nelsensocheraccogliedirettamente in unasintesi finale tutti I singoli elementidigiudiziochepossonoconcorrere, anche in manieracontrastante traloro, a determinare la preferibilitàdiunasceltarispetto ad un’altra. Moltospessosiottieneunadescrizionepiùchiara del problemadecisionale disaggregandol’obiettivoglobale in piùobiettiviparziali; taliobiettivi andrannodapprimaconsideratiseparatamente e poi armonizzatitraloro in unafase finale, nellaqualeilmiglior “compromesso” verràindividuato perseguendol’obiettivoglobale.

5. Portfolio Selection Teoriadell’utilità Un esempiotipicodiquestomododiprocederesi ha nel campo delle “scelte pubbliche”, quandovogliamorappresentare le preferenzediunacollettività organizzatadiindividui, intesa come un’unicaentità, attraversouna “funzione diutilitàsociale”. In questocontestorisulteràsignificativoconsideraredapprima come obiettivi parziali le preferenze, generalmentecontrastanti, deisingoliindividui, per conglobarli , poi, armonizzandolinelmodogiudicatopiùidoneorispetto a certicriteriprefissati, nellafunzionedipreferenzacollettiva.

6. Portfolio Selection Misuredirischiosità Nell’ambitodellateoriadelledecisionifinanziarie in condizionidiincertezza è espressivoscomporreilcriteriodellamassimizzazionedell’utilitàattesa introducendo due obiettiviparziali, consistenti, intuitivamente, nella massimizzazione del profittodauna parte, e nellaminimizzazione del rischio dall’altra. Con riferimentoall’individuo I, dotatodifunzionediutilitàu(x), chedeve valutare la situazionefinanziariaincerta X, la decomposizionepuòessere effettuata in modorigorosodefinendounamisuradirischiositàdi X come: avendoindicato con U(X) l’utilitàattesa E[u(X)]

7. Portfolio Selection Come risultadalladiseguaglianzadi Jensen e, più in generale, dalle considerazionisvolte in precedenza, questamisuradirischiosità non è mai negativa e siannulla solo neicasiestremidivariabilealeatoria X degenere . Esempio: se l’individuo I è dotatodifunzionediutilitàquadratica L’equazioneprecedentefornisce:

8. Portfolio Selection Datoche, per costruzione, è: La massimizzazionedell’utilitàattesadovràottenersicontemperando in qualchemodo la massimizzazionediu[E(X)] e la minimizzazionediϕ(X). Dato che u(x) è una funzione monotona di x, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare E(X). Restano quindi individuati due criteri di scelta parziali, che consistono l’uno nel rendere massimo il valore atteso dell’importo incerto X, l’altro nel rendere quanto più piccola possibile la rischiosità.

9. Portfolio Selection L’utilitàattesa come funzionedirischio e rendimento L’espressivitàdiquestoapprocciorisultaevidente se sirappresentano la rischiosità e la speranzamatematicadi X su un piano cartesiano, secondoil metodotipicodellacosiddettaanalisirischio-rendimento. Per semplicitàdinotazioneindicheremo con m la speranzamatematicadi E(X) e con ϕla rischiosità di ϕ (X). Evidentemente, ogni possibile posizione finanziaria sarà caratterizzata da un valore della media e da un valore della rischiosità; sarà quindi rappresentata da un punto P nel piano (ϕ ,m) . Di conseguenza l’insieme X delle opportunità avrà la forma di un sottoinsieme del piano (ϕ ,m) .

10. Portfolio Selection L’utilitàattesa ha la forma: Geometricamente, ad ognipunto P rappresentativodiunaposizione finanziariaincerta X, corrisponderà un valoredellafunzione U(P) e quindi l’utilitàattesasaràrappresentatadaunasuperficienellospazio a tre dimensioni (ϕ , m, U) defnitasull’insiemeX delleopportunità. Ragionandonel piano (ϕ , m) sipuòassumereche u(x) siaderivabilealmeno due volte. La derivataparzialediUrispetto a m è positiva, essendo

11. Portfolio Selection Quindisipuòaffermarechetra due puntiaventi la stessaascissaϕ sarà preferitoquelloaventeordinata m maggiore, datochel’utilitàattesa U è funzionecrescentedi m, per ϕfissata. Analogamente, la derivataparzialedi Urispetto a ϕ è negativa: Conseguentemente, comunquepresi due puntisullaretta m= costante, sarà preferitotraessiquello con valoreminoredell’ascissaϕ .

12. Portfolio Selection Nellafigura, ad esempio A> B, datoche , a paritàdirischiosità, ilpunto A corrisponde ad unasituazionefinanziaria con valoreattesomaggiore

13. Portfolio Selection Analogamente è C>D, poiché, per uno stesso livello di importo atteso, la posizione C è caratterizzata da un valore più basso della rischiosità. Naturalmente questo semplice criterio introduce un ordinamento soltanto parziale, come subito si verifica osservando che le posizioni corrispondenti ai punti B e C, ad esempio, risultano tra loro non confrontabili. La rappresentazionecompletadellepreferenzepotràottenersi solo considerandocongiuntamentegliobiettivied m attraverso la valutazione dellafunzioneU(ϕ ,m) . Le ipotesigeneralisullafunzionediutilitàpermettono diricavarel’andamentoqualitativodellelineedilivellodellasuperficie U(ϕ ,m) , cioè la forma del luogodeipunti del piano (ϕ ,m) che corrispondono ad unostessolivello u0dell’utilitàattesa e cherisultano pertantoindifferentitraloro.

14. Portfolio Selection Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente descritte dall’equazione U (ϕ ,m) = u0 dove u0 assume il significato di un parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. Dato che u(x) È dotata di inversa, l’equazione: Può essere risolta rispetto ad m, fornendo quindi l’espressione della curva di indifferenza con utilità attesa u0 , si ha:

15. Portfolio Selection La derivata prima ha la forma: Ed è quindi positiva, per l’ipotesi di crescenza su u(x)(u’(x)>0) Calcolando la derivatasecondasiottiene:

16. Portfolio Selection Anch’essa positiva per la crescenza e concavità di u(x)(u’’(x)<0). Si conclude quindi che le curve di indifferenza nel piano (ϕ ,m) sono funzioni crescenti e convesse in ϕ . Dato che U (ϕ ,m) cresce al crescere di m e al decrescere di ϕ, muovendosi in direzione “nord-ovest” nel piano (ϕ ,m) si incontraranno curve di indifferenza corrispondenti a valori crescenti di utilità attesa. Nella figura sono illustrate curve di indifferenza relative ai valori u0, u1, u2 dell’utilità attesa, con u0 < u1 < u2 . Le posizioni A e C sono indifferenti, perché hanno utilità attesa uguale a u2 La posizione D è preferita alla B, perché è indifferente a B’ che, a sua volta, è preferita a B .

17. Portfolio Selection FrontieradelleOpportunità e FrontieraEfficiente Il problemadellamassimizzazionedell’utilitàattesa è significativo solo in presenzadivincolisullevariabilidecisionaliϕ e m ; in assenzadilimitazioni sullarischiosità e sulvaloreattesodi X, infatti, esisteràsempre la soluzione banaleϕ = 0 e m = ∞ . In tutti I casidiinteressepraticol’insiemedelleopportunitàXsaràquindi rappresentatoda un sottoinsiemeproprio del piano (ϕ , m) . Nell’insiemeXrivestono un ruolologicamenteimportante le opportunitàdi frontiera. Unaopportunitàdifrontiera è definita come l’opportunitàche la minima rischiositàtratutte le opportunitàchehanno la stessasperanza matematica.

18. Portfolio Selection Per ognilivellofissatodi m0, del valoreatteso E(X), la corrispondente opportunitàdifrontierasaràsoluzione del problema: Geometricamente, fissatoillivellom0, l’opportunitàdifrontierasarà rappresentatadalpuntoP0di x alla cui destrasisituanotuttiglialtripuntiX chegiaccionosullarettaorizzontalem = m0. Talipunti-opportunitàsarannotuttidominatidaP0, nelsensodellarelazione dipreferenza> .

19. Portfolio Selection Al variaredim0, vengono individuate in X tutte le opportunitàdifrontiera, che costituisconoappunto la frontieradiX, o frontieradelleopportunità, che indicheremo con B . Sulla frontieraBpossonoesisteredelleopportunitàcaratterizzatedallastessa rischiosità, ma diversasperanzamatematica; possonocioèesisteredeipunti difrontierasituatisullerettaverticaleϕ = ϕ0 . Si definiscealloraopportunitàefficienteogniopportunitàdifrontierache ha massimovaloreattesofratutte le opportunitàdi B aventiuguale rischiositàϕ0 .

20. Portfolio Selection Unaopportunitàefficiente è quindisoluzione del problema: Il luogodelleopportunitàefficienti, corrispondentiaidiversivaloridiϕ0 , è un sottoinsiemeε dellafrontieraB , ed è chiamatofrontieraefficiente dell’insimeX . Glielementichecompongono la frontieraefficiente rappresentanodeipuntidiottimoparetiano, dalnomedell’economista Vilfredo Pareto.

21. Portfolio Selection Il procedimento in base al qualeabbiamodefinito la frontieraεgarantisce infattiche non cisipuòspostaresudiessa per migliorareunodegliobiettivi parziali, per es. Per aumentare la speranzamatematica, senzapeggiorare l’altro, senzacioèaumentare la rischiosità.

22. Portfolio Selection Con l’individuazionedellafrontieraefficienteεsiesaurisce la fasedi ottimizzazione, consistentenell’analizzareseparatamentegliobiettiviparziali. Il processodecisionalesaràrisoltoindividuandoilpuntodimassimo dell’obiettivoglobaleU (ϕ ,m) , e questo non potràcheessereunodeipuntidi ottimo. Si tratteràquindidiindividuareilpuntodellafrontieraefficiente chesisituasullacurvadiindifferenzaU (ϕ ,m) = con valorepiù alto di dellautilitàattesa. Nellafigura , la zonaombreggiataindical’insiemeXdelleopportunità , allora La linea continua che ne costituisceilcontornorappresenta le frontieradelle opportunitàB .

23. Portfolio Selection I punti P0, P1 e P2rappresentano le opportunitàdifrontiera relative ailivelli disperanzamatematicaE(X) uguali a m0, m1 e m2, rispettivamente. Il punto P1corrispondeall’opportunitàmenorischiosatratutte le opportunitàdisponibili. La porzionedellafrontieraBchecorrisponde a valoridimmaggiori, evidenziati in nero, costituisce la frontieraefficienteε, cioèilluogodeipunti diottimo. Il puntodimassimo è ilpunto per cui si ha la massimautilitàattesa tratutti I puntidiε , e quinditratutti I puntidiX . Come sivede è ilpunto ditangenzatra la frontieraefficiente e la lineadiindifferenzaU = .

24. Portfolio Selection I Modelli Media-Varianza Secondol’approcciosviluppato in precedenza, con l’introduzionediobiettivi parziali la massimizzazionedell’utilitàattesa per un individuoI puòessere fattaprecederedaunafase in cui vengonoricercatesoluzioniottimenel sensodi Pareto. E’ importantesottolineareche con questaimpostazione la forma della funzionediutilità, e quiandi la strutturadellepreferenzediI, non entra in gioco solo nellasecondafase, ma svolge un ruoloimportanteanchenella precedentefasediottimizzazione.

25. Portfolio Selection Infatti la misuradirischiogeneralizzataϕ (X), definita in precedenza, dipende essastessadallafunzionediutilità, la cui forma contribuiràquindianchealla determinazionedellafrontieraefficiente. In moltimodellidecisionali, più orientati verso le applicazionipratiche. È importanteindividuaredegli obiettiviparzialidivalorepiùoggettivonelsensodipoteressereconsiderati comuni ad un’interaclassediindividui, chepossonoesserepensati come gli agentieconomicipartecipanti a un idealemercatofinanziario. In questomodo la suddivisione del processodecisionalenelle due fasidi ottimizzazione e dimassimizzazioneequivale a scomporrel’analisi dell’incertezza in due momentidistinti.

26. Portfolio Selection Dapprima ne vengonostudiatiglieffettisull’ambienteeconomico in cui I decisoriagiscono, in n secondo tempo vengonointrodotte le considerazioni sulcomportamentodeisingoli, specificando le preferenzeindividualidifronte al rischio. Nell’ambitodiunaconcezioneoggettivadellaprobabiltàrisulterànaturale individuareobiettiviparzialideterminatiunicamentedallecaratteristiche dellefunzionididistribuzione F(x) dellevariabilialeatorie X. Si trattadi un mododiprocedereevidentemente in contrasto con la teoria soggettivadelleprobabilità per la qualel’utilità e l aprobabilitàandrebbero definite, almeno in via teorica, simultaneamente e congiuntamente, la definizionestessadiprobabilitàsoggettivaessendo un casoparticolaredella teoriadelledecisioni.

27. Portfolio Selection Tuttavia, in moltesituazionirealisiconstatache è più facile trovareaccordo tragliindividui a propositodelledistribuzionidiprobabilitàpiuttostochesul gradodiavversione al rischio. Ciò ha portato a svilupparemodellibasatisull’ipotesidi “homogeneous expectations”, per cui, basandosisull’osservazionechel’uniformitàdi aspettativesembracostituireunasituazionemoltomenoirrealistica dell’uniformitàneilivellidiavversione al rischio, si assume chetuttigliagenti economicicondividano le stesseopinioniprobabilistiche e sidifferenzino solamente per la concavitàpiù o menoaccentuatadellafunzionediutilità. Questotipodiapproccio, se inteso come una prima, gossolana approssimazionedicertesituazionireali, puòessereconsideratoaccettabile ancheda un puntodi vista soggettivista.

28. Portfolio Selection Tra I possibiliobiettiviparzialiche un individuoI deveperseguire per massimizzare la propriautilitàattesa U(X), la massimizzazione del valormedio e la minimizzazionedellavarianzasono I piùimportantiedimmediati. Ammettendoche la funzionediutilitàdi I siasviluppabile in seriedi Taylor e scegliendo, ad esempio, come puntoinizialedellosviluppoilvaloreatteso m=E(X) si ha: Essendo R3ilrestoditerzoordine espresso dalla: