Tema 0 3 . Matemati č ke i logi č ke osnove ra č unara

1. Tema 03.Matematičke i logičke osnove računara Osnovi informacione tehnologije Profesor dr Boško Rodić, dipl. inž.

2. Pitanja • Brojčani sistemi • Dekadni brojčani sistemi • Binarni brojčani sistemi • Oktalni brojčani sistemi • Heksadekadni (heksadeimalni) bs

3. Brojčani sistemi • Pod računarskim sistemom, susretaćemo i nazive: • sistem za obradu podataka, • automatizovani sistem za obradu podataka i sl, • mislimo na sve ono što obavlja poslove rešavanja zadataka na računarskoj opremi…

4. Uvod Prilikom uvođenja u primenu potrebno je uskladiti sve elemente računarskog sistema s postojećom organizacijom u preduzeću ili ustanovi gde se uvođenje obavlja. Ova zavisnost definisana je na sledeći način: Ako imate hardver pete generacije, softver četvrte, kadrove treće i organizaciju druge generacije, sistem će raditi u drugoj generaciji.

5. Uvod • Za razumevanje rada računara, potrebno je objasniti tri temeljna sistema na kojima se zasniva funkcionisanje računara: • aritmetički sistem (brojni sistemi), • algebarski sistem (algebra logike) i • elektronsko čuvanje podataka.

6. Brojni sistemi Uvod 1. Dekadni brojni sistem 2. Binarni brojni sistem

7. Brojni sistemi, uvod • Brojni sistem čini skup pravila formulisanih u cilju kvalitativnog izražavanja. Principi na kojima se zasnivaju brojni sistemi mogu biti različiti, ali se mogu podeliti u dva skupa: • pozicione i • nepozicione brojne sisteme.

8. Brojni sistemi, uvod U razvoju brojeva, prvo su se razvili nepozicioni brojni sistemi. Karakteristike nepozicionih brojnih sistema su, da simboli, koji označavaju brojeve, imaju istu vrednost na različitim mestima u zapisu broja. Takav brojni sistem korišćen je u staroj egipatskoj kulturi 2500 – 3000. godina pre nove ere.

9. Brojni sistemi, uvod, nepozicioni brojni sistemi • Rimski sistem također pripada nepozicionim sistemima, sa sledećim pravilima: • niz istih cifara predstavlja brojnu vrednost jednaku njihovom zbiru, • ako su cifre napisane jedna do druge tako da desna nije veća od leve, onda se vrednosti cifara sabiraju • ako su cifre napisane tako da je vrednost leve cifre manja od desne, onda se vrednost leve cifre oduzima od vrednosti desne • cifre I, X, C, M mogu se uzastopce zapisati najviše tri puta • cifre V, L, D ne smeju se zapisati uzastopce više puta • najveći broj je 3999 ili MMMCMXCIX jer MMM = 3000, XC = 90, XCM = 990, XCMIX=999 iliMMMIM (MMM=3000, IM=999), optimizacija zapisa, • ne postoji nula. .

10. Brojni sistemi, uvod, nepozicioni brojni sistemi npr: 1966 = MCMLXVI M+CM+LX+VI=M+M-C+L+X+V+I = 1000+(1000-100)+(50+10)+(5+1)=1966 D = ?

11. Brojni sistemi, uvod, pozicioni i/ili radix brojni sistemi Pozicioni brojni sistemi odlikuju se osobinom, da je vrednost cifre zavisna ne samo o veličini nego i o mestu, na kome stoji u okviru nekog broja. Vrednost broja X u pozicionom brojnom sistemu izražava se u obliku: gde su m i n celi brojevi, N osnova brojnog sistema, i predstavlja broj različitih cifara u brojnom sistemu a Xi su simboli za cifre broja, za koje vredi uslov: 0  Xi < N gde je 0 (nula) simbol za najmanju cifru brojnog sistema.

12. Brojni sistemi, primeri brojnih sistema Najpopularniji brojni sistemi su: 1. Decimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 2. Binarni brojni sistem (0,1) 3. Oktalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7) 4. Hexadecimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

13. Brojni sistemi, primeri brojnih sistema

14. Brojni sistemi, uvod, pozicioni brojni sistemi • Karakteristike pozicionih brojnih sistema su: • najveća cifra (Kmax) brojnog sistema dobije se ako se osnovica umanji za 1 • (Kmax = N – 1) • svakoj cifri u jednom brojnom sistemu odgovara jedna cifra u drugom brojnom sistemu • Do pojave računara za izražavanje brojnih izraza isključivo se koristio dekadni brojni sistem. • Danas savremeni računari koriste binarni, oktalni i heksadecimalni brojni sistem.

15. Brojni sistemi, dekadni brojni sistem Dekadni brojni sistem ima osnovicu N = 10, pa je skup cifara sistema: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Prema obrascu broj 2345 prikaz punog zapisa: 2345 = 2 x 103 + 3 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 Za slučaj decimalnog broja 1845,34 imamo puni zapis: 1845,34 = 1x103 + 8x102 + 4x101 + 5x100 + 3x10-1 + 4x10-2 Dekadni brojni sistem raširen je u svakodnevnoj primeni, a nastao je pragmatičkom osnovom prema broju prsta čoveka.

16. Brojni sistemi, dekadni brojni sistem – komplement broja 9 Konstruktori računara uspeli su računske operacije višeg reda svesti na računske operacije nižeg reda. To im je uspelo uz pomoć komplementa broja 9.

17. Brojni sistemi, dekadni brojni sistem – komplement broja 9 Primer 1.

18. Brojni sistemi, dekadni brojni sistem – komplement broja 9 Primer 2. Kod oduzimanja većeg broja od manjeg rezultat se dopunjava do komplementa broja 9 i razlika je negativna

19. Brojni sistemi, dekadni brojni sistem – komplement broja 9 Pravilo komplementa važi u svim brojnim sistemima. Primenom tog pravila oduzimanje se može zameniti sabiranjem umanjenika i komplementa umanjioca do najvećeg elementa sistema (npr. 9) ili njegove osnove (npr. 10). To je doprinelo posizanju velikih brzina računanja u računarima

20. Brojni sistemi, binarni brojni sistem Binarni brojni sistem ima osnovicu N=2 pa je skup cifara sistema S = {0, 1} Aritmetika podataka u računarima zasnovana je na binarnom sistemu brojeva. On se lako tehnički realizuje. S obzirom da ima samo dve cifre 0 i 1, zadovoljava uslov koherentnosti – bistabilnost.

21. Brojni sistemi, binarni brojni sistem https://amser.org/index.php?P=AMSER--ResourceFrame&resourceId=95

22. Brojni sistemi, binarni brojni sistem

23. Brojni sistemi, binarni brojni sistem

24. Brojni sistemi, binarni brojni sistem Broj (101100,11)2 u binarnom sistemu ima vrednost prema obrascu: (101100,11)2 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = (44,75)10

25. Brojni sistemi, pretvaranje dekadnih u binarne brojeve

26. Brojni sistemi, oktalni brojčani sistem

27. Brojni sistemi, oktalni brojčani sistem

28. Brojni sistemi, oktalni brojčani sistem

29. Brojni sistemi, oktalni brojčani sistem

30. Brojni sistemi, heksadekadni brojčani sistem

31. Brojni sistemi, heksadekadni brojčani sistem

32. Brojni sistemi, heksadekadni brojčani sistem

33. Brojni sistemi, heksadekadni brojčani sistem

34. Brojni sistemi, heksadekadni brojčani sistem

35. 0 00 01 17 uređaj za pamćenje - memorija M Podaci instrukcija saberi memorijske lokacije „0“ do „'n“ 1 11 12 15 blok upravljanja Procesor Instrukcije M P 0 00 00 25 Rezultat aritmetički blok 0 00 01 42 • Logika rada računara

36. CPU, RAM, ulazna jedinica Izlazna jedinica Sekundarna memorija Ulaz Izlaz Čuvanje Proces Slika 5.2. Ručna obrada podataka/informacija • Logika rada računara

37. Logika rada računara – Džon Von Nojman Džon fon Nojman (mađ.Margittai Neumann Janos Lajos; Budimpešta, 28. decembar1903 — Vašington, 8. februar1957) je bio mađarsko-američki matematičar i naučnik koji je dao doprinos kvantnoj fizici, funkcionalnoj analizi, teoriji skupova, topologiji, informatici, ekonomiji, numeričkoj analizi, hidrodinamici, statici i mnogim drugim matematičkim poljima kao jedan od istorijski istaknutih matematičara

38. Ulazna jedinica MEMORIJA Izlazna jedinica čovek i/ili drugi uređaj čovek i/ili drugi ul. uređaj Procesor (CPU) Aritmetičkajedinica (ALU) Upravljačka jedinica (CU) tokovi upravljačkih signala; tokovi instrukcija i podataka. • Logika rada računara