Unidade 3 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente

1. Unidade 3 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente2. Determinação da Fronteira eficiente Economia bancária e Financeira

2. Unidade teórica 3 . Relação entre o risco e a rentabilidade esperada . O que é a fronteira de eficiência num conjunto de portefólios? . Como modelizar a eficiência ? . Quais as hipóteses do modelo de Markowitz? . Como determinar a fronteira de eficiência? . A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe) Economia bancária e Financeira

3. Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção: • R = (div + P1 – P0) / Po • R é uma variável aleatória R~ N (r,G) Rentabilidades e distribuição de probabilidades Economia bancária e Financeira

4. HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: • HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal. H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros. MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959) Economia bancária e Financeira

5. H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos) • H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas. • H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período. Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores Economia bancária e Financeira

6. Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular. • Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ Economia bancária e Financeira

7. 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes) • 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor. FRONTEIRA EFICIENTE Economia bancária e Financeira

8. Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2). • Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperadooptará pelo portfólio de menor risco. • Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente , que é independente das preferências individuais dos investidores. PRIMEIRA FASE Economia bancária e Financeira

9. Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença) • A fronteira de eficiência (dado objectivo) • Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. Segunda Fase Economia bancária e Financeira

10. E(p) • σ (p) Fronteira eficiente Economia bancária e Financeira

11. O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado. • Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio. • O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio. • Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco. Diversificação eficiente Economia bancária e Financeira

12. Activo A E (RA) = 5% σ (RA) = 20% • Activo B E (RB) = 15% σ (RB) = 40% • Que proporções de A e de B? • Três situações: • ρAB = 1 • ρAB = - 1 • -1<ρAB<1 Diversificação – exemplo com dois activos financeiros Economia bancária e Financeira

13. E( R) • 15% • B • C • 10% • A • 5% • 10% 20% 40% • σ( R) Diversificação – exemplo com dois activos financeiros Economia bancária e Financeira

14. Diversificação Economia bancária e Financeira

15. A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefólio • σip = Σ xj σij • A variância do portefólio é igual à média ponderada das co-variâncias dos activos com o portefólio. • Σ σ 2p = Σ xj σiP Medida de risco de um activo Economia bancária e Financeira

16. Proposição 1 • Considerado c uma constante e R-c o vector • R-c = [E (r1) –c • E (r2)- c • E(rn) – c] • O vector Z resolve as equações R-c = Sz • Z = S-1[R-c] • X = {x1, x2….xn} Teoremas dos portefólios eficientes Economia bancária e Financeira

17. Proposição 1 • Xi = zi / ΣZj • Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma • cxi porfolio de tangência dado c Teoremas dos portfefólios eficientes Economia bancária e Financeira

18. Proposição 2 • Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante • ax + (1-a)y • Também se encontra na fronteira de eficiência Teoremas dos portefólios eficientes Economia bancária e Financeira

19. Proposição 3 • Se um portfoliose encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência • E (rx) = c + βx [E(ry) – c] • βx = Cov (x,y) / σ2y • c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0 • c = E(rz) • Cov (y,z) = 0 Teoremas dos portfolios eficientes Economia bancária e Financeira

20. E(Rp) • portfolio eficiente • E(rm) • x y porfolios possiveis e não eficientes • σ (p) Portefólio eficiente e não eficiente Economia bancária e Financeira

21. Suponha que um portefólio e constituido pela proporção a do portefolio x e (1-a) do portfolio y • E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry) • σp= √ a2σ2x + (1-a) 2σ2y +2a(1-a) cov(x,y) Cálculo da fronteira eficiente Economia bancária e Financeira

22. Fronteira eficiente - construção • Data /table : Considerar o calculo para um portfolio w • Proporção de X 0.3 • Retorno : 8.66% • σ do portfolio :43,5% Economia bancária e Financeira

23. R-rf = Sz • Mi = Zi / ∑Zi • E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line • σp= √ a2σ2rf + (1-a) σ2M +2a(1-a) cov(rf,M)= • = (1-a) σM CML Capital market Line Economia bancária e Financeira

24. E(Rp) • Portfolio de mercado • E(rm) • x y porfolios possiveis e não eficientes • rf • σ (p) Capital market line Economia bancária e Financeira

25. Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) • Conhecimento da matriz das co-varâncias • Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: • Ři = αi + βiĨ + ũi • Ĩ = αn+1+ vn+1 Modelo simplificado de Sharpe Economia bancária e Financeira

26. Posição curta em acções e investe tudo em obriigações • declive =- (vib/vim) • q • Pedir emprestado e investir tudo em acções • Rendimentos • Má conj • (W0/a)*divm • q (W0/a)*div b Rendimentos em boa conjuntura Escolha de portefólio mercado completo Economia bancária e Financeira

27. Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco. • Condições : • - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra Lendingportfolio Economia bancária e Financeira

28. Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais: • E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb • rb é a taxa de empréstimo BorrowingPortfolio Economia bancária e Financeira

29. Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) • SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. • CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. • APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T. Economia bancária e Financeira

30. 1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz. • 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição. • 3. Expetativas homogéneas: todos os investidores detêm a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada título • 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte económico Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro Economia bancária e Financeira

31. 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos. • 6. Não existem custos de transacção. • 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras. • 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro. Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro Economia bancária e Financeira

32. O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: • 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) • 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). • 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. Condições de estimação do modelo de mercado Economia bancária e Financeira

33. (E (rx) – rf ) / βx = [E(rm)-rf] • E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf] • Βx = Cov (x, M) / σ2M CAPM e SML com activo sem risco Economia bancária e Financeira

34. E(Rp) • E(rm) • y • rf • Zero Beta Portfolio • 1 σ (p) e Beta SecurityMarketLine Economia bancária e Financeira

35. Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado. • Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólio • Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação. CONCLUSÃO Economia bancária e Financeira