Técnicas de Processamento Imagens

1. Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari

2. Agenda • Motivação / Introdução • Revisão de conceitos matemáticos • Série de Fourier • Transformada de Fourier – 1D & 2D • Contínua & discreta • Principais propriedades

3. Motivação • Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons • Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos) • Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

4. O que é freqüência de uma função ? • Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas • A = amplitude da função (valores max e min assumidos) •  = indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]

5. O que é freqüência de uma função ? a b

6. O que é freqüência de uma função ? Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?

7. Objetivos desta aula • Entender os princípios mais importantes da transformada de Fourier • Contextualização em imagens. Exemplos:

8. Introdução • Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) • Teoria publicada em 1822 • Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier) • Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) • Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

9. Introdução:Representação de sinais complexos

10. Série de Fourier Resta achar uma forma de calcular os coeficientes Site interessante: www.fourier-series.com

11. Série de Fourier – Valores médios de uma função S = A Y <Y> = (S1-S2)/A <Y> = (S1-S2)/A = 0

12. Série de Fourier – Calculando coeficientes f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ... Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x) f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ... Tomando as médias de cada termo da equação:) < f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

13. Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ... a0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2) a0 = 1/2

14. Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π a2 = 0 a0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.

15. Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ... Onda quadrada: 15 termos Onda quadrada: 5 termos

16. Definições matemáticas importantes • Número complexo • Conjugado complexo • Módulo • Fase

17. Definições matemáticas importantes • Fórmula de Euler • Função impulso (delta de Dirac) Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero

18. Definições matemáticas importantes • Função impulso (propriedades) 1/a -a/2 a/2

19. Definições matemáticas importantes • Função impulso : Propriedade Sift A 1/a -a/2 a/2

20. Definições matemáticas importantes • Trem de impulsos

21. Série de Fourier

22. Série de Fourier • f(x) é periódica de período T se • f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo • Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como: • Observe que b0 não é indicado pois

23. Série de Fourier • Casos particulares • f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então os coeficientes bk são nulos • f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos

24. Série de Fourier • Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções • Ex.: representação de uma onda quadrada • Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação

25. ‘Série de Fourier

26. Série de Fourier • 1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua. • 2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental • As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal • Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico

27. Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)

28. Transformada de Fourier (sinal contínuo) • Onde s é a função no espectro e t no tempo • Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

29. Transformada de Fourier • Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática • Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + FT(g) ; FT(f) = FT(f)

30. Transformada de Fourier • Como conseqüência da Nota 3, - teorema de Plancherel A energia da função é preservada na transformação.

31. Transformada de Fourier

32. Transformada de Fourier

33. Exemplos:

35. Onda quadrada - Pulso

38. x(t) + y(t) X(f) + Y(f) Algumas propriedades da FT • Linearidade

41. Deslocamentos no tempo e na freqüência • Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t0) H( f )e-j2ft0

42. Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

43. Deslocamento na freqüência h(t) ej2f0 H( f -f0)

45. Convolução • Uma das propriedades mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f )

46. Convolução

47. Conservação da energia • Teorema de Parseval

48. Amplitude e Fase • O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) • Ou através da fase e amplitude do spectro

49. Calculando a fase e a amplitude • Amplitude é determinada pelo módulo: • seja z um número complexo definido como: z = x + yi • z = |z| = x2 + y2 • | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2 • Fase é dada por:

50. Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)