NF04 Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur

1. NF04Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur • Intervenants : • E. Lefrançois (4988) : resp. UV • M. Rachik • A. Rassineux NF04 - Automne - UTC

2. En quelques mots … Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques Structure Thermique Fluide Source : ONERA Source : technoscience Modèle numérique Modèle réel NF04 - Automne - UTC

3. Pourquoi NF04 ? • Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel • Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … • 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique • 99 % de la physique sous la forme d’E.D.P. • « Outils » mathématiques actuels valables pour moins de 1 % des cas !! NF04 - Automne - UTC

4. Présentation générale • Déroulement sur 15 semaines: • Cours • TD/TP sur machines (Windows et Unix) • Moyens à disposition: • Ensemble de scripts de calculs sous Matlab • Ideas • Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 • Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora • Évaluation: • Devoirs (10%), médian (30%), final (40%) • Mini projet (20%) (20-30 h) • Acoustique automobile, musicale • Transport-diffusion d’un polluant • Portance profil porteur • … Acoustique automobile Pollution d’un lac Portance aile d’avion NF04 - Automne - UTC

5. Bagages nécessaires … • Mathématique : • Équations différentielles ordinaires • Techniques d’intégration standard • Opérations matricielles de base • Notion d’interpolation • Physique : ? • Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique • Informatique : apprentissage de l’outil Matlab NF04 - Automne - UTC

6. Accès au cours Site web Mecagora : portail UTC « ouvert » NF04 - Automne - UTC

7. Site web Mecagora : page d’accueil NF04 - Automne - UTC

8. Site web Mecagora : accès aux exemples NF04 - Automne - UTC

9. Boucle de modélisation Site web Mecagora : lecture d’un exemple NF04 - Automne - UTC

10. Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours NF04 - Automne - UTC

11. Plan du cours • Introduction générale • Différences finies 1D, 2D • Éléments finis 1D, 2D Médian • Problèmes temporels du 1er ordre • Problèmes temporels du 2nd ordre • Analyse de stabilité • Analyse modale Final NF04 - Automne - UTC

12. Cours 1Introduction générale • Généralités • Concept de la boucle de modélisation • Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D NF04 - Automne - UTC

13. Principe des méthodes numériques • Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique. • On parle ainsi de « modèles numériques » • La physique possède un caractère: • Tridimensionnel • Temporel • Non linéaire (HPP, matériaux …) Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié Donc : Approchée = simplifiée Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques ! NF04 - Automne - UTC

14. Généralités Équilibre Stationnaire Valeurs propres Discret Instationnaire • Système physique • Linéaire • Non linéaire Différences finies Éléments finis Équilibre Stationnaire Valeurs propres Continu Instationnaire NF04 - Automne - UTC

15. Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3) • Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions • Existence ou non de dimensions négligeables devant les autres ? • Comportements linéaires ou non : • HPP vérifiée ? • Caractéristiques matériaux bien identifiées ? Hauban : 1D Tablier : 2D Pile de pont : 3D ou 1D ? NF04 - Automne - UTC

16. Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire ensoleillement Sol (peu affecté) : analyse quasi-statique Source : ldeo.columbia Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3) • Problème temporel ou non : • Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques : • … des sollicitations externes • … du fluide, du matériaux … • Solution recherchée sur une courte ou longue période ? NF04 - Automne - UTC

17. Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3) • Présence ou non de couplages multi physiques ? • Échelle des temps caractéristiques : • fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ... • Réponse en fonction du rapport des temps : Réservoir en ballottement Acoustique musicale (fluide ~ immobile % solide) Ouvrages génie civil (pont …) (fluide et solide se « voient ») Aéroélasticité supersonique (solide ~ immobile % fluide) NF04 - Automne - UTC

18. Complexité : multi compétences • Fluide: • Aérodynamique • Traînée • Acoustique • … • Intérieur: • Capacité transport • Confort passagers • … • Structure: • Tenue • Fatigue • Aéroélasticité • Fréquences • Commandes • … • Moteurs: • Combustion • Poussée • Acoustique environmentale • … Source : futura-sciences NF04 - Automne - UTC

19. Chaîne de conception « industrielle » Aérodynamique Aéroélasticité Tenue mécanique Conception Simulation Expérimental Production Sources : engineering.swan ONERA NF04 - Automne - UTC

20. « Boucle de modélisation » Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes : NF04 Modèle physique Modèle mathématique (continu) Modèle numérique (algébrique) Modèle informatique Écart entre solution réelle et solution exacte du problème mathématique Écart entre solution exacte du problème mathématique et solution du système discret Écart entre solution exacte du système discret et solution informatique Sources d’erreurs = + + NF04 - Automne - UTC

21. « Boucle de modélisation » NF04 • L’idéal est d’avoir une approche indépendante : • de la physique étudiée ; • de la dimension géométrique du problème ; • du régime (stationnaire ou non) ; • de la méthode de discrétisation et des schémas employés. • Observation du • phénomène • Définition des • objectifs Modèle physique Modèle mathématique Modèle discret Modèle informatique NF04 - Automne - UTC

22. Analyse des sources d’erreurs • Mathématique : • 3D 1D, 2D? • temporel ? • grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? • loi de comportement du matériaux • absence de couplage ? • Algébrique : • choix du découpage, de l’élément • choix de l’algorithme de résolution … • Informatique : • précision machine • programmation … estime et contrôle il annule les erreurs Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ? NF04 - Automne - UTC

23. Apprentissage par l’exemple …« Isolation thermique d’un mur » • Objectif : • Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux. • Méthode : • Différences finies • Simplifications du modèle : • Stationnaire : à justifier ! • Un seul isolant • Rayonnement négligeable : à justifier ! • Monodimensionnel : à justifier ! Source : www.isover.be - Saint Gobain NF04 - Automne - UTC

24. Modèle physique • Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2) • Fonction des matériaux employés • Conductivité thermique : k (W/°C-m) • Fonction du champ de température : T(x) (°C) • Loi de comportement entre flux et température (Fourier) • Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text • Objectifs : • Calculer la température en tout point • En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes NF04 - Automne - UTC

25. L Modèle mathématique • Définition du domaine d’étude : • Équilibre thermique régi par : • Loi de comportement : • Conditions aux limites (CL) : • Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : • Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) : NF04 - Automne - UTC

26. Modèle numérique (1/4) • Discrétisation du domaine d’étude : • Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul • Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L • On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues • Objectif suivant : trouver 6 équations ! 6 1 2 3 4 5 T1 T2 T3 T4 T5 T6 NF04 - Automne - UTC

27. Modèle numérique (2/4) • Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochain cours) : Précision du schéma Termes tronqués Type NF04 - Automne - UTC

28. Modèle numérique (3/4) • L’équation d’équilibre devient : • Les conditions aux limites deviennent : 4 eq. 6 inconnues 2 eq. Au total : 6 équations pour 6 inconnues NF04 - Automne - UTC

29. Modèle numérique (4/4) • Réorganisation matricielle • Plus qu’à résoudre ce système …. Astuce : on a éliminé T6 NF04 - Automne - UTC

30. Modèle informatique (langage Matlab) • clear allclose%----- Paramètres géométriques et physiquesL = 1; % longueur mk=2; % coeff. de conductivité W/°C-mh=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2 • f0=10; % production W/m3T0=30; Text=10; % conditions aux limites %----- Paramètres numériquesnnt=input('entrer le nombre de points: ');dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisationvkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matricevfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membrec=k/dx^2;% Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2for i=2:nnt-1 • vfg(i) = -f0; vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c];end%---- Condition de Dirichletvkg(1,1)=1; vfg(1)=T0; • %---- Condition de Cauchyvkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx;%----- Résolutionvsol = vkg\vfg %---- Affichage vcorg = 0:dx:L; % Coordonnées des noeudsplot(vcorg,vsol,'b -o') % trace solution calculée … Post-traitement des résultats Puis analyse … NF04 - Automne - UTC