Baumschädlinge Insect Outbreak Model of Spruce Budworm

1. BaumschädlingeInsectOutbreak Model of SpruceBudworm Seminar für LAK (Angewandte Mathematik) Manuel Hofegger & Stefan Kratochwil

2. Arten Mathematischer Modelle • Statische Modelle • Dynamische Modelle (mathematische Modelle zeitabhängiger Prozesse) • Mathematik: Zahlentheorie, Stochastik • Physik: Pendelbewegung, Klimamodelle • Theoretischen Biologie: Räuber-Beute-Modelle • ....

3. Motivation für unseren Vortrag • Räuber-Beute Beziehung → angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer • Natur besteht aus einem Zusammenwirken so genannter Biotope (abgeschlossene Lebensräume), innerhalb derer ein Gewisses Gleichgewicht herrscht • In einem solchen System wirken viele Einflüsse bzw. Faktoren in koordinierte Weise mit- und gegeneinander • „Räuber-Beute- Situation“

4. Motivation für unseren Vortrag • Räuber-Beute Beziehung → angewendet auf den kanadischen Fichtenkäfer • Gewisse Anzahl von räuberischen Individuen (z. B.Vögel) stehen mit einer gewissen Anzahl Beute-Individuen im Gleichgewicht • Populationen sind gewissen Schwankungen unterworfen • Besteht somit im Allgemeinen ein „Kreislauf“, der sich – wenn nicht von außen eingegriffen wird- bei einem gewissen „Gleichgewicht“ einpendeln wird

5. Vorweg eine kurze Übersicht über Verbreitungsgebiet und Aussehen des behandelten Käfers (sprucebudworm)

6. Beispiel dafür, welch verheerendes Ausmaß eine Populationsexplosion des Käfers annehmen kann

7. Flussdiagramm • Beschreibung der quantitativen Zusammenhänge • Bestandsgrößen: haben einen vom Zeitpunkt abhängigen Wert • Flussgrößen: geben die Veränderung der Bestandsgrößen pro Zeiteinheit an → also die absoluten bzw. relativen Änderungsraten

8. Mathematische Beschreibungen unseres Modells • Die Dichten von Räuber und Beute schwanken regelmäßig, jedoch zeitlich verschoben • Trotz der Schwankungen bleibt die durchschnittliche Menge der beiden Populationen über die Jahre hinweg in etwa gleich → Schwankungen um einen Mittelwert • Werden jedoch die Räuber in einem Biotop stark dezimiert (z. B. durch Jagen), so erholt sich die Beutepopulation schneller als die der Räuber

9. Vereinfachte Populationsdynamik • Relevante Faktoren, welche einen Einfluss auf die Entwicklung der Populationen der Fichtenkäfer haben • rB.........lineare Geburtenrate • N......Anzahl der Lebewesen • KB......tragende Kapazität bzw. Aufnahmefähigkeit bezogen auf das vorhandene Laub auf dem Bäumen • p(N).....Störfunktion (Feinde wie z. B.: Vögel, etc.)

10. Vereinfachte Populationsdynamik • Einfluss auf die Entwicklung der Populationen • 1.Teil: unbegrenztes Wachstum

11. Vereinfachte Populationsdynamik • Einfluss auf die Entwicklung der Populationen • 2.Teil: • Partialbruchzerlegung

12. Vereinfachte Populationsdynamik • 2.Teil: „logistisches Wachstum“ einer Bevölkerung

13. Vereinfachte Populationsdynamik • Störfunktion, p(N)-Teil • 3.Teil: • Um spezifisch zu werden und mit dem p(N)-Term rechnen zu können, wird folgende Annahme getroffen: • Einführen von „nicht dimensionalen Termen“

14. Vereinfachte Populationsdynamik • Störfunktion, p(N)-Teil • 3.Teil: • . • .

15. Vereinfachte Populationsdynamik • Störfunktion, p(N)-Teil d. h aus folgt durch nicht-dimensionalisieren: !!! Gleichgewichtszustand:

16. Vereinfachte Populationsdynamik • Gleichgewichtszustände:

17. Vereinfachte Populationsdynamik • Gleichgewichtszustände:

18. Vereinfachte Populationsdynamik • Gleichgewichtszustände:

19. Zeitdauer in welcher dieses Modell abläuft • Ausbruch des kanadischen Fichtenkäfers dauert rund 4 Jahre • In diesem Zeitraum werden die Fichten angegriffen bzw. sterben ab • Nach 50 bis 100 Jahren bzw. intensiver Aufforstung verdrängen die Fichten die Balsamtannen bzw. Birken wieder • In einem vollständigen Modell müsste man die Baumdynamik mit einbeziehen (~80 Parameter und Variablen)

20. Vorstellung von KatastrophenAutor: „ZeeMan“ 1982, Experiment mit 57 Studenten

21. Verzögerte Modelle • Defizite von Single-Populations-Modellen sind, dass die Geburtenrate den augenblicklichen, momentanen Zustand betrachtet • Es kann jedoch eine Zeitverzögerung auftreten, bis die Fichtenkäfer ihre Reife erreicht haben (d. h. der Reifeprozess ist begrenzt) • Berücksichtigung der Verzögerung durch folgende Differenzialgleichung:

22. Verzögerte Modelle • Erweiterung des logistischen Wachstumsmodells ist die „Differenzielle Verzögerungsgleichung“ • Modell für einen Verzögerungseffekt, welcher einen Durchschnitt über vergangene Populationen repräsentieren sollte.

23. Verzögerte Modelle • Ausdrücken der Gleichung durch die einfache lineare Verzögerungsgleichung

24. Verzögerte Modelle • ... Periode Jahr

25. Vergleich von Nicholson‘s experimentellen Daten • Für die Population der australischen Schafschmeißfliege (diese führt zu Sommerkrankheiten bei Schafen)

26. Danke für die Aufmerksamkeit!