1 / 53

Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien

Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien. Seminar Angewandte Mathematik für LAK Professor Schmitt Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz . Überblick. Was ist Modellierung? Fallbeispiele: 1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem 2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung

ova
Télécharger la présentation

Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Mathematische Modellierung am Beispiel verschiedener Fallstudien Seminar Angewandte Mathematik für LAK Professor Schmitt Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz

  2. Überblick • Was ist Modellierung? • Fallbeispiele: • 1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem • 2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung • Zusammenfassung

  3. Modellbildung Analyse Simulation Überprüfung Interpretation Modellierung Reales Problem Mathematisches Problem Reale Lösung Mathematische Lösung

  4. Müll MüllMüll • Stadtreinigungen entsorgten 2007: • Hamburg: ~754000 t, 587 kg pro Einwohner, 2066 t täglich • Österreich: ~430 kg pro Einwohner • Optimale Route: Spart Treibstoff, Zeit Geld • Mei Go Guan „Chinesisches- Postboten-Problem“

  5. Routenplanung -Müllabfuhr • Optimierungskriterien: • Sackgasse • Einbahnstraße • jede Straße mind. einmal abfahren • Anfangspunkt = Endpunkt

  6. Modellierung- Graphentheorie • aus Straßennetz Graph erstellen • Graph: Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten, Kanten und einer Zuordnung, die jeder Kante ein Knotenpaar zuweist (Knoten sind Endpunkte der Kante) • Grad: Anzahl der Kantenenden an einen Knoten

  7. Modellierung- Graphentheorie • Straßen gerade Kanten • Kreuzungen, Ende Sackgasse Knoten • Kantengewichte (verschiedene Parameter wie z.B. Weglänge, Durchfahrtszeit usw.)

  8. Eulergraphen- Eulertouren • Eulerweg: Ein Weg, der durch jede Kante eines zusammenhängenden Graphen genau einmal führt, heißt Eulerweg • Eulergraph: Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt Eulergraph • Eulertour:Eulerweg mit gleichem Start-und Zielpunkt • Algorithmen: • Zwiebelschalen- Algorithmus (Hierholzer-Algorithmus) • Fleurys Algorithmus

  9. Zwiebelschalen-Algorithmus • 1. Schritt: Wähle einen Startknoten • 2. Schritt: Gehe auf unmarkierten Kanten und markiere diese • Falls alle markiert Schritt 3 • Falls nicht, suche neuen Startknoten, wiederhole Schritt 2

  10. 3. Schritt: Gehe entlang des ersten Kreises bis er einen weiteren berührt; gehe weiter auf dem neuen bis dieser wieder einen weiteren berührt usw. • Gehe den zuletzt begonnenen zu Ende, dann den vorhergehenden, usw. bis alle Kanten besucht wurden

  11. Fleurys- Algorithmus • Brücke: Kante in einem Graphen, bei deren Wegnahme der Graph in zwei Komponenten zerfallen würde • 1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante

  12. 2. Schritt: wähle nächste Kante so, dass sie im Restgraphen keine Brücke bildet … grün = Brücke

  13. Ungerade Knoten • Knoten besitz ungeraden Grad • Bsp. 2 ungerade Knotengrade • Mehr als 2 ungerade Knotengrade: • Anzahl gerade: wie oben • Anzahl ungerade: ????

  14. Ungerade Knoten • Satz: In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. • Satz: Die Summe aller Knotengrade eines Graphen = doppelte Anzahl der Kanten, (da jede Kante die Summe aller Knotengrade genau um 2 erhöht (Anfangs- und Endknoten)) aus jedem Graph lässt sich Eulergraph entwickeln

  15. The perfectmatch • Matching: Teilgraph, in dem alle Knoten höchstens Grad 1 haben • Minimal: Summe der Kantengewichte ≤ Summe der Kantengewichte bei jedem anderen Matching, das diese Knoten verbindet • Perfektes Matching: nur Knoten vom Grad 1, alle Knoten sind zu Paaren verbunden

  16. STANDORTWAHL FÜR RETTUNGSHUBSCHRAUBER AUSGANGSPROBLEM: Ein Rettungshubschrauber soll mehrere Einsatzgebiete optimal versorgen.  Was heißt „optimal“? BEISPIEL: gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer

  17. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung Vereinfachte Modellannahmen: Modellieren Einsatzgebiete sowie Hubschrauberstandort als Punkte in der Ebene Flugzeit zw. A und B – proportional zur Länge der geraden Strecke zw. A und B Es wird nur die Zeit bis zur Erstversorgung des Unfallopfers berücksichtigt Unfallhäufigkeit ebenfalls nicht berücksichtigt

  18. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung Wenn wir annehmen, dass M Einsatzorte Ex1(a11 | a12), Ex2(a21 | a22),..., ExM(aM1 | aM2) zu beachten sind und X(x1 | x2) irgendein Standort für den Hubschrauber ist, so ist für m = 1,…, M die Euklidische Entfernung zwischen dem m-ten Standort Exm(am1 | am2) und X

  19. BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung CENTER ZIELFUNKTION CENTER STANDORTPROBLEM

  20. Ex2(-1,5 | 10) X(1 | 8) Ex1(3,5 | 6) ZWEI EINSATZORTE:  Mittelpunkt der Strecke zw. den beiden Einsatzorten 10 8 6 4 2 -4 2 4 -2 6 10 8

  21. In der (gelben) Kreisscheibe um Ex1 mit Radius r* hat jeder Punkt X außer X* eine Entfernung von Ex2, die größer als r* ist. Analog hat jeder Punkt X außer X* in der (grünen) Kreisscheibe um Ex2 mit Radius r* eine Entfernung von Ex1, die größer als r* ist. Außerhalb der beiden Kreisscheiben ist die Entfernung sowohl von Ex1 als auch von Ex2 größer als r*. 4 3 r* r* 2 Ex2(5 | 2) Ex1(1 | 2) X*(3 | 2) 1 1 2 3 4 5

  22. Ex2(5 | 9) X(3 | 4) Ex1(-2 | 2) Ex3(-5 | -1) DREI EINSATZORTE – FALL1:(Spitzwinkeliges Dreieck)  Umkreismittelpunkt 10 8 6 4 2 -4 2 4 -2 6 10 8 -2

  23. X*(4 | 2) Ex2(2 | 6) 6 4 2 Ex3(8 | 0) 2 4 6 8 10 -2 Ex1(2 | -2) Der einzige Punkt mit Euklidischer Entfernung kleiner oder gleich r* zu allen drei existierenden Standorten ist X*.

  24. Ex2(1 | 3) Ex1(-5 | 3) XM(0 | 1) XU(-2 | -4) Ex3(5 | -1) FALL2:(Stumpfwink. Dreieck) 6 4 2 -8 -4 2 4 -6 -2 6 -2 -4 -6

  25. FALL2:(Stumpfwink. Dreieck) Seien Ex1 und Ex2 die Endpunkte der längsten Seite und X* der Mittelpunkt dieser Seite. Dann gilt für jeden Standort X, der von X* verschieden ist:

  26. FALL 3 (?) – rechtwinkeliges Dreieck

  27. SATZ:

  28. MEHR ALS DREI EINSATZORTE: Lösung durch Probieren?

  29. Ex4(4 | 15) X1(4 | 5) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 10 8 -2

  30. Ex4(4 | 15) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 X2(5 | 4) 4 2 2 4 6 10 8 -2

  31. Ex4(4 | 15) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 X3(5 | 5) 4 2 2 4 6 10 8 -2

  32. Ex4(4 | 15) X1(4 | 5) Ex3(7 | 13) Ex1(0 | 0) Ex2(9 | -2) 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 10 8 -2

  33. MEHR ALS DREI EINSATZORTE: Zurückführung auf das Problem mit zwei oder drei Einsatzorten Für alle Paare und Tripel in der Menge Ex mache das folgende: Schritt 1: Bestimme den optimalen Center Standort X‘ und den optimalen Zielfunktionswert r‘ für das Center Standortproblem mit zwei bzw. drei Einsatzorten. Schritt 2: Bestimme den Kreis mit Radius r‘ um X‘. Falls die entsprechende Kreisscheibe alle Punkte in Ex enthält, ist X‘=X* und r‘=r* (X*... Optimaler Center Standort, r*... Optimaler Center Zielfunktionswert)

  34. 15 12 9 Ex2(14 | 7) r* ≈ 15,8 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 X*(3 | -1) -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  35. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  36. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  37. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  38. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  39. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  40. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  41. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) > 90° 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  42. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  43. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 > 90° Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  44. 15 12 9 Ex2(14 | 7) 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  45. 15 12 9 Ex2(14 | 7) r* ≈ 15,8 6 Ex1(-12 | 4) 3 -12 3 6 9 12 15 18 -6 -3 -9 X*(3 | -1) -3 Ex4(-9 | -5) -6 Ex3(18 | -6) -9

  46. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Intuitive Lösungsfindung w1, w2 ... Unfallhäufigkeiten in Ex1 u. Ex2 Bsp.: w1< w2 , etwa w1=1, w2=2 - Hubschrauber wird näher an Ex2 heranrücken Ex2 Ex1  Schwerpunkt

  47. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung

  48. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung

  49. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE Zielfunktion und Optimierung Minimierung der Zielfunktion führt zur Lösung:  Schwerpunkt

  50. Optimierung bei Kenntnis der Unfallhäufigkeit EIN HUBSCHRAUBER – N EINSATZORTE Zielfunktion: Bedingung: Lösung:

More Related