Konstrukce trojúhelníků

1. Konstrukce trojúhelníků Základní vlastnosti trojúhelníku Trojúhelník je rovinný geometrický útvar, který má tři strany, tři vrcholy a tři vnitřní úhly. Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy ve směru proti pohybu hodinových ručiček. C γ b a α A β c B Součet úhlů v trojúhelníku je 180°. α + β + γ = 180° Pozor při značení stran trojúhelníku. Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C.

2. Konstrukční úloha je příklad, jehož řešením je geometrický útvar se zadanými vlastnostmi sestrojený pomocí pravítka, kružítka a případně i úhloměru. Řešení konstrukční úlohy má tyto části: Rozbor – obsahuje náčrtek – nakreslíme si od ruky trojúhelník a vyznačíme na něm barevně, co je zadáno. Náčrtek nám pomůže vymyslet, jak postupovat při konstrukci. Druhá část, kterou bude rozbor vždy obsahovat je určení podmínek řešitelnosti úlohy. V této části ověříme, jestli trojúhelník lze podle daných parametrů sestrojit. Popis konstrukce – konstrukci zapisujeme postupně, jak ji budeme provádět pomocí matematických značek a symbolů. Jednotlivé body konstrukce píšeme na zvláštní řádky a označujeme čísly. Některé kroky při řešení konstrukčních úloh považujeme za základní a není nutné je tedy rozepisovat, např. vztyčení kolmice, sestrojení rovnoběžky nebo osy úhlu. Konstrukce – přesně podle pravítka, kružítka, úhloměru a dalších rýsovacích pomůcek sestrojíme zadaný trojúhelník. Diskuze (závěr, zkouška) – ověří správnost konstrukce v závislosti na zadání, prověří počet řešení.

3. Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 7 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Pro jednoznačné zadání trojúhelníka je třeba tří hodnot nebo údajů. Tyto tři zadané údaje se pak zpravidla využívají při prvních třech krocích postupu konstrukce. V tomto případě známe tři strany trojúhelníku. Rozbor – úlohu nakreslíme od ruky jako vyřešenou, barevně označíme zadané prvky a z nákresu se odvodíme postup konstrukce. C a a = 7 cm b = 4 cm b B A c c = 6 cm

4. Rozbor Popis konstrukce 1. AB; |AB| = c = 6 cm 2. k; k(B; a = 7 cm) 3. l; l(A; b = 4 cm) – pomocí zkratek a symbolů zapíšeme postup konstrukce. Postup můžeme doplnit postupným náčrtem. 5. ∆ ABC Začneme jednou stranou ∆. a = 7 cm, bod C je tedy od bodu A ve vzdálenosti 7 cm. Body, které splňují tuto podmínku leží na kružnici k se středem v bodě B. b= 4 cm, bod C je tedy od bodu B ve vzdálenosti 4 cm. Body, které splňují tuto podmínku leží na kružnici l se středem v bodě A. Bod C leží na průsečíku kružnic k a l. A B Dokončíme ∆ ABC.

5. Popis konstrukce Rozbor 1. AB; |AB| = c = 6 cm 2. k; k(B; a = 7 cm) 3. l; l(A; b = 4 cm) 5. ∆ ABC Konstrukce – přesně podle pravítka, úhloměru, kružítkem a dalších rýsovacích pomůcek sestrojíme podle postupu zadaný trojúhelník. k C l A B

6. Narýsuj ∆ ABC, je-li a = 2 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Rozbor Popis konstrukce C 1. AB; |AB| = c = 6 cm a a = 2 cm 2. k; k(B; a = 2 cm) b = 4 cm b 3. l; l(A; b = 4 cm) 5. ∆ ABC B A c c = 6 cm Konstrukce Kružnice k a l se dotýkají v bodě C, který leží na úsečce AB. Trojúhelník v tomto případě nelze sestrojit, součet délek stran aab je roven délce stranyc. l k Trojúhelník nelze sestrojit i tehdy, pokud je součet délek stran aab menší než délka stranyc. A C B

7. Aby bylo možné trojúhelník sestrojit, musí pro délky jeho stran ∆ ABC platit tzv. trojúhelníkové nerovnosti: C V každém trojúhelníku je součet délek libovolných dvou stran větší než délka třetí strany. Platí: b a A c B Podmínku řešitelnosti úlohy pomocí trojúhelníkové nerovnosti vždy ověříme v rámci rozboru úlohy před její konstrukcí. Ověř, zda lze sestrojit ∆ ABC, je-li a = 7 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. Daný ∆ ABC lze sestrojit. Pro ověření možnosti konstrukce trojúhelníku nemusíme ověřovat všechny trojúhelníkové nerovnosti, ale stačí porovnat součet kratších stran s nejdelší stranou trojúhelníku.

8. Sestroj ∆ ABC, je-li a = 45 mm, b = 5 cm, c = 25 mm. Náčrt Rozbor C Z trojúhelníkové nerovnosti: a a = 45 mm b = 5 cm b b= 5 cm = 50 mm A c c = 25 mm B Trojúhelník lze sestrojit. l C Konstrukce Popis konstrukce 1. AB; |AB| = c = 25 mm k 2. k; k(B; a = 45 mm) 3. l; l(A; b = 5 cm) 5. ∆ ABC A B

9. Sestroj ∆ ABC, je-li a = 45 mm, b = 7 cm, c = 25 mm. Sestroj ∆ KLM, je-li k= 35 mm, l = 7 cm, m = 25 mm. Rozbor Rozbor Z trojúhelníkové nerovnosti: Z trojúhelníkové nerovnosti: b= 7 cm = 70 mm l= 7 cm = 70 mm Trojúhelník nelze sestrojit, musí platit všechny nerovnosti. Trojúhelník nelze sestrojit. Pokud neplatí trojúhelníkové nerovnosti, dál v konstrukci nepokračujeme. Procvičení: učebnice strana 39, cvičení 1, 2, 3, pracovní sešit strana 144 – 145, cvičení 1 – 5.

10. Sestroj ∆ ABC, je-li a = 4 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Pro ∆ ABC platí: a = b = 4 cm, c = 6 cm. Trojúhelník, jehož dvě strany (ramena) mají stejnou délku a třetí strana (základna) má jinou délku, nazýváme rovnoramenný trojúhelník. Rovnoramenný trojúhelník |AC| = |BC| C V trojúhelníku proti stejně stranám stejné délky leží úhly stejné velikosti γ rameno rameno b a β α= β α A c B o Z trojúhelníkové nerovnosti: základna Rovnoramenný trojúhelník lze sestrojit, pokud součet délek ramen je větší než délka základny. Rovnoramenný trojúhelník ABC je osově souměrný podle přímky o, která je osou jeho základny AB. 2 · r > z

11. Sestroj rovnoramenný ∆ ABC, je-li a = b = 4 cm, c = 6 cm. Náčrt Rozbor C Z trojúhelníkové nerovnosti: a = 4 cm a b = 4 cm b Trojúhelník lze sestrojit. A c c = 6 cm B Popis konstrukce Konstrukce l 1. AB; |AB| = c = 6 cm k 2. k; k(B; a = 4 cm) C 3. l; l(A; b = 4 cm) 5. ∆ ABC A B

12. Sestroj ∆ ABC, je-li a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm. Pro ∆ ABC platí: a = b = c = 5 cm. Trojúhelník, jehož všechny tři strany mají stejnou délku, nazýváme rovnostranný trojúhelník. Rovnostranný trojúhelník |AB| = |BC| = |AC| V trojúhelníku proti stejně stranám stejné délky leží úhly stejné velikosti C γ α= β = γ o2 o3 Z trojúhelníkové nerovnosti: b a Rovnostranný trojúhelník lze vždy sestrojit, protože součet délek dvou stran je větší než délka jedné strany. β α A c B o1 2 ·a > a Rovnostranný trojúhelník ABC je osově souměrný podle tří os. Jsou to osy strany AB, AC a BC.

13. Sestroj rovnoramenný ∆ ABC, je-li a = b = c = 5 cm. Náčrt Rozbor C Z trojúhelníkové nerovnosti: Rovnostranný trojúhelník lze vždy sestrojit. a = 5 cm a b = 5 cm b B A c c = 5 cm Konstrukce k Popis konstrukce l C 1. AB; |AB| = 5 cm 2. k; k(A; 5 cm) 3. l; l(B; 5 cm) 5. ∆ ABC B A Procvičení: učebnice strana 40 – 41, cvičení 4 – 8, pracovní sešit strana 145 – 146, cvičení 6 – 15.