เรื่อง เซต

1. เรื่อง เซต จัดทำโดย น.ส. ชัญญานุช ชูตลาด ม.5/1 เขที่ 36

2. ความหมายของเซต เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต" การเขียนเซต การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ 1.แบบแจกแจงสมาชิกของเซต ตัวอย่างเช่นA = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2.แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต ตัวอย่างเช่น A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

3. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆมีดังนี้ I-แทนเซตของจำนวนเต็มลบ Q-แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ I+แทนเซตของจำนวนเต็มบวก Q+แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก I แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ N แทนเซตของจำนวนนับ R แทนเซตของจำนวนจริง เซตจำกัด บทนิยาม เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่นA = {1, 2, 3, 4, 5}มีสมาชิก 5 สมาชิก B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก เซตที่เท่ากัน เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B ตัวอย่างเช่น A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5} ∴ A = B

4. เซตว่าง เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø ตัวอย่างเช่นA = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}∴ A = Ø B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ B = Ø เอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u ตัวอย่างเช่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม U = {...,-2,-1,0,1,2,...} หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

5. สับเซต บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B ตัวอย่างที่ 1A = {1, 2, 3} B = { 1, 2, 3, 4, 5} ∴ A ⊂ B ตัวอย่างที่ 2C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...} D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...} ∴C D ตัวอย่างที่ 3E = { 0,1,2 } F = { 2,1,0 } ∴E ⊂ F และ F ⊂ E สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2nเซต และในจำนวน นี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

6. เพาเวอร์เซต บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A) ตัวอย่างที่ 1A = Ø สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø ∴P(A) = {Ø } ตัวอย่างที่ 2 B = {1} สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1} ∴P(B) = {Ø, {1} } ตัวอย่างที่ 3 C = {1,2} สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2} ∴P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

7. การเขียนแผนภาพแทนเซต ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้ เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram) ยูเนียน (Union) บทนิยามเซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B ตัวอย่างเช่นA ={1,2,3} B= {3,4,5} ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

8. อินเตอร์เซกชัน (Intersection) บทนิยาม เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B ตัวอย่างเช่นA ={1,2,3} B= {3,4,5} ∴ A ∩ B = {3} คอมพลีเมนต์ (Complements) บทนิยามถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A‘ ตัวอย่างเช่นU = {1,2,3,4,5} A ={1,2,3} ∴ A' = {4,5}

9. ผลต่าง (Difference) บทนิยามถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A – B ตัวอย่างเช่นA ={1,2,3} B= {3,4,5} ∴A - B = {1,2} จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A) ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B)

10. ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)

11. เรื่อง ระบบจำนวนจริง

12. ระบบจำนวนจริง จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย 1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265... 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น เขียนแทนด้วย 0.5000... เขียนแทนด้วย 0.2000... ระบบจำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ 1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม 2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

13. ระบบจำนวนเต็ม จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I -โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I -เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ 2. จำนวนเต็มศูนย์ (0) 3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...}เมื่อ I+เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

14. ระบบจำนวนเชิงซ้อน นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ x2 = -1 ∴ x = √-1 = i x2 = -2 ∴ x = √-2 = √2 i x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก iว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

15. สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริงสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติการสะท้อน a = a   2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a    3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c    4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c    5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง   2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

16. สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริงสมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติปิดการคูณ abเป็นจำนวนจริง 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 6. สมบัติการแจกแจง a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้

17. ทฤษฎีบทที่ 1กฎการตัดออกสำหรับการบวก เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ac = bcและ c ≠ 0 แล้ว a = b ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a · 0 = 0 0 · a = 0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

18. ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณในระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น การลบจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ a- b = a + (-b) นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b การหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 = a(b-1) นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

19. การแก้สมการตัวแปรเดียวการแก้สมการตัวแปรเดียว บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0เป็นจำนวนจริง ที่เป็น สัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n" ตัวอย่างเช่น x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 4x2 + 4x +1 = 0 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 การแก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ ทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) นั่นคือ เศษของ คือ f(c)

20. ทฤษฎีบทตัวประกอบ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0 แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ kเป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0

21. ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้  1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ 2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x)ผลหาร จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1 3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0 วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2 ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴ = x2 - x – 2  x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2) = (x-1)(x-2)(x+1) x3 - 2x2 - x + 2 = 0 (x-1)(x-2)(x+1) = 0  x = 1, 2, -1 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}

22. ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 วิธีทำ ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18 ∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18) = (x-1)(x-3)(x-6) x3 - 10x2 + 27x -18 = 0 (x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0 x = 1, 3, 6 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}

23. ตัวอย่างที่ 3จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0 วิธีทำให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3 ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0 = 27 - 9 - 15 - 3 = 0 ∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1) = (x-3)(x+1)(x+1) x3 - x2 - 5x - 3 = 0 (x-3)(x+1)(x+1) = 0 x = 3, -1 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}

24. ตัวอย่างที่ 4จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0 วิธีทำให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30 ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0 = 16 - 12 - 34 +30 = 0 ∴ x - 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15) = (x-2)(2x - 5)(x+3) 2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0 (x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0 x =2, , -3 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }

25. ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0 วิธีทำให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x – 4 ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0 = -48 + 44 + 8 - 4 = 0 ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2) = (x+2)(3x-2)(2x+1) 6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0 (x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0 x = -2, , ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, , }

26. สมบัติของการไม่เท่ากันสมบัติของการไม่เท่ากัน บทนิยามa < b หมายถึง  a น้อยกว่า b a > b หมายถึง  a มากกว่า b สมบัติของการไม่เท่ากัน กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 1.สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c 2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ ถ้า ac > bcและ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bcและ c < 0 แล้ว a < b

27. บทนิยามa ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c ช่วงของจำนวนจริง กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b 1.ช่วงเปิด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b } 2. ช่วงปิด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } 3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b } 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b }

28. 5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a} 6. ช่วง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a} 7. ช่วง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a} 8. ช่วง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a} การแก้อสมการ อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

29. หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น 1.สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 วิธีทำ x + 3 > 12 ∴x + 3 + (-3) > 12 + (-3) x > 9 ∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 วิธีทำ   2x + 1 < 9 ∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1) 2x < 8 (2x) < (8) x < 4 ∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

30. ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5 วิธีทำ 4x - 5 ≤ 2x + 5 4x - 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5 4x ≤ 2x + 10 4x - 2x ≤ 2x + 10 - 2x 2x ≤ 10 (2x) ≤ (10) x ≤ 5 ∴ เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5] หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ 1.ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0 3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0

31. 6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0 7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้ > 0 หรือ = 0 10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้ < 0 หรือ = 0 ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 วิธีทำ ถ้า (x - 3)(x - 4) > 0 แล้วจะได้ x - 3 > 0 และ x - 4 > 0 x > 3 และ x > 4 ∴ เมื่อ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4 หรือ x - 3 < 0 และ x - 4 < 0 x < 3 และ x < 4 ∴ x - 3 < 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )

32. ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 วิธีทำ ถ้า (x - 3)(x - 4) < 0 แล้วจะได้ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 x > 3 และ x < 4 ∴ เมื่อ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4 หรือ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0 x < 3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ∴ ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0 นั่นคือ เซตคำตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ { x | 3 < x < 4 } = (3, 4)

33. จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมการได้ดังนี้ กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว 1.ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b 2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b 3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b 4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b 5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรือ x > b 6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b 7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b 8. ถ้า ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

34. ค่าสมบูรณ์ บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ สมบัติของค่าสัมบูรณ์ 1.|x| = |-x| 2. |xy| = |x||y| 3. = 4. | x - y | = | y - x | 5. |x|2 = x2 6. | x + y | ≤ |x| +|y| 7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |x| < a หมายถึง -a < x < a |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก  |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

35. เรื่อง การให้เหตุผล

36. ความหมายของการให้เหตุผลความหมายของการให้เหตุผล การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (หรือการอ้างเหตุผล) คือ กระบวนการคิดของมนุษย์ และสื่อความหมายกับผู้อื่นด้วยภาษา ซึ่งประกอบด้วยข้อความ หรือประโยคกลุ่มหนึ่งที่ยกขึ้นมาเพื่อสนับสนุนให้ได้ข้อความ หรือประโยคตามมา มักจะแสดงในส่วนของ เหตุ เราเรียกข้อความกลุ่มแรกนี้ว่า ข้ออ้าง (Premisses) และข้อความอีกชุดหนึ่งที่แสดงในส่วนของ ผล จะถูกเรียกว่า ข้อสรุป (Conclusion) เช่นเหตุ    ช้างเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม                      สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมต้องกินอาหาร      (เรียกว่า ข้ออ้าง) ผล      ช้างต้องกินอาหาร                            (เรียกว่า ข้อสรุป) ข้อความแต่ละข้อความของการให้เหตุผล จะอยู่ในรุปข้อความที่แสดงความคิดเห็น เพื่อเป็นการยืนยัน หรือปฎิเสธ ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็น จริง หรือ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง

37. การให้เหตุผลแบ่งออกเป็น 2 แบบคือ 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) นิยาม:   การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปในการค้นคว้าความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณี ย่อยๆแล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป เป็นการให้เหตุผลโดยใช้ข้อสังเกตุ ผลการทดลองย่อย หรือความจริงส่วนย่อยที่พบเห็น มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป รวมไปถึงคำพยากรณ์ด้วย การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยวิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นจะต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากข้อเท็จจริงที่มีอยู่ โดยข้อสรุปที่ได้จะมีความถูกต้องมากเท่าใดนั้นก็จะขึ้นอยู่กับสามอย่างต่อไปนี้ จำนวนข้อมูล ที่มากเพียงพอต่อการสรุปความ ข้อมูลหลักฐาน ที่ได้นำมาให้เหตุผลนั้น เป็นตัวแทนที่ดีหรือไม่ ความซับซ้อนของข้อสรุปที่ต้องการ

38. 2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) เป็นการนำความรู้พื้นฐานที่อาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรือบทนิยาม  ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป การให้เหตุผลแบบอุปนัย ต่างจาก การให้เหตุผลแบบนิรนัย อย่างไร การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง  นั่นคือ  จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้  แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย  จะให้ความน่าจะเป็น