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Álgebra

Presentaciu00f3n con los principales temas de u00e1lgebra.

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  1. Álgebra Alejandra Calvete Londoño

  2. Expresiones algebraicas ▪ Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término o en que los términos que la forman están relacionados por la operación producto. 5??2?3 ▪ Binomio: Dos monomios separados por el sino más o menos. ???3+ 8? ▪ Trinomio: Tres monomios separados por el signo más o menos. 12?2+ 6? + 3 ▪ Polinomio: Dos o más monomios separados por el signo más o menos. 4?3+ 12?2+ 3? + 6

  3. Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios Suma y resta de monomios y polinomios: Se suman las expresiones que contengan las mismas variables y con el mismo grado, dejando la variable tal y como esta y operando solo los números, si tienen variables con grados diferentes no se pueden operar y quedan igual, si hay constantes estas tampoco se operan. Ejemplos: 8?2+ 12?2− 3 + ?4+ 7?2?4− 6?2− 3?2= 11?2− 3 + ?4+ 7?2?4 ?3− 9?3+ 8?3− 7?3= ?3− 19?3+ 8?3− 7?3= −17?3

  4. Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios Multiplicación de monomios y polinomios: En monomios se multiplican los números y se suman los exponentes de las mismas variables, si son polinomios se realizan las multiplicaciones termino a termino y luego se agrupan los términos semejantes para realizar las respectivas operaciones de suma y resta. Ejemplo: 5??4 8?4= 40??8 7?2?3+ 6??2 5??3− ?2= 7?2?3 5??3− 7?2?3 ?2+ 6??2 5??3− 6??2 ?2= 35?3?6− 7?4?3+ 30?2?5− 6?3?2

  5. Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios División de monomios y polinomios: Se realizan las respectivas operaciones de suma, resta o multiplicación que se encuentren en el numerador o denominador, luego cuando se obtiene una sola expresión en cada parte se procede a realizar las operaciones de división, primero se simplifican los números o se dividen si es posible, luego al exponente de la variable del numerador se le resta el exponente de la variable del denominador de variables iguales, si quedan en el denominador variables solas, se ponen negativo su exponente y se sube al numerador. Ejemplo: 13? + 5? 2? + 4?=18? 6?= 3??−1

  6. Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios División sintética: En álgebra, la división sintética es un método para realizar manualmente la división euclidiana de polinomios, con menos escritura y menos cálculos que la división larga. Se enseña principalmente para la división por polinomios mónicos lineales (conocida como la regla de Ruffini), pero el método se puede generalizar a la división por cualquier polinomio. Las ventajas de la división sintética son que permite calcular sin escribir variables, utiliza pocos cálculos y ocupa mucho menos espacio en el papel que la división larga. Además, las restas en la división larga se convierten en sumas cambiando los signos al principio, evitando errores de signo.

  7. Suma, resta, multiplicación y división de monomios y polinomios ?3−12?2−42 ?−3 Ejemplo de división sintética: Se ordena el polinomio con los exponentes de mayor a menor ?3− 12?2+ 0? − 42 y se toman los coeficiente 1, -12, 0 y -42, y se siguen los siguientes pasos de la siguiente forma:

  8. Productos y cocientes notables Se llana productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación . • Cuadrado de la suma de dos cantidades: (? + ?)2= ? + ? ? + ? = ?2+ ?? + ?? + ?2= ?2+ 2?? + ?2 • Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (? − ?)2= ? − ? ? − ? = ?2− ?? − ?? + ?2= ?2− 2?? + ?2 • Producto de la suma de la diferencia de dos cantidades: ? − ? ? + ? = ?2+ ?? − ?? − ?2= ?2−?2

  9. Productos y cocientes notables • Cubo de un binomio: (? + ?)3= ? + ? ? + ? ? + ? = ? + ?2? + ? = (?2+ 2?? + ?2)(? + ?) = ?3+ 2?2? + ??2+ ?2? + 2??2+ ?3= ?3+ 3?2? + 3??2+ ?3 • Productos de dos binomios de la forma: ? + ? ? + ? = ?2+ ?? + ?? + ?? = ?2+ ? + ? ? + ??

  10. Productos y cocientes notables Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección . • Cociente de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades ?2− ?2 ? + ? ? + ? ? − ? ? + ? = = ? − ? ?2− ?2 ? − ? ? + ? ? − ? ? − ? = = ? + ?

  11. Productos y cocientes notables • Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. ?3+?3 ? + ? = ?2− ?? + ?2 ?3−?3 ? − ? = ?2+ ?? + ?2

  12. Productos y cocientes notables • Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. ?4− ?4 ? − ? = ?3+?2? + ??2+ ?3 ?4− ?4 ? − ? = ?4+ ?3? + ?2?2+ ??3+ ?4 ?4− ?4 ? + ? = ?3+?2? + ??2− ?3

  13. Descomposición factorial FACTORES: Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. FACTORAR UN MONOMIO: Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección . Así, los factores de 15ab son 3, 5, a y o . Por tanto : 15?? = 3 ∙ 5 ∙ ? ∙ ?

  14. Descomposición factorial FACTORAR UN POLINOMIO No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas . Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divlisible por a + b y por 1 .

  15. Descomposición factorial • CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN: Factor común monomio: ?2+ 2? = ?(? + 2) Factor común polinomio: ? ? + 2 − 3 ? + 2 = (? + 2)(? − 3) Factor común por agrupación de términos: ?? + ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? + ?? = ? ? + ? + ?(? + ?)

  16. Descomposición factorial • TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales . ?2+ 2?? + ?2 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto: Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos . v el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas . Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto: Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces lxor el signo del segundo término . El binomio así fon piado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se, eleva al cuadrado .

  17. Descomposición factorial Trinomio cuadrado perfecto: Ejemplos: ?2+ 2? + 1 = ? + 1 ? + 1 = (? + 1)2 4?2+ 25?2− 20?? = 4?2− 20?? + 25?2= 2? − 5? 2? − 5? = (2? − 5?)2 1 − 16??2+ 64?2?4= 1 − 8??2 1 − 8??2= (1 − 8??2)2

  18. Descomposición factorial • DIFERENCIA DE CUADRADOS: En los productos notables vimos que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea: ?2− ?2= (? + ?)(? − ?) Regla para factorar una diferencia de cuadrados: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

  19. Descomposición factorial Diferencia de cuadrados Ejemplos: 1 − ?2= (1 − ?)(? + 1) 16?2− 25?4= (4? − 5?2)(4? + 5?2) 49?2?6?10− ?12= (7??3?5− ?6)(7??3?5+ ?6) ?2?− 9?4?= (??− 9?2?)(??+ 9?2?)

  20. Descomposición factorial • TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: ?4+ ?2?2+ ?4− ?2?2= ?4+ ?2?2+?4− ?2?2= ?2+ ?2 2− ?2?2 ?2+ ?2− ?? ?2+ ?2+ ?? = (?2− ?? + ?2)(?2+ ?? + ?2)

  21. Descomposición factorial • FACTURAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS: En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descomponerse. Ejemplo: ?4+ 4?4= ?4+ 4?2?2+ 4?4− 4?2?2= ?2+2?2 2− 4?2?2 = ( ?2+2?2− 2??)( ?2+2?2+ 2??)

  22. Descomposición factorial • TRINOMIO DE LA FORMA ?2+ ?? + ? 1 . El coeficiente del primer término es 1 . 2 . El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado . 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa . 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

  23. Descomposición factorial Trinomio de la forma ?2+ ?? + ? Ejemplos: ?2+ 5? + 6 = (? + 2)(? + 3) ?2− 7? + 12 = (? − 3)(? − 4) ?2+ 2? − 15 = (? − 3)(? + 5) ?2− 5? − 14 = (? + 2)(? − 7)

  24. Descomposición factorial • Casos especiales: 25?2− 45? + 8 = 5?2− 9 5? + 8 = (5? − 1)(5? − 8) (? + ?)2−12 ? + ? + 20 = ( ? + ? − 2)( ? + ? − 10) ?2− 66? + 1080 1080/2=540, 540/2=270, 270/2=135, 135/5=27, 27/3=9, 9/3=3, 3/3=1 2x2x2=8, 3x3x3x5=105, 8+105=113 2x2x2x3=24, 3x3x5=45, 24+45=69 (? − 30)(? − 36) 2x3x5=30, 2x2x3x3=36, 30+36=66

  25. Descomposición factorial • TRINOMIO DE LA FORMA ??2+ ?? + ?: Ejemplos: 6?2− 7? − 3 = 6 6?2− 7? − 3 = 6?2− 7 6? − 18 = (6? − 2)(6? + 9) 20?2+ 7? − 6 = 20 20?2+ 7? − 6 = 20?2+ 7 20? − 120 = (20? − 8)(20? + 15)

  26. Descomposición factorial Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones : 1 . Tener cuatro términos. 2. Que el primero y el último términos sean cubos perfectos. 3. Que el 29 término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4. Que el 3cr . término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión alada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.

  27. Descomposición factorial Ejemplo: 1 + 12? + 48?2+ 64?3= (1 + 4?)3 ?9− 18?6?5+ 108?3?10− 216?15= (?3−16?5)3 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS ?3+ ?3= (? + ?)(?2− ?? + ?2) ?3−?3= (? − ?)(?2+?? + ?2)

  28. Descomposición factorial REGLA 1 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores : 1° La suma de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. REGLA 2 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores : 1° La diferencia de sus raíces cúbicas . 2° El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz .

  29. Descomposición factorial Ejemplos: 1 + ?3= (1 + ?)(1 − ? + ?2) 27?3+?6= (3? + ?2)(9?2− 3??2+ ?4) 8?6+ 64?9= (2?2+4?3)(4?4− 8?2?3+16?6) (? + 1)3+(2 + ?)3= ( ? + 1 + (2 + ?))( ? + 12− ? + 1 2 + ? + (2 + ?)2) ? + ? + 3 ?2+ 2? + 1 − 2? − ?? + 2 + ? + 4 + 4? + ?2 ? + ? + 3 ?2+ 2? + 1 − 2? − ?? + 2 + ? + 4 + 4? + ?2 (? + ? + 3)(?2− ?? + 5? + 7 + ?2)

  30. Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones. • FRACCIÓN ALGEBRAICA es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. • REDUCIR UNA FRACCION ALGEBRAICA es cambiar su forma sin cambiar su valor. • SIMPLIFICAR UNA FRACCION ALGEBRAICA es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión. Simplificación de fracciones cuyos términos sean monomios: 9?3?3 36?5?6=1 6?3−5?3−6=1 1 6?−2?−3= 6?2?3 Simplificación de fracciones cuyos termino sean polinomios: 2?2 2?2 ? 4?2− 4??= 4?(? − ?)= 2(? − ?)

  31. Fracciones algebraicas. Reducción de fracciones. • Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades. ?3+?2−5? + 3 ?4+ ?3−2?2+9? − 9= (? − 1)(? − 1)(? + 3) (? − 1)(? + 3)(?2− ? + 3)= ? − 1 ?2− ? + 3 ?2− ? + 3 1 − ?3 (2? − 3)(? − 1) (1 − ?)(1 + ? + ?2)= 2? − 3 1 + ? + ?2 =

  32. Ejemplos en páginas de internet Ejemplos factorización: https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9- 14_RESOURCE/U12_L2_T1_text_final_es.html Simplificación de expresiones algebraicas: https://yosoytuprofe.20minutos.es/2016/07/19/practica-8-simplificacion-de-expresiones- algebraicas/ Descomposición factorial: https://yosoytuprofe.20minutos.es/2016/07/19/practica-8-simplificacion-de-expresiones- algebraicas/

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