FF Z S-0 4 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika

1. FFZS-04 Potenciální energie, pružnost a pevnost, hydrostatika a hydrodynamika http://stein.upce.cz/msfzs13.html http://stein.upce.cz/lectcz/ffzsn_04.html Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Gravitace • Gravitační pole v blízkosti Země • Planetární pohyby • Potenciál a potenciální energie • Nauka o pružnosti a pevnosti • Hydrostatika a hydrodynamika • Hydrodynamika krevního oběhu

3. Gravitační pole v blízkosti Země I • Gravitační pole v těsné blízkosti Země lze charakterizovat intenzitou. Její velikost nazýváme gravitačnímzrychlením. • Po korekcích gravitačního zrychlení ag = 9.83 ms-2 na různé vlivy, zvláště rotaci Země, dostáváme měřitelné tíhovézrychlení. Jeho střední hodnota je g = 9.81 ms-2.

4. Gravitační pole v blízkosti Země II • Ve vztahu vystupuje součin M. Gravitační konstanta  se musí určit z nezávislého měření v laboratoři. Například na torzních vahách. Díky tomu je možné v laboratoři ‘vážit‘ nebeská tělesa. • Tíhové zrychlení vykazuje drobné odchylky v důsledku nepřesně kulového tvaru Země a nehomogenit její hmotnosti a polohy na ní. Toho se využívá při geologickém průzkumu

5. Gravitační pole v blízkosti Země III • Zemi je možné vážit z gravitačního zrychlení nebo z pohybu Měsíce. • Příklad : Určete M a M z  a g.

6. Konzervativní pole • Gravitační pole se řadí mezi takzvaná pole konzervativní. • Celková práce potřebná na přenesení hmotnosti po libovolnéuzavřené dráze je nulová. • Práce potřebná na přenesení hmotnosti mz bodu A do bodu Bnezávisí na cestě, ale jenom na nějaké skalární vlastnosti polev těchto bodech = potenciálu . W(A->B) = m(B) - m(A)

7. Potenciál I • Je třeba správně chápat rozdíl mezi potenciálem, což je vlastnostpole a potenciální energii, což je vlastnost určitého hmotného tělesa v tomto poli. • Výhody popisu pole pomocí potenciálu : • Skalární • Princip superpozice vede na aritmetické sčítání • Lépe konverguje

8. Potenciál II • Potenciál v jistém bodě centrosymetrického pole získáme rozdělením potenciální energie na vlastnost pole a vlastnost částice: • Potenciál v kalibraci c=0 :

9. Potenciál III • Obecně je pohodlnější popisovat gravitační pole pomocí potenciálu, ale na jeho základě je nutné umět vypočítat intenzitu a sílu : • V centrosymetrickém případě :

10. Gradient I • Gradient skalární funkce je vektor, který má • směrnejvětšíhorůstu funkce v daném bodě • velikost danou přírustku funkce v jednotkové vzdálenosti od daného bodu v tomtosměru :

11. *Gradient II • Gradient je trojrozměrnou obdobou diferenciálu : • Význam gradientu vyplývá z faktu, že skalární součin bude maximální, když jsou jeho činitelé paralelní.

12. Zákon zachování energie I • Prácedodaná do systému se rovná přírůstku jeho celkové energie, který je roven součtu přírůstku kinetické a přírůstku potenciální energie. • Jak se přírůstky konkrétně rozdělí závisí na dalších podmínkách problému. Je-li prácekladná může se kinetická energie i snížit, ale její pokles musí být vykompenzován odpovídajícím vzrůstemenergiepotenciální

13. Zákon zachování energie II • Je-li práce dodaná do systému nulovázachovává se celková energie, tedy součet energie kinetické a potenciální. (Zatím uvažujeme jen tyto dva druhy energie). • Jeden druh energie se ale může měnit v druhý. • V těsné blízkosti Země :

14. Pohyb satelitů I • Obecně se tělesa otáčejí kolem společnéhotěžiště. • Je-li satelit podstatnělehčí než centrální těleso lze společné těžiště ztotožnit s těžištěm centrálního tělesa. • Uvažujme pro jednoduchost kruhovou dráhu. V prvním přiblížení je dostředivá síla realizována silou gravitační a platí :

15. Pohyb satelitů II • Můžeme například vyjádřit rychlost oběhu : • Nyní chápeme 3. Keplerův zákon pro satelity obíhající stejné centrální těleso:

16. Pohyb satelitů III • Jsou-li hmotnosti těles srovnatelné, musí se uvažovat pohyb kolem jejich společného těžiště. Čili dochází i k pohybu centrálního tělesa. • Takto lze vysvětlit příliv a odliv nebo odhalit exoplanety u vzdálených hvězd. • Používá se přímého pozorování a moderněji spektroskopických metod (136).

17. *1. Kosmická rychlost • 1. Kosmická rychlost je rychlost oběhu těsně u povrchu vesmírného tělesa. • Tedy zakřivení dráhy vodorovného vrhu akorát kopíruje povrch tělesa. • Takový pohyb je možný pouze, když těleso nemá atmosféru, jinak je zbržděno (a shoří). • V případě Země se jedná o hodnotu fiktivní :

18. *2. Kosmická rychlost • 2. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo z dosahu Země do nekonečna • Opět nesmí dojít ke ztrátám průletem atmosférou • Rozdíl od rychlosti potřebné k dosažení např. Měsíce je ale nepatrný.

19. *3. Kosmická rychlost • 3. Kosmická neboli úniková rychlost je taková, při které má těleso kinetickou energii dostatečnou k tomu, aby se dostalo ze Země z dosahu Slunce do nekonečna • Úniková rychlost z oběžné dráhy Země je • Ms je hmotnost Slunce, rsz je poloměr dráhy Země. • Při vypuštění sondy ve směru obíhání Země lze ale odečíst obvodovou rychlost Země, tedy cca30 km/s.

20. *Proč shořela Columbie I • Celková energie satelitu : • Kde jsme použili dříve odvozený vztah pro rychlost satelitu:

21. *Proč shořela Columbie II • Podle předchozího se celková energie satelitu musí zvětšit dodáme-li práci. Přitom : • se zvětší její vzdálenost • její rychlost se zmenší(!) • Když naopak satelit vstupuje do atmosféry a je bržděn atmosférou nebo svými motory, klesá jeho výška, ale rosterychlost. Musí tedy (v určité fázi letu, například než může letět jako letadlo nebo být bržděno padáky) vydržet obrovskéteploty.

22. *Moderní teorie gravitace • Albert Einstein se zabýval ekvivalencí gravitační a setrvačnéhmotnosti na ní a na předpokladu, že fyzikální zákony musí v každé (i neinerciální) soustavě být stejné vybudoval obecnouteoriirelativity. • Podle ní hmotnostzakřivuječasoprostor ve svém okolí. • Experimentálními potvrzeními této teorie jsou například ohyb elektromagnetických vln v blízkosti velkých těles (Slunce, Jupiter) a stáčeníroviny oběhu Merkura.

23. Atomová hypotéza I • Richard Feynman – jeden z největších fyziků 20. století a autor výborné a nadčasové učebnice “Feynmanovy kurzy fyziky“ – tvrdí, že pokud bychom směli zanechat budoucím generacím jedinou větu, měla by znít : Svět je složen zatomů, malých částic, které jsou v neustálém pohybu, když se přiblíží, přitahují se, ale když se přiblíží ještě více, naopak seodpuzují. • Rozměry atomů se měří v (SI) zakázaných, ale velice praktických jednotkách - angströmech 1Ǻ= 10-10 m

24. Atomová hypotéza II • Kdybychom zvětšili jablko na rozměr Země (asi 108 krát), atomy by měly rozměr jablka. ~6 cm = 6 .10-2.108 m= 6 .106 m = 6 .103km ~6 Ǻ.108= 6.10-10 .108 m= 6.10-2m = 6 cm Je zajímavé, že i při tomto zvětšení : by atomové jádronebylo vidět pouhým okem. Mělo by totiž průměr jenřádově jednotky m ! poloměr Země by nedosáhl k nejbližší hvězdě. Musel by se ještě 60 krát vynásobit!

25. Dalekodosahové síly ICherchez le puits (de potential) • Součástky hmoty - atomy nebo molekuly na sebe vzájemně působí dalekodosahovými silami, které mají následující vlastnosti: • na velkévzdálenosti jsou zanedbatelné • při menších vzdálenostech jsou přitažlivé • při ještě menších vzdálenostech jsou odpudivé • existuje alespoň jedna rovnovážná vzdálenost, v níž se přitažlivé a odpudivé síly kompenzují

26. Dalekodosahové síly II • Dalekodosahové síly lze zjednodušeně vystihnout průběhem potenciální energie částice, která se blíží k částici, umístěné do počátku – tzv. potenciálovou jámou. • v blízkosti minima ji lze aproximovat parabolou • lze pomocí ní kvalitativně vysvětlit například: • existenci a pravidelnost kondenzovaného stavu • elastické chování látek • teplotní roztažnost • mechanické vlastnosti sedlin

27. Pružnost I • Z vzájemného působení součástek hmoty, které jsme si přiblížili pomocí potenciálové jámy, je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá. Jejich tvar v každé situaci odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. • Změnou působení vnějších sil se mění síly uvnitř. Snaží se vyrovnatúčinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti.

28. Pružnost II • Vzájemné působení může být velmi složité a existují látky s bizardními vlastnostmi. • Naše potenciálová jáma je zjednodušení, zhruba fungující pro velké množství látek. • Zatím přijměme tvrzení, že při velmi malých deformacích se při vymizení vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy. • Zaveďme si vhodně veličiny, které jsou ve hře:

29. Napětí I • Experiment ukazuje, že pro deformačníúčinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí tzv. mechanické napětí • Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2

30. Napětí II • Odezva látek může být komplikovaná, ale i unejjednodušších látek (homogenních aizotropních) je rozdílná nejméně v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládatnapětí alespoň na normálové a tečné:

31. Deformace • Odezva látek je vždy úměrná rozměru předdeformací, proto je užitečné ji k tomuto původním rozměru vztáhnout. Podle typu deformace používáme například relativní • prodloužení • Střih dx dy • stlačení v

32. Závislost napětí na deformaci • Průběh namáhání látek se obvykle (ale ne vždy) zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze: • úměrnosti ... zde platí Hookův zákon • elasticity ... návrat do původního tvaru • plasticity ... zůstává trvalá deformace • kluzu ... velká změna chování • pevnosti ... porušení materiálu

33. Závislost napětí na deformaci oblast tečení mez pevnosti elastická oblast plastická oblast  p r oblast proporcionality – zde platí Hookův zákon 

34. Hookův zákon I • Pro velmi malé(přesně nekonečně malé) deformace potom například platí : Veličiny E, G a K jsou tzv. moduly, vyjadřují odpor vůči deformaci a u pevných látek mají značně velké hodnoty ~1010 Pa. v

35. Hookův zákon II • Moduly se nazývají : • E …Youngův modul pružnosti v podélném prodloužení • G … Youngův modul pružnosti ve smyku • K … modul objemové pružnosti • Často se používají i reciproké hodnoty modulů. Vyjadřují samozřejmě poddajnost(compliance) materiálů a jsou typicky velmi malé.

36. *Hookův zákon III • Meziději ve směru namáhání a ve směru kolmém existuje souvislost. Například protahujeme-li drát, dochází v kolmém směru ke zužování. Popisujeme jej relativním příčným zkrácením, které je úměrné normálovému napětí : • Míru změny v příčném směru popisujeme novým materiálovýmparametremPoissonovým číslem(ný) nebo (jeho reciprokou)Poissonovou konstantoum :

37. *Hookův zákon IV • Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : • Budeme-li krychli V = aaa namáhat hydrostatickým tlakem p = n, projeví se ve změně k každého rozměru i příčné vlivy a objem po deformaci bude :

38. *Hookův zákon V • Čili po zanedbání kvadratických a vyšších členů můžeme vyjádřit relativní změnu objemu: • a srovnáním dostáváme součinitel objemové stlačitelnosti γnebo modul objemové pružnosti K :

39. *Hookův zákon VI • Poissonova konstanta nebo Poissonovo číslo se také uplatní ve vztahu mezi modulem ve smyku a v tahu, takže jednoduché materiály lze charakterizovat jen dvěma materiálovými parametry :

40. *Deformace neizotropních látek I • V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . • ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. • pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q.

41. *Deformace neizotropních látek II • Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq • Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. • Každá symetrie materiálu znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. • Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. • Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich jen dva parametry E a G.

42. Úvod do mechanikytekutin I • Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny. Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. • Mají společný téměř nulovýmodul ve smyku. Díky tomu snadno mění tvar. • Relativně lehce se rozdělují. • Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné. • V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí.

43. Tekutiny II • Z hlediska elastických vlastností lze tekutiny definovat následovně: • kapaliny ... K velmi veliké, G malé • plyny ... K konečné dané EOS, G malé

44. Tekutiny III • Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideálníkapaliny a později zavádět korekce, popisující reálnější chování například viskozitu a stlačitelnost. • Ideální kapalina má Knekonečné a Gnulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smykovánapětí ani deformace.

45. Hydrostatika ideální kapaliny I • Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě není v rovnováze). • Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní. • Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotkuobjemu, tedy hustotamifyzikálníchveličin.

46. Hydrostatika ideální kapaliny II • Nejběžnější jsou : • hustota je hmotnost na jednotku objemu :  = m/V, []=kg m-3 • hustota působících sil, tedy síla na jednotku objemu : , [f]= N m-3 • tlakp lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3

47. *Základní rovnice hydrostatiky I • Pro tenzor napětí u ideální kapaliny platí jednoduše Pascalův zákon : ij=-pij. ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij. • p =F/S[Pa]je tlak - normálové napětí. • Budeme upravovat základnívztah pro rovnováhukontinua :

48. *Základní rovnice hydrostatiky II • Po dosazení za tenzor napětí platí : • Síla působí ve směru největšízměny tlaku nebo naopak největšízměna tlaku je ve směru působící síly. • Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál

49. Základní rovnice hydrostatiky III • Tedy: • A konečně po integraci obdržíme : • Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesempotenciálu = růstem hloubky se tlakzvětšuje.

50. Základní rovnice hydrostatiky IV • Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou tedy ekvipotenciální plochy. • Hladiny nejsou ve skutečnosti zcela vodorovné : • kopírují například zemský povrch a sledují i jemnější změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsíce a Slunce. • také se zakřivují v blízkosti okrajů nádoby.