Probabilita
E N D
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EVENTI CASUALI Molti fenomeni naturali a causa di una elevata COMPLESSITÀ quali - difficoltà intrinseca - numero spropositato di fattori/elementi in gioco ERRORI inevitabiliconnessi con l’operazione di misura presentano ASPETTI ALEATORI o CASUALI NON PREVEDIBILI CON CERTEZZA: SE OSSERVATI RIPETUTAMENTE SI POSSONO REALIZZARE IN MODI DIVERSI • L’esperienza insegna che in un ELEVATO NUMERO DI RIPETIZIONI le frequenze dei modi di realizzazione diventano PREVEDIBILI/PLAUSIBILI • MODELLIZZABILI MATEMATICAMENTE
EVENTI ALEATORI approccio DETERMINISTICO approccio PROBABILISTICO mediante una procedura tipica del metodo scientifico fornisce una MISURA della MINORE o MAGGIORE PLAUSIBILITÀ di certi risultati/eventi rispetto ad altri
EVENTO ALEATORIO O CASUALE • DEFINIZIONE • Un EVENTO ALEATORIO o CASUALE è un fenomeno • governato da molte cause sconosciute • che non si possonocontrollareoggettivamente • può verificarsi o non (l’evento è VERO ol’evento è FALSO) • quando si verifica assume un aspetto casuale nel senso che • ogni volta che viene osservato a causa degli aspetti che lo governano si realizza con modalità diverse • EVENTO OSSERVABILE ma NON PREVEDIBILE in modo esatto • conoscendo i dati iniziali e le leggi • non si può prevederne il risultato • mentre si può conoscere l'insieme di tutti i possibili risultati e • calcolare la corrispondente possibilità di realizzazione PROBABILITÀ
EVENTO ALEATORIO O CASUALE • per determinare la probabilità di realizzazione dell’evento • occorre: • spaziocampionarioΩdi tutti i possibilieventi • i possibili risultati di un esperimento • insieme delle possibili modalità realizzazioni di un evento e • Ω = e1 e2… en • variabilealeatoriao casualeX • una variabile quantitativa i cui valori variano seguendo le regole • della probabilità • distribuzionedi probabilitàpX(x) • definita da tutti i possibili eventi e le corrispondenti probabilità di realizzazione • DEFINIZIONE • Preso un esperimento casuale o prova che , se ripetuto più volte, può dare risultati diversi • L’insieme di tutti i possibili esiti della prova è lo spazio campione Ω • Un esito possibile si dice punto campione della prova e Ω • Dato uno spazio campione Ω • un sottoinsieme A di Ω si dice evento A Ω • eseguendo una prova, l’evento A Ω si dice verificato se l’esito e della prova appartiene ad A • A= si evento certo • A= evento impossibile • l’insieme di tutti gli eventi A Ω si dice insieme delle parti di
EVENTO SEMPLICE O COMPOSTO • EVENTO SEMPLICE:ogni evento singolo o elementareei dello spazio • «lancio di un dado» = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = spazio degli eventi possibili • gli "eventi elementari" sono {1}, {2},... {6} • nell’ «esame universitario», un evento elementare è il ‘singolo voto’ • {18}, {19},{20}, {21}, ... , {30} mentre = {18;19;20;21;…;30} • EVENTO COMPOSTO: un qualsiasi sottoinsieme dello spazio degli eventi • (un evento che può essere scomposto in più eventi elementari) • nel «lancio di un dado» «esce un numero pari» • che si verifica ogni volta che esce uno qualsiasi degli eventi elementari • {2}; {4}; {6} • nell’ «esame universitario» ad esempio «un voto maggiore di 26» • l'evento è un sottoinsieme dello spazio Ω • cioè è un sottoinsieme di tutti i risultati possibili • un evento si dice: • elementare se è costituito da un solo elemento • certo se coincide con Ω • impossibile se è l’insieme vuoto Ø un evento si dice: certose coincide con Ω impossibilese è l’insieme vuoto Ø
SPAZIO CAMPIONARIO ESPERIMENTO: k lanci consecutivi di una moneta k=1 un solo lancio i possibili eventi sono 2: T , C Ω = {T, C} k=2 due lanci consecutivi i possibili eventi sono 4: TT, TC, CT, CC Ω = {TT, TC, CT, CC } k=3 tre lanci consecutivi i possibili eventi sono 8: TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC, CCC Ω = {TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC, CCC} Eventi composti relativi al lancio di 3 monete identiche: k=3 «almeno una volta testa»: A = {TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC} «due volte croce»: B = {TCC, CCT, CTC} «al massimo una volta testa»: C = {TCC, CCT, CTC, CCC} «tre volte croce, coincide con un evento elementare»: e = CCC
SPAZIO CAMPIONARIO ESPERIMENTO: k estrazioni da un'urna contenente palline bianche e nere k=1 una sola estrazione 2 combinazioni i possibili eventi sono : B , N Ω = {B, N} k=2 due estrazioni consecutive 4 combinazioni i possibili eventi sono: BB, BN, NB, NN Ω = {BB, BN, NB, NN} k=3 tre lanci consecutivi 8 combinazioni i possibili eventi sono: BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NNB, NBN, NNN Ω = {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NNB, NBN, NNN} k=4 quattro lanci consecutivi 16 combinazioni i possibili eventi sono: BBBB, BBBN, BBNB, BNBB, BBNN, BNBN, NBBN, BNBN, BNNB, NBNB… Ω = {BBBB, BBBN, BBNB, BNBB, … NNNN}
SPAZIO CAMPIONARIO Lancio di un dado: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Lancio di due dadi Ω = {(1;1); (1;2); (2;1); (1;3); (3,1); (2;2); ......................} (36 combinazioni) • Ω = {(p;q) : p=1,2,…6 q=1, 2,…6} • Sia A l’evento «somma dei due dadi uguale a nove», allora: • A={(p;q) : p+q=9} = {(3,6); (6,3); (5,4); (4,5)}
OPERAZIONE FRA EVENTI SIMBOLOGIA INSIEMISTICA UNIONE di eventi A e B: si verifica l’evento o A o B o entrambi E = A ∪ B A B si verifica ALMENO un evento INTERSEZIONE di eventi A e B: si verificano sia l’evento A sia l’evento B E = A ∩ B A B si verifica PER OGNI evento OPPOSTO o COMPLEMENTARE dell’evento A in Ω : insieme di eventi che non sono in A ossia gli venti che si verificano solo se non si verifica A E = Ω \ A = A
OPERAZIONE FRA INSIEMI DI EVENTI ESEMPIO Insieme dei possibili lanci di un dado : Ω = {1, 2,3, 4, 5, 6} 1. E= “esce un numeroparioppuremaggiore o uguale di 4” A= {2, 4, 6}∪ B = {4, 5, 6} {2, 4, 5, 6} 2. E= “esce un numeropariemaggioreo uguale di 4” A= {2, 4, 6}∩B = {4, 5, 6} {4, 6} 3. A = “esce un numeropari” A = {2, 4, 6} = “esce un numerodispari” E = Ω \ A = {1, 3, 5} L’evento equivale a: L’evento equivale a: L’evento è ilcomplementaredell’evento A
OPERAZIONI FRA INSIEMI DI EVENTI • Dato Ω lo spazio di tutti gli eventi e A, B ⊆ Ω, con A, B • A ∪ B non è mai un insieme vuoto ∅ • se A ∩ B = A e B sono due eventi incompatibili o mutuamente esclusivi: • non si possono verificare contemporaneamente o l’uno o l’altro • es: l'apparizione simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta • NB: due eventi elementari sono sempre incompatibili ! • dati k eventi H1... Hk fra loro incompatibili: Hi ∩ Hj = ∅, i, j = 1… k • sono anche esaustivi se H1∪ H2 ∪ … ∪ Hk= Ω • es: nel lancio di un dato P=«n°pari» D=«n°dispari» sono esaustivi: P U D = • = ∅ se e solo se A Ω • A è un evento impossibile se non può mai verificarsi A Ω • A è un evento certo se si verifica sempre: A ≡ Ω • dato A, l’eventocomplementare è l’eventonegato = Ω \ A • Dato Ω lo spazio di tutti gli eventi e A, B ⊆ Ω, con A, B • A ∪ B ∅ sempre • se A ∩ B = A e B incompatibili o mutuamente esclusivi • non si possono verificare contemporaneamente o l’uno o l’altro • es: l'apparizione simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta • NB: due eventi elementari sono sempre incompatibili ! • dati k eventi H1... Hk fra loro incompatibili: Hi ∩ Hj = ∅, i, j = 1… k • sono anche esaustivi se H1∪ H2 ∪ … ∪ Hk= Ω • es: nel lancio di un dado P=«n°pari» D=«n°dispari» sono esaustivi: P U D = • = ∅ se e solo se A Ω • A impossibile se non può mai verificarsi A = ∅ • A certo se si verifica sempre: A ≡ Ω • dato A, il complementare è l’evento negato = Ω \ A Eventi mutuamente esclusivi. Due eventi X ed Y sono mutuamente esclusivi se l’occorrenza dell’unoesclude l’occorrenza dell’altro
EVENTI CONDIZIONATI ESEMPIO Ω = {TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC, CCC} A = {TTT, TTC, TCT, CTT }: «almeno due volte testa» C = {TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC, CCC}: «almeno 1 volta croce» D = {CCT, CCC}: «i primi due lanci croce» Supponiamo di conoscere l’esito del primo lancio che è T : B = «testa al primo lancio» Lo spazio degli eventi possibili diventa Ω’ = Ω | B = {TTT, TTC, TCT, TCC} da cui gli eventi condizionatisono relativi non a Ω, ma ad Ω | B A | B = {TTT, TTC, TCT } C | B = {TTC, TCT, TCC} D | B = ∅ è un evento impossibile perché D e B sono incompatibili evento certo B = «testa al primo lancio» evento impossibile = «non testa al primo lancio»
PROBABILITÀ • In un dato esperimento, l'evento A si verifica con la probabilità P(A) • evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi • Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità. • Esempio: estrarre una pallina rossa da un'urna che contiene esclusivamente palline rosse. • L'evento contrario all'evento certo è detto evento impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. L'evento impossibile si annota con il simbolo Ø. • All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero. • Ad esempio l'apparizione del numero 7 al lancio di un dado. • Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto in cui viene considerato. • Esempio: L’evento « Stefano vince alla lotteria », • è certo se Stefano compra tutti i biglietti della lotteria, • è impossibile se non ne compra nemmeno uno, • è casuale (aleatorio) se ne compra uno o più di uno, ma non tutti. • la PROBABILITÀ è un numero che • quantifica la possibilità/plausibilità di realizzare • un singolo evento elementare in rapporto agli altri eventi • consente di confrontare in modo oggettivo gli eventi tra di • loro secondo la possibilità di realizzazione • approcci al concetto di probabilità: • probabilità classica o a priori o matematica o di Laplace • probabilità a posteriori o statistica o empirica • probabilitàassiomatica
PROBABILITÀ CLASSICA DI LAPLACE • per un sistema di Ncasi possibili ed equiprobabili se dall’analisi a priori si può stabilire che un evento E presenta n casi favorevoli per il suo verificarsi, • si definisce probabilità dell’evento ei il rapporto • ESEMPI DI ESPERIMENTI CASUALI CON RISULTATI EQUIPROBABILI • Lancio di un dado non truccato • eventi: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 eventi possibili N= 6 equiprobabili • E1= «uscita del 3» 1 caso favorevole P(3)=1/6 • E2= «n° dispari» 3 casi favorevoli P(1)+P(3)+P(5) P(E2)= 3/6=1/2 • E3= «n° pari minore di 6» 2 casi favorevoli P(2)+P(4) P(E3)= 2/6=1/3 • E4= «n° dispari maggiore di 6» 0 casi favorevoli P(E4)=0 (IMPOSSIBILE) • E5= «n° compreso tra 1 e 6» 6 casi favorevoli P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6) • P(E5) = 6/6=1 (CERTO) • LIMITI DELLA TEORIA • è richiesta la conoscenza a priori del sistema mentre non è sempre possibile: potrebbero esservi imperfezioni… • nella definizione si parla di eventi equamente probabili usando il concetto di probabilità che si vuole definire Esempi di esperimenti casuali con risultati equiprobabili: lanciodi un dado P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6 lanciodi una moneta non truccata P (T ) = P (C) = 1/2 estrazionedi un numero da 1 a 90 P (1) = P (2) = · · · = P (90) = 1/90 costituito da n eventi equiprobabili e1, … en la probabilità di ogni evento e numero dei casi favorevoli all’evento numerodi tutti i casi possibili = P(e1)= P(e2)= … =P(en) P (ei) =
PROBABILITÀ EMPIRICA LEGGE EMPIRICA DEL CASO o LEGGE DEI GRANDI NUMERI Empiricamente si osserva che quando è possibile stabilire la probabilità di un evento a priori al crescere del numero N delleprove (N ) eseguite nelle stesse condizioni, seppure con fluttuazioni, la frequenza relativa tende a stabilizzarsi intorno ad un valore definito che è la probabilità a priori P(e) probabilità stabilita prima di guardare i dati Legge dei grandi numeri. Se un esperimento è ripetuto molte volte la probabilità calcolata come frequenza relativa approssima il valore teorico della probabilità Frequenza relativa dell'evento ``Testa'' in funzione del numero di eventi in un esperimento simulato del lancio di una moneta. Sono riportate quattro sequenze indipendenti.
PROBABILITÀ EMPIRICA Dalla legge empirica segue che: per determinare la probabilità di un evento P(e) si può osservare la frequenza relativa per un numero elevato di prove P(e) = n/N con N ossia si calcola la probabilità direttamente conoscendo il numero dei casi favorevoli dalla totalità dei casi possibili Essa, dato che viene determinata solo dopo l’esecuzione delle prove sul sistema, è una PROBABILITÀ A POSTERIORI la probabilità ricavata dall’esame dei dati
PROBABILITÀ EMPIRICA Quanto detto è spiegato nella teoria della probabilità dalla LEGGE DEI GRANDI NUMERI o TEOREMA DI BERNOULLI: scelto un numero 0 comunque piccolo, la probabilità, P*, che la differenza tra la probabilità associata all’evento e la sua frequenza sia tende ad 1 (alla certezza) all’aumentare del numero N delle prove LIMITI DELLA TEORIA la probabilità empirica implica l’osservazione sperimentale del sistema lasciando indefinito quanto grande debba essere il numero delle provenecessario per valutare la probabilità di un evento le prove che originano gli eventi devono essere illimitatamente ripetibili e le prove successive devono svolgersi sempre nelle medesime condizioni: il funzionamento di ogni sistema fisico implica fenomeni di degrado ed usura che ne modificano le caratteristiche
PROBABILITÀ ASSIOMATICA • In un dato esperimento, l'evento A si verifica con la probabilità P(A) • evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi • Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità. • Esempio: estrarre una pallina rossa da un'urna che contiene esclusivamente palline rosse. • L'evento contrario all'evento certo è detto evento impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. L'evento impossibile si annota con il simbolo Ø. • All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero. • Ad esempio l'apparizione del numero 7 al lancio di un dado. • Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto in cui viene considerato. • Esempio: L’evento « Stefano vince alla lotteria », • è certo se Stefano compra tutti i biglietti della lotteria, • è impossibile se non ne compra nemmeno uno, • è casuale (aleatorio) se ne compra uno o più di uno, ma non tutti. IL CONCETTO DI PROBABILITÀ È UN CONCETTO PRIMITIVO NON DEFINITO SE NON IN MODO IMPLICITO MEDIANTE UN INSIEME DI ASSIOMI Dato lo spazio campionario si definisce «probabilità di un evento e di un numero reale P(e) tale che soddisfi ai seguenti assiomi: 1. P(e) 0 2. P() = 1 3. dati E1 e E2 : E1 E2 = (eventi incompatibili) P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) NB La probabilità assiomatica non dà indicazioni su come ottenere o valutare la probabilità di un evento, questa indicazione deve essere ottenuta da altri ambiti, ad esempio tramite la frequenza relativa 1. P(e) 0 la P di un evento è un numero unico maggiore o uguale di 0 2. P() = 1 la P dell’evento certo e quindi di Ω è sempre 1 3. quando due eventi E1 e E2 sono incompatibili, cioè E1 E2 = la probabilità che avvenga uno dei due eventi (unione) è la somma delle loro probabilità P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)
PROBABILITÀ ASSIOMATICA: descrizione • In un dato esperimento, l'evento A si verifica con la probabilità P(A) • Un evento è CERTO se in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi • Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità. • Esempio: estrarre una pallina rossa da un'urna che contiene esclusivamente palline rosse. • L'evento contrario all'evento certo è detto evento IMPOSSIBILE, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. L'evento impossibile si annota con il simbolo Ø. • All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero. • Ad esempio l'apparizione del numero 7 al lancio di un dado. • Si noti che uno stesso evento può essere certo, impossibile o aleatorio a seconda del contesto in cui viene considerato. • Esempio: L’evento « Stefano vince alla lotteria » è • CERTO se Stefano compra tutti i biglietti della lotteria P = 1 • IMPOSSIBILE se non ne compra nemmeno uno P = 0 • CASUALE (aleatorio) se compra uno o più biglietti, ma non tutti 0 P 1
TEOREMI La probabilità è una funzione definita sullo spazio degli eventi Ω che associa ad ogni evento A ⊆ Ω un numero reale P (A) 0 ≤ P (A) ≤ 1 la probabilità di un evento certo è 1: P (Ω) = 1 la probabilità di un evento impossibile è 0: P()=0 TEOREMA DELLA SOMMA: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) se A ∩ B = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P() = 1 − P (A) infatti A + = e quindi P(A)+P() =1 P (A ∩ B) = P (A|B)P(B) = P(B|A)P(A) da cui P (A | B) = P (A ∩ B)/P (B) P (A ∩ B) = P (A)P (B) se e solo se A e B sono indipendenti da cui P (A|B) = P(A) e P (B|A) = P (B) (se A e B sono indipendenti )
TEOREMA DELLA SOMMA: esempio In una classe di 24 alunni 10 hanno superato l’esame di Matematica 14 quello di Fisica 6 quello di Matematica e Fisica Preso un alunno a caso qual è la probabilità che abbia superato almeno uno dei due esami? Dal Teorema della somma: P(M U F) = P(M) + P(F) – P(M F) = M(10) F(14) 4 6 8 (24)
PROBABILITÀ CONDIZIONATA: esempio La probabilità di ottenere 1 nel lancio di un dado a sei facce: P(1) = 1/6 Se lanciamo il dado senza guardare ma una persona dice che è dispari la probabilità associata all’uscita del numero 1 è cambiata: la probabilità per EFFETTO DELL’INFORMAZIONE AGGIUNTA vale P (1|D) = 1/3
PROBABILITÀ CONDIZIONATA: esempio Da un mazzo di carte italiane sono estratte 2 carte senza che la prima venga reinserita evento A : «estrazione di un re con la 1^ carta» evento B : «estrazione di un re con la 2^ carta» - P(A) = 4/40 = 1/10 - probabilità dell’evento B se nella prima estrazione si è verificato l’evento A: P(B|A) = 3 / 39 = 1/13 [ osserva che P(B|A) P(A) ] - probabilità dell’evento B se nella prima estrazione non si è verificato l’evento P(B|)= 4 / 39
PROBABILITÀ CONDIZIONATA: esempio 3 lanci consecutivi di una moneta non truccata Ω = {TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CCT, CTC, CCC} Supponiamodi conoscere l’esito del primo lancio che è T Lo spazio degli eventi possibilidiventa Ω‘ = Ω | B = {TTT, TTC, TCT, TCC} A | B = {TTT, TTC, TCT } (A: due volte testa) P (A | B) = 3/4 = 0.75 C | B = {TTC, TCT, TCC} (C: almeno 1 volta croce) P (C | B) = 3/4 = 0.75 D | B = ∅ (D: i primi due lanci croce) P (D | B) = 0
PROBABILITÀ CONDIZIONATA FORMULA DI BAYES In generale se Ω è lo spazio campionario e A e B sono due eventi la «probabilità dell’evento A CONDIZIONATO dall’evento B», P(A|B), (la probabilità di A valutata nello spazio degli eventi di B oppure la probabilità che si verifichi A dato che già si è verificato B) è data da: P(A|B) = lega la probabilità a priori P(A) alla probabilità a posteriori P(A|B) la formula consente di correggere una probabilità alla luce di nuove informazioni: se vi è una stima preliminare di probabilità del verificarsi di un evento se si hanno nuove informazioni (supplementari) si può ottenere una stima accurata della probabilità a posteriori del verificarsi dell'evento la formula può essere applicata ripetutamente ogni volta che si hanno nuove informazioni si possono correggere le probabilità meno affidabili si arriva alla probabilità molto affidabile
PROBABILITÀ CONDIZIONATA A B A B • il condizionamento degli eventi comporta la ridefinizione dello spazio campionario: • si assume che B si è verificato • ne consegue che: • 1. perdono di rilevanza tutti i punti campionari che non appartengono a B, cosicché B diviene “una specie” di nuovo evento certo • 2. perdono di rilevanza tutti i punti campionari di B che non appartengono a A, cosicché l’unica parte di B che ancora può verificarsi è soltanto A ∩ B • P(A | B) è P (A ∩ B) riproporzionato sulla base di P(B), la P dell’evento condizionante P(A|B) =
PROBABILITÀ CONDIZIONATA DI EVENTI INDIPENDENTI Due eventi A e B sonoindipendentise P (A ∩ B) = P (A)P (B) Questo vuol dire che il verificarsi di B non influisce sulla probabilità di A e viceversa P (A ∩ B) P (B) P (A)P (B) P (B) P (A | B) = = = P (A) P (A ∩ B) P (A) P (A)P (B) P (A) P (B | A) = = = P (B) N.B. Se due eventi A e B con probabilità positive sono INCOMPATIBILI, sicuramenteNON SONO INDIPENDENTI, infatti se A e B sono incompatibili, A | B = ∅, quindi P (A | B) = 0 P (A) due eventi incompatibili sono dipendenti indipendentisononecessariamentecompatibili Analogamente, se due eventi sono indipendenti sononecessariamentecompatibili
PROBABILITÀ COMPOSTA • Siano A e B eventi dello spazio campionario • La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi simultaneamente, ossia la probabilità dell’evento intersezione è • P(A B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B) • la probabilità del verificarsi di entrambi gli eventi A e B è pari alla probabilità di A • per la probabilità che si verifichi B, quando si suppone dato A • o viceversa • Se i due eventi sono indipendenti (STOCASTICAMENTE INDIPENDENTI) • P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) • P(AB) = P(A) P(B) • Se A B ossia A IMPLICA B, • P(A B) = P(A) A B A B A B
PROBABILITÀ COMPOSTA: esempi ESEMPIO 1 Estrazione del 2 di picche da un mazzo di 52 carte A = «estrazione di un 2 dal mazzo di carte» 4 su 52 B = « estrazione di una carta di picche» 13 su 52 P(A) = 4/52 P(B|A) = 1/4 P(B) = 13/52 P(A|B) = 1/13 P(AB) = P(A)P(B|A) = = 1/52 = P(B) P(A|B)= = 1/52 probabilità di estrarre il 2 di picche
PROBABILITÀ COMPOSTA: esempi ESEMPIO 2 Un’urna contiene 2 palline bianche e 3 rosse Estraendo 2 palline qual è la probabilità che siano entrambe bianche? B = «estrazione di 2 palline bianche» B1 = «estrazione di una pallina bianca alla prima uscita» B2= «estrazione di una pallina bianca alla seconda uscita» P(B) = P(BB2) = P(B2 |B1) P(B1) =1/4*2/5=1/10 Se si rimette la 1° pallina estratta nell’urna, i due eventi sono indipendenti P(B) = P(B)P(B2) = 2/5*2/5=4/25
PROBABILITÀ DI EVENTI… Proprietà Moltiplicativa. Se X ed Y sono eventi legati, la probabilità che accadano entrambi gli eventi è data da P(X e Y) = P(X) x P(Y|X) • CONDIZIONATI (dipendenti) P(A ∩ B) = P (A|B)P(B) • (il verificarsi dell’uno dipende dal verificarsi dell’altro) • INDIPENDENTI P(A ∩ B) = P (A)P(B) • MUTUAMENTE ESCLUSIVI P(A U B) = P(A) + P(B) • (disgiunti) • (l’occorrenza dell’uno esclude l’occorrenza dell’altro) • NON MUTUAMENTE ESCLUSIVI P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) • = P(A) + P(B) - P (A|B)P(B) • NON MUTUAMENTE ESCLUSIVI • MA INDIPENDENTI P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) • se gli eventi sono mutuamente esclusivi non sono indipendenti • A e B disgiunti A ∩ B = • se A e B fossero indipendenti P(A ∩ B) = P(A)P(B) = P() = 0 • uno dei due eventi dovrebbe avere P pari a 0 cioè essere impossibile Se X ed Y sono eventi mutuamente esclusivi, cioè disgiunti, la probabilità che accada X o Y è la somma della probabilità P(X) più la probabilità P(Y) P(X o Y) = P(X) + P(Y) due eventi incompatibili sono dipendenti indipendentisononecessariamentecompatibili
TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI • Dato lo spazio campionario , sia B1, B2 una partizione dello spazio: • B1 B2 = e B1 U B2 = • Sia A tale che AB1 e A B2 sono mutuamente esclusivi • [(A B1) (A B2 ) = ] • P(A) = P(A B1 ) P(A B2 ) • applicando la formula di Bayes: • P(A) = P(A | B1) P(B1 ) P(A |B2 ) P(B2 ) B1 B2 A A B1 A B2 PARTIZIONE CON 2 SOLI EVENTI
TEOREMA DELLE PROBABILITÀ TOTALI ESEMPIO ci sono 2 zaini, uno rosso e uno nero essi contengono rispettivamente: zaino rosso : 5 libri Fantasy + 2 libri Gialli zaino nero: 7 libri Fantasy + 3 libri Gialli preso a caso uno zaino e pescato a caso un libro, quale è la probabilità di estrarre un libro Fantasy? F = «è estratto un libro Fantasy» R = «è scelto lo zaino rosso» N = «è scelto lo zaino nero» R N= e R U N= Per il Teorema delle probabilità totali: G G G G G F F F F F F F F F F F F
2^ parte DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
VARIABILE ALEATORIA X • Invece di trattare direttamente gli eventi • si associano agli eventi delle quantità numeriche • Si definisce una VARIABILE ALEATORIA o CASUALE • è una funzione definita sullo spazio X : R cioè X(e) : e x • associa a ogni elemento elementare, e • un numero reale, X(e) = x • descrive il comportamento di un fenomeno a prescindere della realizzazione del singolo esperimento casuale • dopo la realizzazione dell'esperimento casuale, la variabile aleatoria assume un valore certo X = x
VARIABILE ALEATORIA X • DISCRETA • X assume un numero NATURALE o un’INFINITÀ NEMERABILE di valori • numero di volte testa in 3 lanci di una moneta • numero di volte in cui si ha un n° superiore a 4 in 5 lanci di un dado • numero di palline bianche estratte da un'urna • numero di prodotti difettosi al giorno in una produzione industriale • numero di auto al casello ogni giorno etc... • CONTINUA • X assume un’INFINITÀ di valori che variano con CONTINUITÀ in R: • può assumere qualsiasi valore nell’ambito di uno specifico intervallo • tutte quelle generate dalla misura di grandezze fisiche • altezza degli studenti del corso di matematica • confezione di caramelle di una certa marca • esempi • CONTINUA • il conteggio dei guariti con un farmaco • in n di gg in cui l’inquinamento supera i limiti di legge • DISCRETA • - la concentrazione di un principio attivo • - la quantità di un inquinante • Una variabile aleatoria è completamente specificata attraverso • la sua distribuzione di probabilità
VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
FUNZIONE DI PROBABILITÀ considerato la variabile aleatoria X = xi indicato conAx= ei: X = xi l’insieme di tutti gli eventi elementari eidi per i quali X = xi la probabilità dell’evento X = xi è data da P(X = xi) = P(Ax) ossia la probabilità dell’evento X = xi è pari alla probabilità complessiva (unione) degli eventi elementari di ai quali è associato il valore xi p(xi)=P(X=xi) Probabilità che la variabile aleatoria X assuma il valore xi 1. p(xi) 0 2. = 1 PROPRIETÀ
DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ La distribuzione di probabilità f(x) di una variabile aleatoria X indica la probabilità della variabile aleatoria per ciascuno dei suoi valori possibili p(xi)=P(X=xi) f (x)=P(X=x) • una distribuzione di probabilità è un MODELLO MATEMATICO • che collega i valori di una variabile alle probabilità che tali valori possano essere osservati: • formalmente tale distribuz di prob è espressa da una legge matematica detta: • f.ne di prob p(x) per distribuz discrete • - f.ne densità di prob f(x) se la distribuz è continua • SOLIANI Statistica di base funzione di densità di probabilità (caso continuo) funzione di probabilità (caso discreto) - sono calcolate per un numero finito di casi - servono per quantificare la probabilità di eventi con un numero discreto di ricorrenze - si stima la probabilità di misure comprese entro un dato intervallo Formalmente le distribuzioni di probabilità vengono espresse da una legge matematica detta: - funzione di probabilità p(x) quando la distribuzione è discreta - funzione densità di probabilità f(x) quando la distribuzione è continua
VARIABILE ALEATORIA DISCRETA X • Lancio di 2 dadi a quattro facce • = (1,2,3,4) (1,2,3,4) • X : somma dei due numeri usciti • 11 12 13 14 • 21 22 23 24 • 31 32 33 34 • 41 42 43 44 • numero eventi possibili: 16 • X può assumere 7 valori discreti compresi tra 2 e 8 • X=2 associato ad 1 evento: (1,1) P(X=2) = 1/16 • X=3 a 2 eventi: (2,1) (1,2) P(X=3) = 2/16 = 1/8 • X=4 a 3 eventi: (3,1) (2,2) (1,3) P(X=4) = 3/16 • X=5 a 4 eventi: (4,1) (3,2) (2,3) (1,4) P(X=5) = 4/16 = 1/4 • X=6 a 3 eventi: (4,2) (3,3) (2,4) P(X=6) = 3/16 • X=7 a 2 eventi: (4,3) (3,4) P(X=7) = 2/16 = 1/8 • X=8 associato ad 1 evento: (4,4) P(X=8) = 1/16 p(X) 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 X 2 3 4 5 6 7 8
VALORE ATTESO o MEDIA Il VALORE ATTESO o MEDIA di una variabile casuale X discreta, cha ha distribuzione di probabilità P(X=xi), è la somma dei prodotti tra i valori della variabile aleatoria X e i rispettivi livelli di probabilità: = Un indice di posizioneè un valore della variabile tipico per l’insieme di dati osservato: quello più comunemente usato per variabili quantitative è la MEDIA, ossia un singolo valore che si può ritenere ’centrale’ rispetto alla distribuzione di frequenza La media è una misura lineare
VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD • La VARIANZA di una variabile casuale X discreta è • la sommatoria è estesa a tutti i valori della X • è la media del quadrato degli scarti su di un numero elevato di prove; • è una misura quadratica • è un INDICE DI DISPERSIONE: descrive la dispersione della variabile aleatoria X attorno alla media • è nulla se X assume un valore unico con probabilità paria 1 • è tanto più grande quanto maggiore è la dispersione di X attorno alla media • è una misura della deviazione nella stessa unità di misura della X • =
VALORE ATTESO E VARIANZA TRIPLICE LANCIO DI UNA MONETA X = «occorrenza dell’evento Testa» X e0 0 e1 T 1 e2 T 1 e3 T 1 e4 TT 2 e5 TT 2 e6 TT 2 e7 TTT 3 VALORE ATTESO 0 + 1 + 2 + 3 = = 1,5 VARIANZA =(0-1,5)2 + (1-1,5)2 + (2-1,5)2+ (3-1,5)2 = 0,75 DEVIAZIONE STANDARD = = X assume i valori 0, 1, 2, 3 è formato da 8 punti equiprobabili ogni singolo evento ei ha probabilità pari a 1/8 P(X=0) = P(e0) = 1/8 P(X=1) = P(e1U e2 U e3) = 3/8 (U: unione) P(X=2) = P(e4U e5 U e6) = 3/8 P(X=3) = P(e7) = 1/8
VALORE ATTESO E VARIANZA LANCIO DI DUE DADI X= «somma dei punti dei due dadi lanciati» X assume 11 valori 2, 3, 4 ,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 è formato da 36 punti equiprobabili ogni singolo evento ei ha probabilità pari a 1/36 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
VALORE ATTESO E VARIANZA LANCIO DI DUE DADI X= «somma dei punti dei due dadi lanciati» verificare l’assioma per cui = 1 1/36(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)=1 2. calcolare il valore atteso 1/36*(21+32+43+54+65+76+85+94+103+112+121)=252/36=7 3. determinare la varianza =(2-7)2*(1/36)+(3-7)2*(2/36)+… = 5,8333 4. deviazione standard = 2,41 Istogramma ad aste della distribuzione di probabilità nel gioco del lancio di due dadi P(xi)*36 X
DISTRIBUZIONE BINOMIALE DI BERNOULLI - è una distribuzione teorica discreta e finita per eventi classificati con una variabile BINARIA sistema costituito da n elementi o prove reiterate e indipendenti per ciascuna prova possono verificarsi solo due situazioni incompatibili ed esaustive: SUCCESSO: l’evento accade probabilità p (costante per ogni prova) INSUCCESSO: l’evento non accade probabilità q = 1 – p variabile aleatoria bernoulliana: X = krappresenta il numero k di successi osservati eseguendo n prove indipendenti(il risultato di una osservazione, successo o insuccesso, è indipendente dal risultato di qualsiasi altra) X è discreta e assume solo valori interi tra 0 e n ESEMPI: lancio di una moneta E: «esce T» p = ½ q = ½ lancio di un dado E: «esce un dato numero» p = 1/6 q = 5/6 nascita E: «sesso del nascituro M» p = ½ q = ½
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI P n, p(X = k) • è la distribuzione binomiale o bernoulliana • consente di determinare la probabilità che su una ripetizione di n prove la variabile aleatoria assuma ogni valore compreso tra 0 e n • indica che • su n osservazioni si sono verificati ksuccessi ciascuno con probabilità p • n – k insuccessi (con prob. q=1-p) • poiché le prove sono indipendenti • la probabilità di successo è costante pari a p per ogni prova, • su ntentativi se ne osserveranno: • k con probabilità p • n – k con probabilità 1 – p = q • l’ordine in cui le prove sono osservate non ha alcuna incidenza • P n, p (X = k) è la distribuzione binomiale o bernoulliana e consente di determinare la probabilità che la variabile aleatoria assuma ogni valore compreso tra 0 e n • (è una funzione discreta della variabile k)
