Clase Conjuntos Numericos

1. CONJUNTOS NUMERICOS

2. introducción Positivos Cero Enteros Racionales Negativos Reales Fracciones Complejos Irracionales Imaginarios

3. Números reales • Números naturales: son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto determinado. El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra “N”. N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Ejemplos: 2, 6, 13, 17 5 6 4 1 2 3

4. Continua….. • Números enteros: se compone de los números naturales (positivos) y negativos incluido el cero este conjunto se simboliza con la letra “Z” Z=N u Ne Z={…-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Ejemplos: -2, +6, -13, +17 -4 +1 +2 +3 0 +4 -3 -2 -1

5. Continua….. • Números racionales: se compone de los números enteros incluyendo a todos los números de la forma donde b ≠ 0. se simboliza con la letra Q. incluye fracciones que al convertirlos en decimales son finitos y periódicos. Q=Z u Fr Ejemplos: -1 +1 -2 0.5 0

6. Continua….. • Números irracionales: son los que poseen infinitas cifras decimales no periódicas y no pueden se expresados como fracciones pero se pueden considerar como una aproximación de los números racionales. Se simbolizan con la letra “I” I={…..} Ejemplos: -1 -2 0 +1 +2

7. Continua….. • Números reales: es el conjunto que agrupa a todos los conjuntos anteriores (naturales, enteros, racionales, irracionales), puede considerarse como un conjunto universal. R=Q u I R={} Ejemplos: -1 +1 -2 0.5 0

8. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Propiedades de la Adición de números reales a) Propiedad de cerradura: la suma de números reales es cerrada porque siempre que se suman dos o mas números reales, el resultado es un numero real. b) Propiedad Conmutativa: la suma de números reales es conmutativa porque el orden de los sumandos no altera el resultado. 3 + 4 = 4 + 3 x, y Є R → (x+y) Є R x, y Є R → x + y = y + x

9. Continua….. c) Propiedad Asociativa: la suma de números reales es asociativa, porque la forma en que estén agrupados los sumando no altera el resultado. (0.5 + 0.4) + 0.8 = 0.4 + (0.8 + 0.5) 0.9 + 0.8 = 0.4 + 1.3 1.7 = 1.7 d) Propiedad modulativa: el elemento idéntico o neutro de la suma es el cero porque cualquier numero real sumado con cero es igual al mismo numero. e) Simétrico Aditivo: el inverso aditivo de un numero es el mismo numero con signo negativo. x, y, z Є R → (x + y) + z = (y + z) + x X Є R → x + 0 = 0 + x =x x Є R

10. Continua….. Propiedades de la Multiplicación de números reales a) Propiedad de cerradura: la multiplicación de números reales es cerrada porque siempre que se multiplican dos o mas números reales, el resultado es un numero real. b) Propiedad Conmutativa: la multiplicación de números reales es conmutativa porque el orden de los factores no altera el resultado. (─ 6)• 7 = 7 • (─ 6) x, y Є R → (x•y) Є R x, y Є R → x * y = y * x

11. Continua….. c) Propiedad Asociativa: la multiplicación de números reales es asociativa, porque la forma en que estén agrupados los factores no altera el resultado. (5 • 4) • 8 = 4 • (8 • 5) 20 • 8 = 4 • 40 160 = 160 d) Propiedad Modulativa: el elemento idéntico o neutro de la multiplicación es el uno porque cualquier numero real multiplicado con uno es igual al mismo numero. 3 • 4 = 4 • 3 e) Simétrico Multiplicativo: Todo numero multiplicado por su inverso es igual a 1. 8 x, y, z Є R → (x • y) • z = (y • z) • x X Є R → x • 1 = 1 • x =x x Є R

12. Continua….. f) Propiedad Anulativa: el elemento anulativo de la multiplicación es el cero porque cualquier numero real multiplicado con cero es igual al mismo cero. d) Propiedad Distributiva: el producto de un factor por la suma o resta de dos o mas cantidades es igual al producto parcial por cada sumando y seguidamente la suma o resta de los productos parciales. x Є R → x • 0 = 0 • x =0 x, y, z Є R → x (y z) = xyxz

13. Continua….. Propiedades adicionales de los números reales a) Inverso de una fracción: es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la unidad. a) Cancelación: en una fracción de factores iguales en el dividendo y divisor se anulan. b) Fracciones con el mismo denominador: se copia el denominador (divisor) y se suman los numeradores (dividendos).

14. Continua….. c) Fracciones con diferente denominador: Se amplifican las fracciones para obtener fracciones equivalentes y se aplica la propiedad del inciso b. d) Producto de fracciones: se multiplican los numeradores (dividendos) y este producto se divide entre el producto de los denominadores (divisores). e) Cociente de fracciones: se multiplica el dividendo por el inverso del divisor.

15. Propiedades de los signos Multiplicación y división • Producto o cociente de cantidades con signos iguales es positivo. • Producto o cociente de cantidades con signos diferentes es negativo. Adición y Sustracción • Cantidades con signos iguales se suman. • Cantidades con signos diferentes se restan • Cantidad con signo negativo antepuesto

16. Potenciación y radicación exponente La potenciación es una operación que se integra dos elementos base y exponente. Consiste en calcular el producto de varios factores iguales. • Base: es cualquier numero natural. • Exponente: es un numero natural que indica cuantas veces se repite la base como factor. base potencia 5 veces Notación exponencial potencia

17. Continua…… • Producto de Potencias de Igual Base se copia la base y se suman los exponentes. • Potencia de un producto se multiplican las bases y se elevan al mismo exponente. • Cociente de Potencias de Igual Base se copia la base y se restan los exponentes.

18. Continua……. • Potencia de un cociente se dividen las bases y se elevan al mismo exponente. • Potencia de una potencia se copia la base y se multiplican los exponentes. • Potencia con exponente “1” todo numero (base) elevado al exponente “1” es igual a

19. Continua……. • Potencia con exponente negativo se multiplica la base por su inverso multiplicativo. • Potencia con exponente “0” se copia la base y se multiplican los exponentes. • Potencia de una fracción con exponente negativo se multiplica la base (racional) por su inverso multiplicativo.

20. Continua…… Radicación: Consiste en averiguar la base (factor) cuando son conocidos el exponente y la potencia. En forma simbólica esta operación se define así: En conclusión la radicación es la operación inversa de la potenciación. Cuando “n”=2 (raíz cuadrada) no se escribe el índice. Signo radical índice raíz Cantidad Sub radical

21. Continua…… • Raíz de un Producto la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores. • Raíz de un cociente la raíz de un cociente es igual a la raíz del dividendo (numerador) entre la raíz del divisor (denominador). • Raíz de una potencia la raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz.

22. Continua…… • Raíz de una Raíz la raíz de una raíz es igual a formar una nueva raíz con el producto de los índices de las raíces. • Potencia de una raíz Se copia la cantidad sub-radical y se divide el exponente entre el índice del radical.

23. Operaciones Combinadas con números reales Ejemplo 1 Ejemplo 2

24. CONTINUA……. Ejemplo 4 Ejemplo 3

25. Continua……. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

26. CONTINUA……. Ejemplo 4

27. NUMEROS COMPLEJOS • Números imaginarios: A raíz que no existen las raíces pares de cantidades negativas como etc. Surge un nuevo tipo de numero, este numero es considerado la unidad del conjunto de los números imaginarios. El cual se representa con la letra i. Se le llama numero imaginario puro al producto indicando de un numero real por la unidad imaginaria. Se representa con la letra “i” Ejemplo: Numero real Unidad imaginaria

28. CONTINUA……….. Potencias de la unidad imaginaria

29. Continua…… Simplificación de números imaginarios Toda raíz imaginaria puede reducirse a la forma de una cantidad real multiplicada por la unidad imaginaria . De tal manera que se expresa a la forma bi// Ejemplo 1 Ejemplo 3 Ejemplo 2

30. Operaciones con números imaginarios Ejemplo 1 Ejemplo 2 Suma y resta Ejemplo 3 Ejemplo 4

31. Continua……. Ejemplo 1 Ejemplo 2 multiplicación

32. Continua……. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 división

33. Continua…… • Números complejos: Es aquel que tiene una parte real y una parte imaginaria el cual se expresa en la forma: Donde a y b son números reales e i es la unidad de la parte imaginaria por tanto “a” es la parte real del complejo y “bi” la parte imaginaria del complejo. Que es un numero imaginario puro, un numero complejo se representa con la letra “z”. Parte real Parte imaginaria C=R u i C={}

34. Continua…… Modulo El modulo de un numero complejo se define como , el modulo de un numero complejo es un valor real, el cual se puede definir como la distancia del origen a un punto. Ejemplo: = = = 3 1 2

35. Continua…… Conjugado El conjugado de un numero complejo es , se representa como el conjugado de un numero complejo representa a un punto simétrico respecto al eje de las abscisas. Ejemplo:

36. Continua…… Opuesto El opuesto de un numero complejo es , este representa un punto simétrico respecto al origen. Ejemplo: