Année scolaire 2010-2011 GRANDEURS et MESURES

1. Année scolaire 2010-2011 GRANDEURS et MESURES J-L GUEGUEN CPC PONTIVY 1

2. L’apprentissage des grandeurs joue un grand rôle dans les mathématiques pour le développement du raisonnement et le renforcement de l’esprit critique.Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure et la puissance du raisonnement.C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité (sciences, EPS, histoire, géographie …).Il nous faut profiter de cette richesse.Catherine HOUDEMENT

3. Qu'est-ce qu'une grandeur ? 3

4. Une grandeur est une caractéristique d’un objet qui est comparable entre deux objets et qui est quantifiable une fois que l’on définit une unité pour la mesurer.Des exemples pour un crayon de couleur ( grandeurs / pas grandeurs )? 4

5. GrandeurSa taille, son poids, son volume, son prix. Pas une grandeur sa couleur, sa forme. 5

6. Grandeurs repérables et grandeurs mesurablesOn associe des nombres à certaines grandeurs pour les repérer : dates, température, échelle de Richter.Les correspondances sont des repères, ce ne sont pas des mesures : le 3 mars ne peut pas s’ajouter au 14 mars, seule la durée (= intervalle de temps) se mesure ; Si je mets dans un même plat un steak à 5 degrés et des haricots verts à 15 degrés, l’ensemble ne sera pas à 20 degrés… seul se calcule l’écart des températures.Avec des élèves, on préférera le terme "relever la température" au terme "mesurer la température".

7. Ne pas confondre l’objet qui est le support de plusieurs grandeurs et la grandeur qu’on étudie. La grandeur est abstraite ! Ne pas confondre une grandeur et sa mesure qui est un nombre. Toutes les mesures sont des nombres qui peuvent « masquer » les grandeurs qu’ils sont censés représenter. 7

8. Exemples de confusion entre mesure et grandeur : Au cycle 2 : Des élèves peuvent déclarer que : « 15 cm c’est plus que 3 m parce que 15 c’est plus que 3 » Au cycle 3 : L’introduction des décimaux à partir des conversions décimales du système métrique peut provoquer des confusions profondes dans la conception d’un nombre décimal : De la conversion : 1254 m = 1,254 km, des élèves déduisent que 1254 = 1,254 ! 8

9. Quel remède ? Le seul chemin possible est celui de la construction du sens. Nos élèves sont tous intelligents, mais différents dans leurs apprentissages. Ils doivent construire un parcours cohérent, individuellement et collectivement, sans précipiter les étapes, pour se l’approprier et devenir autonomes. 9

10. Rappel des programmes et attendus au socle commun 10

11. au CYCLE 2 Temps Longueur Masse prix au CYCLE 3 Temps Longueur Masse prix Angle Aire Volume Capacité Quelles grandeurs ? 11

12. Dans les programmes Cycle 2 Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix 12

13. Dans les programmes Cycle 2 13

14. Dans le socle – Palier 1 CE1 Utiliser les unités usuelles de mesure; estimer une mesure Être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs Résoudre des problèmes de longueur et de masse 14

15. Dans les programmes Cycle 3 Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit. Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus. Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier. Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La monnaie La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités 15

16. Dans les programmes Cycle 3 16

17. Dans les programmes Cycle 3 17

18. Dans les programmes Cycle 3 18

19. Dans le socle – Palier 2 CM2 Utiliser des instruments de mesure; effectuer des conversions Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle Utiliser les unités de mesures usuelles Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions 19

20. Évaluations CM2 2011résultats nationaux A titre indicatif, la médiane de 58% en GM correspond à une moyenne de 51%. 20

21. Lire l’heure sur un cadran à aiguilles. Item 77 : 43% Lecture correcte des 2 pendules. Calculer des durées Item 79 : 42 % 13h50 ou en-deçà vraisemblable 21

22. calcul de périmètre item 80 : 60% Exercice 14 Résous le problème suivant : Un jardinier achète 9 rosiers à 4 € pièce et 3 sapins à 17 € pièce. Quel est le montant de sa dépense ? Item 87 : 66% 22

23. Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions Item 91 : 72% Item 98 : 25% 23

24. Autre exercice non comptabilisé mais qui utilise le champs grandeurs et mesures. Exercice 15 A/ Le directeur doit acheter des cahiers et des livres pour l’école. 6 livres coûtent 150 €. Combien coûtent 9 livres ? Item 88: 51% B/ 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? Item 89: 31% 24

25. Autre exercice non comptabilisé mais qui utilise le champs grandeurs et mesures. A/ Pierre et Catherine, accompagnés de leur fille Léa de 7 ans et de leur chien, installent leur caravane dans ce camping. Ils souhaitent y rester trois semaines. Combien paieront-ils pour une semaine ? Item 96: 59% B/ Jacques et Henri, âgés de 17 et 20 ans plantent leur tente pour deux semaines dans le camping des Trois Chênes. Combien paieront-ils ? Item 97: 48% 25

26. CONSTATS - Le champ de compétence « grandeurs et mesures », même s’il n’est pas explicitement évalué intervient dans presque tous les problèmes concrets ainsi que dans certains exercices de géométrie. - Les compétences développées dans ce champ sont réutilisées dans beaucoup d’autres disciplines comme l’histoire (Chronologie), la géographie (température, précipitations, distances, aires, …) 26

27. Les items évalués sont peu nombreux.- grandeurs évaluées : temps, longueur, masse, prix.- grandeurs non évaluées : angle,aire, volume, capacité. 27

28. Évaluations CE1 2010résultats ACADEMIE de RENNES • 8 items : 79, 80, 81, 82, 97, 64, 65, 66 • MOYENNE : 61,75%

29. Exercice 10 : Utiliser un calendrier pour comparer les durées (item 79)Cette année le premier match de la coupe de monde de football a lieu le 11 juin. Le dernier match a lieu le 11 juillet.Combien de jours durera cette compétition ? ? item 79 32%

30. Exercice 11 : Utiliser les unités usuelles de mesures ; estimer une mesure ( items 80, 81, 82) Item 80 : 79% Item 81 : 56% Item 82 : 73%

31. Item 97 : 79 %

32. Exercice 4 : Résoudre un problème de la vie courante avec de l’argent en euros (items64, 65, 66)• Maman veut acheter des gâteaux.• Elle a dans son porte-monnaie :- un billet de 10 €- un billet de 5 €- deux pièces de 2 €- trois pièces de 1 €.• Elle achète 3 gâteaux qui coûtent 7 € chacun.• Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé?• Explique tes recherches et tes calculs. Donne une phrase de réponse. Item 64: 63% Item 65 : 71% Item 66: 41% Une démarche écrite une réponse rédigée + unité réponse exacte

33. Des propositions • Equilibrer, dans la démarche, perception/mesure/raisonnement • Mettre en place des moments de manipulation et d’expérimentation pour préparer, consolider, remédier. • Utiliser les TUIC. • Analyser les obstacles rencontrés par les élèves et les intégrer dans la démarche • Développer l’utilisation de l’ordre de grandeur en identifiant correctement le but (entrée, régulation, degré de validation). 33

34. Des propositions ( suite ) 6 - Entretenir les connaissances acquises en faisant lien avec les activités des autres disciplines. 7 - Pour toutes les évaluations, réfléchir à leur pertinence, leurs interprétations et aux conditions psychologiques de passation. 8 - Diversifier, explicitement pour les élèves, les conditions des tâches à effectuer 9 - Utiliser le calcul mental en relation avec les grandeurs travaillées 10 – Clarifier le vocabulaire utilisé. 34

35. 11-Travailler des procédures personnelles aux procédures expertes, collectivement et individuellement, en liaison avec le sens. 35

36. Quelle démarche mettre en place ? 36

37. Une triple approche Perception Mesure Raisonnement Il faut toujours privilégier une approche sensible dans un premier temps, en comparant par exemple des grandeurs et seulement ensuite passer à la mesure (en définissant correctement l’unité de mesure et les instruments). Il faut habituer l’élève à donner une mesure « à l’œil » avant de faire la mesure ou le calcul qui permet d’obtenir la mesure. 37

38. SITUATION 3Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ?

39. Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ? Moins de 1 mm Très petit Perception Impossible à la règle Utilisation d’un pied à coulisse, d’un palmer. Mesure Raisonnement On mesure 100 feuilles et on divise. 39

40. Passage de la perception à la mesure Pour pouvoir mesurer il faut : Se doter d’instruments pour réaliser cette mesure Définir une unité de mesure. 40

41. Les relations entre les unités avant le tableau de conversion Le tableau de conversion doit être connu et utilisé mais pas systématiquement. Les relations entre les unités usuelles doivent se faire sans recourt à ce tableau (passage du m au km, du g au kg ou au mg, …). 41

42. Plan général de l’approche d’une grandeur : 1- Comparaisons (directes et indirectes) permettant de « faire apparaître la nouvelle grandeur que l’on veut étudier ». 2- Mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement, appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le mesurage). 3- Introduction d’une unité « légale ». 4- Utilisation de tout un système d’unités 5- Établissement de formules (calcul d’aires, de périmètres). Progression proposée par D. Pernoux. 42

43. La mesure d’une grandeur a pour but de remplacer les manipulations sur les objets par des opérations sur des nombres (comparaison, addition, rapport…), elle reste donc un objectif essentiel de notre enseignement. Mais lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement, elle s’érige en obstacle à la perception de la grandeur qu’elle est censée représenter. 43

44. A la moitié du parcours, pour des besoins de communication, une unité de référence doit être choisie. • Des conversions peuvent devenir nécessaires. La construction et l’utilisation d’instruments de mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent aussi dans cette dernière étape accompagnant les calculs. • Mais, cette étape occupe souvent 95% du temps consacré à l’étude d’une grandeur au détriment du peu de temps consacré à sa construction conceptuelle. 44

45. Quelle est la place et le rôle de la manipulation ? 45

46. Manipuler et/ou expérimenter ?une dialectique plus qu’une oppositionobjectif principalaider au passage progressif de la perception à l'abstractionDe jevois à jesaisDe l'objet au concept 46

47. Manipuler et/ou expérimenter ?une dialectique plus qu’une oppositionManipulerdéplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliserExpérimentercontrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver 47

48. Manipuler et/ou expérimenter ?DES ETAPES 48

49. 0. Des manipulations avec le matériel, avec des outils.1. Le choix de la situation didactique par le professeur. 2. Une expérimentation avec une résolution du problème conduite par les élèves.3. Une organisation du travail qui permet les échanges argumentés.4. Un étayage constant et raisonné par le professeur.5. Un temps dédié à la structuration des connaissances.6.Des traces écrites pour se rappeler, pour mémoriser.7.Des manipulations pour consolider, s’entraîner, aller plus loin, remédier. 49

50. un lieu et un matériel dédié aux manipulations/expérimentations Liste de matériel possible :- matériel à manipuler : jetons, bouchons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques,ficelles, les jeux de la classe, Tangrams, meccano, légo, récipients, matériel fabriqué …- supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements …- outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle …- instruments : Instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur, horloges, balances … 50