1 / 75

17. Graf Planar dan Graf Bidang

17. Graf Planar dan Graf Bidang Graf yang dapat digambar tanpa terjadinya perpotongan antar sisi disebut graf planar . Graf planar yang digambarkan tanpa ada perpotongan antar sisi disebut graf bidang . Graf bidang pasti merupakan graf planar. Graf planar belum tentu graf bidang.

aiko-mathews
Télécharger la présentation

17. Graf Planar dan Graf Bidang

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 17. Graf Planar dan Graf Bidang Graf yang dapatdigambartanpaterjadinyaperpotonganantarsisidisebutgraf planar. Graf planar yang digambarkantanpaadaperpotonganantarsisidisebutgrafbidang. Graf bidangpastimerupakangraf planar. Graf planar belumtentugrafbidang.

  2. Contoh Graf K4adalah Graf Planar q q p p s s r r

  3. Contoh Graf K6bukan Graf Planar    

  4. Contoh Graf K3,3bukan Graf Planar

  5. 18. Rumus Euler Sisipadagrafbidangmembagibidangdatarmenjadibeberapawilayah (regionatauface) Jumlahwilayahpadabidangdatartermasukwilayahluar. Jumlahwilayahpadagraf planar sederhanadapatdihituyngdenganrumus, n – e + f = 2 atau f = e – n + 2 n = jumlahsimpul e = jumlahsisi

  6. Contoh 12.14 Tentukanjumlahwilayahpadagraf planar berikut  R3 R5 R2 R6 R1 R4  f = e – n + 2 = 11 – 7 + 2 = 6 Jadijumlahwilayah = 6

  7. 19. Ketidaksamaan Euler Padagrafsederhanaterhubungdengan f wilayah, n buahsimpul, dan e buahsisi (dengan e > 2) berlakuketidaksamaan: 2e  3f atau 2e/3  f Dari rumus Euler, f = e – n + 2 Sehingga: 2e/3  e – n + 2 2e/3 – e  – n + 2  – 1/3 e  – n + 2 1/3 e  n – 2  e  3n – 6 (ketidaksamaan Euler) Suatugrafdikatakan planar jikamemenuhiketidaksamaan Euler. Jikatidakmemenuhimakagrafdikatakantidak planar.

  8. Contoh 12.15 Padagraf K4berikut, n = 4, e = 6. Tentukanapakahgraf tersebutmemenuhiketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(4) – 6 = 6 Karena e = 6, makagraf K4dikatakanmemenuhi Ketyidaksamaan Euler e  3n – 6.

  9. Contoh 12.16 Padagraf K5berikut, n = 5, e = 10. Tentukanapakah graftersebutmemenuhiKetidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(5) – 6 = 9 Karena e = 10 > 9, makagraf K4dikatakantidak memenuhiketidaksamaan Euler e  3n – 6. Artinyagraf K5 tidak planar

  10. Perludiketahuibahwaketidaksaman Euler merupakansyaratperlu; bukansyaratcukup. Artinyajikasuatugrafmemenuhiketidaksamaan Euler, belumtentugraftersebut planar. Perhatikancontohberikut!

  11. Contoh 12.17 Padagrafbipartit K3,3berikut, n = 6, e = 9. Tentukan apakahgraftersebutmemenuhiketidaksamaan Euler? Penyelesian: 3n – 6 = 3(6) – 6 = 12 Didapat e = 9 < 12. Walaupunmemenuhi ketidaksamaan Euler, kitatelahmengetahuibahwa graf K3,3dbukangraf planar.

  12. 20. Graf Homeomorfik Duagraf G1dan G2dikatakanhomeomorfikjikasalahsatudarikeduagraftersebutdapatdiperolehdarigraf yang lain dengancaramenyisipkandan/ataumembuangsecaraberulang-ulangsimpul yang berderajad 2. v y x KetigagrafdiatasadalahHomeomorfiksatusama lain. Graf G2didapatdenganmenghilangkansimpul v pada G1 . Sedangkan G3didapatdari G2dengan Menambahkansimpul x dan y. G1 G3 G2

  13. 21. TeoremaKuratowski MenurutKuratowskiterdapat 2 jenisgraftidak planar, yaitu: Graf Kuratowskipertama, yaitugraflengkap yang mempunyai 5 buahsimpul (K5) adalahgraftidak planar. 2. Graf Kuratowskikedua, yaitugrafterhubungteraturdengan 6 buahsimpuldan 9 buahsisi (K3,3) adalahgraftidak planar.

  14. SifatgrafKuratowski: KeduajenisgrafKuratowskiadalahgrafteratur KeduagrafKuratowskiadalahgraftidak planar PenghapusansisiatausimpuldarigrafKuratowskimenyebabkanmenjadigraf planar Graf Kuratowskipertamaadalahgraftidak planar denganjumlahsimpul minimum. SedangkangrafKuratowskikeduaadalahgraftidak planar denganjumlahsisi minimum. Keduanyaadalahgraftidak planar paling sederhana.

  15. TeoremaKuratowski: Graf G adalahtidak planar jikadanhanyajikamengandungupagraf yang isomorfikdengan K5atau K3,3atauhomeomorfikdengansalahsatudarikeduanya.

  16. Perhatikangrafberikut. Graf G mengandungupagraf G1 yang isomorfikdengangraf K3,3. Jadi G tidak planar a b c a b c f e d f e d G1 G

  17. Graf G tidak planar karenaupagrafnya G1isomorfikdengan K3,3. c a b b d b c d d a a g g e f g f c f K3,3 G G1

  18. 22. Graf Dual (Dual Graph) Misalterdapatgrafbidang G. Kita dapatmembuat dualdarigraf G atau G* dengancara: 1. Padasetiapwilayahataumuka f di G, buat sebuahsimpulv* yang merupakansimpul untuk G*. 2. Untuksetiapsisi e di G, tariksisi e* yang menjadi sisiuntuk G* danmemotongsisi e tersebut. Sisi e* menghubungkanduabuahsimpulv1* danv2* (simpul-simpuldi G*) yang beradapadamuka f1dan f2 yang dipisahkanolehsisi e di G. Untuksisi e yang salahsatusimpulnyamerupakan simpul yang mempunyaiderajad 1, makasisi e* merupakansisigelang.

  19. Contoh 12.18 Gambarkan dual darigrafberikut!   

  20. Contoh 12.18 Gambarkan dual darigrafberikut!      

  21. Contoh 12.19 Gambarkan dual darigrafberikut! e7* e7 e6  e5* e5 e4*  e6* e1 e4 e3* e3  e1* e2 e2* 

  22. Contoh 12.19 Gambarkan dual darigrafberikut! e7* e7  e6  e5* e6* e5 e5* e4* e7*   e6* e4* e1 e3* e4 e3* e2* e3    e1* e1* e2 e2* 

  23. Contoh 12.20 Gambarkan dual darigrafberikut! e6 e5  e5* e7 e7* e3  e4 e1 e3* e4*   e2 e2* e1* e6*

  24. Contoh 12.20 Gambarkan dual darigrafberikut! e6 e5   e5* e7 e7* e3 e6*  e7* e4 e5* e1 e3*  e4*  e3* e4*  e2 e2*   e2* e1* e1* e6*

  25. Khususuntukgraf yang merepresentasikanpeta, bidangluartidakdinyatakansebagaisebuahsimpul 2  1  7    3 6   8 4  5

  26. 23. Lintasan Euler danSirkuit Euler Lintasan Euler adalah: Lintasan yang melaluimasing-masingsisipadasuatugraftepatsatu kali. Sirkuit Euler adalah: Lintasan yang melaluimasing-masingsisipadasuatugraftepatsatu kali dankembalikesimpulawal. Graf yang memilikisirkuit Euler dinamakangraf Euler (Eulerian Graph). Graf yang hanyamemilikilintasan Euler disebutgraf semi-Euler (semi-Eulerian Graph).

  27. Contoh 12.21 2 1 Lintasan Euler : 3 – 1 – 2 – 3 – 4 – 1 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ 4 3 3 2 ▸ ▸ ▸ ▸ 5 ▸ 4 1 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ Sirkuir Euler: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 3 – 5 – 7 – 6 – 5 – 2 – 6 – 1 7 6

  28. Teorema 23.1 Graf terhubungtak-berarah G adalahgraf Euler (memilikisirkuit Euler) jikadanhanyajikasetiap simpuldidalamgraftersebutberderajadgenap. Contoh 12.22 a b Sirkuit Euler: a, e, c, d, e, b, a e c d

  29. Teorema 23.2 Graf terhubungtak-berarah G adalahgraf semi-Euler (memilikilintasan Euler) jikadanhanyajikadidalam graftsb. terdapattepatduasimpulberderajadganjil Contoh 12.23 a b Lintasasn Euler : a, c, d, e, b, d, a, b e c d

  30. Teorema 23.3 Graf terhubungberarah G memilikisirkuit Euler jika danhanyajika G terhubungdansetiapsimpulmemilikiderajadmasukdanderajadkeluar yang sama. G memilikilintasan Euler jikadanhanyajika G terhubungdansetiapsimpulmemilikiderajadmasukdanderajadkeluar yang sama, kecualiduabuahsimpul, yaitusimpulpertamamemilikiderajad-keluarsatulebihbesardariderajadmasuk, dan yang kedua memilikiderajad-masuksatulebihbesardariderajadkeluar.

  31. Contoh 12.24 a ▸ b ▸ ▸ ▸ f g  ▸ ▸ ▸ c ▸ d e Sirkuit Euler: a – g – c – b – g – e – d – f – a

  32. 23. Lintasan Hamilton danSirkuit Hamilton Lintasan Hamilton adalah: Lintasan yang melaluitiapsimpulpadasuatugraftepatsatu kali. Sirkuit Hamilton adalah: Lintasan yang melaluitiapsimpulpadasuatugraftepatsatu kali; kecualisimpulawal yang dilaluidua kali. Karenalintasankembalikesimpulawal, makasimpulawalberfungsijugasebagaisimpulakhir. Graf yang memilkisirkuit Hamilton dinamakangraf Hamilton. Graf yang hanyamemilikilintasan Hamilton disebutgraf semi-Hamilton.

  33. Contoh 12.25 1 1 2 2 1 2 4 3 4 3 4 3 (a) (b) (c) Graf yang memilikilintasan Hamilton : 3, 2, 1, 4 Graf yang memilikisirkuit Hamilton : 1, 2, 3, 4, 1 Graf yang tidakmemilikilintasandansirkuit Hamilton

  34. Teorema 23.4 (Teorema Dirac) Jika G adalahgrafsederhanadengan n buahsimpul (n  3) sedemikiansehinggaderajattiapsimpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  2 untuksetiapsimpulvdi G), maka G adalahgraf Hamilton. Teorema 23.5 (Teorema Ore) Jika G adalahgrafsederhanadengan n buahsimpul (n  3) sedemikiansehingga d(v) + d(u)  n untuksetiappasangsimpultidakbertetanggaudanv, maka G adalahgraf Hamilton Teorema 23.6 (Teorema Ore) Setiapgraflengkapadalahgraf Hamilton

  35. Teorema 23.7 Di dalamgraflengkap G dengan n buahsimpul (n  3) terdapatsebanyak (n – 1)!/2 sirkuit Hamilton. Teorema 23.8 Di dalamgraflengkap G dengan n buahsimpul (n  3 dan n ganjil) terdapat (n – 1)/2 buahsirkuit Hamilton yang salinglepas (tidakadasisi yang beririsan). Jika n genapdan n  4 makadidalamgrafterdapat (n – 2)/2 buahsirkuit Hamilton yang salinglepas.

  36. 24. LintasanTerpendek Persoalanlintasanterpendek Lintasanterpendekdarisimpultertentuke semuasimpullainnya b. Lintasanterpendekantaraduabuahsimpul melaluisimpullainnya. Pembahasandibatasihanyapadapersoalan a.

  37. Lintasanterpendekdarisimpultertentukesemua simpullainnya 45 2 Contoh 12.26 50 10 1 5 40 15 35 20 10 20 30 6 3 15 3 4

  38. 45 2 5 50 10 1 15 40 35 20 10 20 30 6 3 15 3 4

  39. 45 2 5 50 10 1 15 40 35 20 10 20 30 6 3 15 3 4

  40. 45 2 5 50 10 1 15 40 35 20 10 20 30 6 3 15 3 4

  41. 45 2 1 5 50 10 1 15 40 35 10 20 10 20 30 6  3 3 15 3 4

  42. 45 2 1 5 50 10 1 15 40 35 10 20 10 20 30 6  3 3 15 3 4

  43. 45 2 1 5 50 10 1 15 40 35 10 20 10 20 30 6  3 3 15 3 4

  44. 45 2 1 5 50 10 1 15 40 35 10 20 10 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  45. 45 2 1 5 50 10 1 15 40 35 10 20 10 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  46. 45 2 2 1 5 50 10 1  15 40 35 10 20 10 20 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  47. 45 2 2 1 5 50 10 1  15 40 35 10 20 10 20 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  48. 45 2 5 2 1 5 50 10 1   15 40 35 10 20 10 20 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  49. 45 45 2 5 2 1 5 50 10 1   15 40 35 10 20 10 20 20 30 6   3 3 15 15 4 3 4

  50. ataudapatdiselesaikandengancara:

More Related