1 / 25

Info

Info. WISKUNDE – LEERPLAN A DERDE GRAAD ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP – BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt D/1992/0279/022) ISBN-nummer: 90-6858-380-8 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs

Mia_John
Télécharger la présentation

Info

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. De Mets Armand

  2. Info WISKUNDE – LEERPLAN A DERDE GRAAD ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP – BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt D/1992/0279/022) ISBN-nummer: 90-6858-380-8 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel Voor studierichtingen met zes wekelijkse lestijden wiskunde. Economie-wiskunde Grieks-wiskunde Latijn-wiskunde Moderne talen-wiskunde Wetenschappen-wiskunde AN38: Het verband leggen tussen het begrip bepaalde integraal en de oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de horizontale as. De Mets Armand

  3. Inhoud van de les • Eenvoudige oppervlakten • Belang van oppervlakten • Eigenlijke vraagstelling (toegepast op y=x2 en [0,3]) • Een eerste benadering voor bepalen van oppervlakte • Principe berekenen van bovensom en ondersom • Een betere benadering voor bepalen van oppervlakte • De beste benadering, oneindig veel deelintervallen • Toegepast op y=x2 en [0,4] • Notie van bepaalde integraal • Oppervlakte voor y=x2 over willekeurig interval [a,b] • Veralgemening voor willekeurige continue functie • Berekeningen met willekeurig punt in een deelinterval (zonder boven en ondersom) • Georiënteerde oppervlakten De Mets Armand

  4. Eenvoudige oppervlakten z b l h b h b b1 h b2 d1 d2 r De Mets Armand

  5. Y 10 9 8 7 6 V 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 1 Gegeven: Wandelaar wandelt 5 uur aan wandelsnelheid 5 km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? Oplossing: S=v.t = 25 km De Mets Armand

  6. Y 10 9 8 7 v(t) 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 2 Gegeven: Wandelaar wandelt t uur aan wandelsnelheid v(t) km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd: Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? t is hier dus ook 5 uur. Opp = S Oplossing: S=????? De Mets Armand

  7. Y 10 9 x x x 8 7 6 5 4 3 2 1 X x1 x2 x3 x4 x5 Eigenlijke vraagstelling • Bepalen van oppervlakte onder de parabool y=x² • Geen formule • Benadering door som van oppervlakten Oi van rechthoeken • Oi=f(xi). x f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) De Mets Armand

  8. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Ondersom s3 • Bovensom S3 • 3 van 3 intervallen De Mets Armand

  9. Intermezzo oefening 2 De Mets Armand

  10. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Berekenen van de ondersom (s3) • x0 = 0 = 0. x  f(x0) = 0 • x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 • x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 • f(x0) x = 0  1 = 0 • f(x1) x = 1  1 = 1 • f(x2) x = 4  1 = 4 • s3 = 5 De Mets Armand

  11. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] • Berekenen van de bovensom S3 • x1 = 1 = 1. x  f(x1) = 1 • x2 = 2 = 2. x  f(x2) = 4 • x3 = 3 = 3. x  f(x3) = 9 • f(x1) x = 1  1 = 1 • f(x2) x = 4  1 = 4 • f(x3) x = 9  1 = 9 • S3 = 14 • s3 = 5 De Mets Armand

  12. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Betere benadering over [0,3] • Bovensom S6 • Ondersom s6 • Beperken momenteel tot bovensommen De Mets Armand

  13. Y Y 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 X X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Vergelijking van de benaderingen De Mets Armand

  14. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Berekenen van bovensom S6 [0,3] • De totale benaderde S6. is nu: • f(x1) x = 0,25 0,5 = 0,125 • f(x2) x = 1  0,5 = 0,5 • f(x3) x = 2,25 0,5 = 1,125 • f(x4) x = 4 0,5 = 2 • f(x5) x = 6,25 0,5 = 3,125 • f(x6) x = 9 0,5 = 4,5 S3=14 S6 = 11,375 S12 = 10,15625 De Mets Armand

  15. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Oneindig deelintervallen in [0,3] • Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert Sn tot de exacte oppervlakte S. • Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: De Mets Armand

  16. Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,3] De Mets Armand

  17. Oneindig deelintervallen in [0,4] Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 X De Mets Armand

  18. Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=b Notie bepaalde integraal • Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: • Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als: De Mets Armand

  19. Berekenen Sn en sn voor y=x2,[0,b] De Mets Armand

  20. Y 10 9 8 7 6 x=b 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=a Oppervlakte voor y=x2 over [a,b] • Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. • Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b: S= De Mets Armand

  21. Algemene uitdrukking • Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met • a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de y-as) of • a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de y -as). • Besluit: De Mets Armand

  22. y=f(x) y=f(x) Y Y a a x x b b X X Veralgemening voor continue f M1 m1 M2 m2 M3 m3 Mn mn Mn-1 Mn-2 mn-1 mn-2 De Mets Armand

  23. y=f(x) Y a x b X Algemene methode • Verdeel [a,b] in n gelijke •  interval min mi en max Mi •  integreerbare functies is • Via insluitstelling van de limieten: De Mets Armand

  24. Insluitstelling van limieten y=f(x)   Mi  f(xi) mi  Insluitstelling van limieten i-de interval De Mets Armand

  25. Georiënteerde oppervlakken y I III + + x a b c d IV e - II - De Mets Armand

More Related