1 / 49

Realizat de prof. TIT CUPRIAN

Realizat de prof. TIT CUPRIAN. ALGEBRA. CLASA a VI-a. Semestrul I si II. . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008. NUMERE NATURALE. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008. . DIVIZOR, MULTIPLU. Daca un numar natural poate fi scris ca un produs de doi factori,.

alagan
Télécharger la présentation

Realizat de prof. TIT CUPRIAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Realizat de prof. TIT CUPRIAN ALGEBRA CLASA a VI-a Semestrul I si II . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  2. NUMERE NATURALE TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  3. DIVIZOR, MULTIPLU Daca un numar natural poate fi scris ca un produs de doi factori, de exemplu: a = mnatunci putem spune urmatoarele: m sau n= este divizorul numarului asi ca a se divide cu m sau cu n. Scriem si citim: a se divide cu m. Exemplu de multimea divizorilor unui numar natural: D12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Asadar, sau adica 4 il divide pe 12. Daca un numar il inmultim cu orice numar natural, se obtine un multiplu al acestuia. Exemplu de multimea multiplilor unui numar natural: M4 = {0; 4; 8; 12; 16; … ; 4n; …} Din relatia a = mn, putem spune ca: m (sau n) este divizorul lui a si a este multiplul lui m sau al lui n. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  4. CRITERIILE DE DIVIZIBILITATE Criteriul de divizibilitate cu 2. Un numar natural se divide cu 2 daca ultima cifra este din multimea {0; 2; 4; 6; 8}. Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar natural se divide cu 3 daca suma cifrelor din care este format numarul, se divide cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 4. Un numar natural se divide cu 4 daca numarul format din ultimele doua cifre se divide cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 5. Un numar natural se divide cu 5 daca ultima cifra este din multimea {0; 5}. Criteriul de divizibilitate cu9. Un numar natural se divide cu 9 daca suma cifrelor din care este format numarul se divide cu 9. Criteriul de divizibilitate cu 10. un numar natural se divide cu 10 daca ultima cifra este 0. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  5. EXERCIŢII PE BAZA CRITERIILOR DE DIVIZIBILITATE Sa se gaseasca numarele de forma Rezolvare: 530, 532, 534, 536, 538. Sa se gaseasca numarele de forma Rezolvare: 5+3+1=9. 531, 534, 537. Sa se gaseasca numarele de forma Rezolvare: 352, 356, pentru ca 52 se divide cu 4; la fel si 56. Sa se gaseasca numarele de forma Rezolvare: 720, 725. Sa se gaseasca numarele de forma Rezolvare: 405, 495, pentru ca 4+0+5=9 si 4+9+5=18 si se divid cu 9. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  6. PROPRIETĂŢILE DIVIZIBILITĂŢII Daca numerele a si b se divid cu m, atunci si a+b se divide cu m. Daca numerele a si b se divid cu m, atunci si a–b se divide cu m. Daca numerele a si b se divid cu m, atunci si ab se divide cu m. Daca numarul a se divide cu m si cu n, numerele m si n fiind prime intre ele, atunci a se divide cu mn. Daca numarul a se divide cu b si b se divide cu c, atunci si a se divide cu c. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  7. DESCOMPUNEREA IN FACTORI DE PUTERI DE NUMERE PRIME Pentru a descompune in factori de puteri de numere prime un numar natural se imparte numarul dat, succesiv, la numere prime. Exemplu: 720 2 Daca un numar se termina cu mai multe zerouri, impartirea se face la inceput prin 2k5k, k=numarul de zerouri. 1200 2252 360 2 12 2 180 2 6 2 90 2 3 3 45 3 1 15 3 5 5 Asadar 1200 = 24352 1 Pentru ca 100=425=2252. Asadar 720 = 24325 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  8. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN Pentru a afla c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere naturale se parcurg urmatoarele etape: 60 = 2235 1. Se descompun in factori de puteri de numere prime, numerele date. 90 = 2325 c.m.m.d.c. =235=30 2. Se iau factorii numai comuni cu puterea cea mai mica si se inmultesc intre ei. Cel mai mare divizor comun se mai poate scrie si astfel: (60;90) = 30 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  9. CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN Pentru a afla c.m.m.m.c. a doua sau mai multe numere naturale se parcurg urmatoarele etape: 60 = 2235 1. Se descompun in factori de puteri de numere prime, numerele date. 90 = 2325 c.m.m.m.c. =22325=180 2. Se iau factorii comuni si necomuni(o singura data) cu puterea cea mai mare si se inmultesc intre ei. Cel mai mic multiplu comun se mai poate scrie si astfel: [60;90] = 180 . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  10. NUMERE PRIME SI COMPUSE Numar prim este numarul care are doar doi divizori: pe 1 si pe el insusi. Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,… Numar compus este numarul care are cel putin trei divizori. Exemple de numere compuse: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,… NUMERE PRIME INTRE ELE Doua numere sunt prime intre ele daca c.m.m.d.c = 1. Exemple de perechi de numere prime intre ele: (12;35); (8; 9). TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  11. PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATE Sa se gaseasca cel mai mic numar natural nenul care impartit la 15, 18 sau 24 da de fiecare data rest 10. Rezolvare: O problema in care apare o impartire si un rest, se va rezolva cu ajutorul teoremei impartirii cu rest: d = ic + r, r < i. d = 15c1 + 10 d – 10 = 15c1  d = 18c2 + 10 d–10 = 18c2 d = 24c3 + 10 d–10 = 24c3  d – 10 = c.m.m.m.c. [15; 18; 24] = 360.  d = 360 + 10 = 370. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  12. PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATE Numerele 3456, 5435 si 8593 impartite prin acelasi numar dau respectiv resturile 6, 7, 14. Sa se afle impartitorul. Rezolvare: Aplicand teorema impartirii cu rest vom avea: Vom trece restul din membrul dept in membrul stang, si efectuand scaderea vom avea: Descompunem in factori de puteri de numere prime numerele 2450, 5428, 8579 si aflam c.m.m.d.c. al acestora.  c.m.m.d.c.= 23 si este impartitorul cautat. . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  13. PROBLEME TIPICE DE DIVIZIBILITATE Sa se gaseasca cel mai mic numar natural nenul care impartit la 45, 48 sau 54 da rest 10, 13 si respectiv 19. Rezolvare: Aplicand teorema impartirii cu rest vom avea: Observam ca diferenta dintre impartitor si rest este aceeasi la fiecare propozitie, aceasta fiind 35; adaugam pe 35 in ambii membri si obtinem: Descompunem in factori de puteri de numere prime numerele 45, 48 si 54 si aflam c.m.m.m.c. al acestora.  c.m.m.m.c.= 24335 = 2160.  d = 2160–35 = 2125 (numarul cautat) . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  14. NUMERE RAŢIONALE . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  15. FORME DE SCRIERE A NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ORDINARE IN FRACTIE ZECIMALA: Se face prin efectuarea catului dintre numaratorul si numitorul fractiei: EXEMPLE: TRANSFORMAREA UNEI FRACTII ZECIMALE IN FRACTIE ORDINARA: EXEMPLE: TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  16. REPREZENTAREA PE AXĂ A NUMERELOR RAŢIONALE Pentru a reprezenta pe o axa mai multe numere rationale, este indicat ca numerele rationale sa fie ordonate crescator. Pentru ordonarea acestora, aceste numere este necesar sa aiba aceeasi forma de prezentare – sub forma de fractii ordinare cu acelasi numitor. EXEMPLU: Fie multimea A = {-1,5; 3,(3); 0; -2,2; 3,3; -2,(2); 1,5} Transform numerele date in fractii ordinare: Aducem fractiile la acelasi numitor (in cazul nostru acesta este 90): Acuma, dupa comparatia numerelor , le putem reprezenta pe o axa: 0 1,5 3,3 3,(3) -2,(2) -2,2 -1,5 Se poate aborda si o alta strategie. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  17. REPREZENTAREA PRIN DESEN A NUMERELOR RATIONALE POZITIVE TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  18. ADUNAREA/SCĂDEREA NUMERELOR RAŢIONALE Adunarea/scaderea fractiilor ordinare: -Se afla numitorul comun al fractiilor date; -Se amplifica corespunzator fractiile date; -Numaratorii amplificati se aduna/scad deasupra aceleasi linii de fractie. EXEMPLU: Adunarea/scaderea fractiilor zecimale finite: EXEMPLU: -Se aseaza numerele unul dedesubtul celuilalt, astfel incat virgulele sa fie una dedesubtul celeilalte; -Se face adunarea/scaderea conform algoritmului cunoscut; -Virgula se pune la rezulta, ,,coborand-o’’ pe verticala. 2,15+ 49,30 51,45 . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  19. PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q • Adunarea este asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) • Adunarea este comutativa: a + b = b + a • Elementul neutru al adunarii este 0: a + 0 = 0 + a = a • Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat: a + (–a) = (–a) + a = 0 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  20. INMULŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE Prin inmultirea a doua numere rationale reprezentate prin fractii ordinare se obtine o fractie ordinara unde numaratorul este produsul numaratorilor si numitorul este produsul numitorilor. Proprietatile inmultirii Este comutativa a  b = b  a Este asociativa a  (b  c) = (a b)  c Elementul neutru este 1 a 1 = 1  a = a Este distributiva fata de adunare/scadere a (b+c)=a b+a c TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  21. INMULŢIREA FRACŢIILOR ZECIMALE FINITE Pentru a inmulti doua fractii zecimale finite, se procedeaza astfel: 1. Se inmultesc cele doua numere, conform algoritmului, fara a tine cont de partile zecimale (ca si cum n-ar exista ,,virgulele”). 25,15 6,24 10060 2. La rezultatul inmultirii se pune virgula, de la dreapta spre stanga, dupa atatea cifre cate zecimale participa la inmultire – in cazul nostru 4. 5030 15090 1569360 , TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  22. IMPĂRŢIREA NUMERELOR RAŢIONALE Pentru a imparti doua fractii ordinare, se inmulteste prima fractie cu a doua fractie inversata. TEOREMA IMPARTIRII CU REST: Unde: d = i  c + r d = deimpartitul i = impartitorul c = catul r = restul r < i TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  23. IMPĂRŢIREA FRACŢIILOR ZECIMALE FINITE Pentru a impărţi doua fractii zecimale finite, se procedeaza astfel: 1. Se egalizeaza numarul de zecimale la unul din numere, prin adaugarea de zerouri. 16,1:6,44 = 16,10:6,44 1610 644 2. Se impart cele doua numere, conform algoritmului, fara a tine cont de partile zecimale (ca si cum n-ar exista ,,virgulele”). , 1288 2 5 =322 0 3220 3. Se adauga un 0 la rest si o virgula , la rezultat si se continua impartirea, analog, pana cand restul va fi zero. ==== Deci catul impartirii celor doua numere este 2,5. . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  24. PUTEREA UNUI NUMĂR RAŢIONAL Daca este un numar rational, atunci Reguli de calcul cu puteri: (am)n=amn aman=am+n (ab)m=ambm am:an=am-n TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  25. ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILOR ŞI FOLOSIREA PARANTEZELOR • Intr-un exercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu numere rationale se efectueaza mai intai ridicarile la putere, apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile in ordinea in care sunt scrise. • In exercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din parantezele mari (drepte) si apoi cele din acolade. • Daca in fata unei paranteze ce contine un numar rational sau o suma de numere rationale se afla simbolul ,,–”, atunci se poate elimina acesta si paranteza, scriind numerele din paranteza cu semn schimbat. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  26. EXERCIŢIU REZOLVAT Transformam fractiile zecimale in fractii ordinare si le introducem in exercitiu, simplificate. Efectuam ridicarea la putere, inmultirea si impartirea in parantezele rotunde. . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  27. ECUAŢII DE FORMA ax + b = 0 EXEMPLU: • Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere rationale. Rezolvati ecuatia: Stabilim cmmmc al numitorilor si amplificam fractiile: • Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Amplificam numaratorii si scriem ecuatia fara numitori: Trecem termenii dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat: • Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei. Efectuam operatiile de adunare/scadere: Impartim ecuatia prin coeficientul necunoscutei: In final, aflam radacina ecuatiei: . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  28. RAPOARTE ŞI PROPORŢII . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  29. RAPOARTE ŞI PROPORŢII Raportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie a si b se numesc termenii raportului. Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16. sau Rezolvare: Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie: PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat: este o proportie, cu extremiia si d si meziib si c. EXEMPLU PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR: Aflati x din: daca si numai daca ad=bc TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 . .

  30. DERIVAREA PROPORŢIILOR Derivarea unei proportii cu aceiasi termeni a) Schimband extremii intre ei  b) Schimband mezii intre ei  c) Inversand rapoartele  Derivarea unei proportii cu alti termeni -se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:   -se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:  -se aduna/scad la numaratori numitorii: -se aduna/scad la numitori numaratorii:  -se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor:  TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  31. ŞIRUL DE RAPOARTE EGALE Daca avem: 1. atunci: 2. atunci: 3. atunci: 4. atunci: 5. atunci: Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi ! TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  32. DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE si atunci: Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} B = {l, m, n, p} 2. Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si: Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si: 1. EXEMPLU: Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date, atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date: REZOLVARE: Atunci: TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  33. REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI DIRECT PROPORTIONALE Reprezentarea grafica a dependentei direct proportionale Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de directa proportionalitate. A B y 4 2 3 5 6 3 10 5 2 O x 4 6 10 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  34. REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI INVERS PROPORTIONALE y Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de inversa proportionalitate. 6 A B 6 2 4 4 3 2,4 5 2,4 O x 2 3 5 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  35. P R O C E N T E Rapoartele de forma se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale. EXEMPLE: Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme: 1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18? 3. Daca se cunosc a si b, atunci p este: Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  36. O PROBLEMA CU PROCENTE Pretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret? REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare: 1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente: Putem folosi formula: unde a si b sunt valorile procentuale. Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative. Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%. 2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b). Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%. 3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial: Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140% . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  37. CALCULUL PROBABILITĂŢILOR APLICATII / EXEMPLE: 1. Aruncam un zar. Care este probabilitatea ca numarul de puncte de pe fata de sus a zarului sa fie un numar prim? Rezolvare: numerele prime pana la 6 sunt: 2, 3 si 5. Deci sunt 3 cazuri favorabile din 6. 2. Fie multimea A={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Se aleg la intamplare doua elemente. Care este probabilitatea ca suma celor doua numere sa fie un numar prim? Rezolvare: Variantele favorabile sunt: 1+2; 1+4; 1+6; 2+3; 2+5; 3+4; 5+6. Total=7. Variantele posibile sunt: 1+2, 1+3, …,2+3, 2+4,…,5+6. In total sunt 15 cazuri posibile. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  38. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR APLICATIE PRACTICA Elevii unei clase, in numar de 20, in urma unui test la matematica au obtinut urmatoarele note: nota 4 – 1elev; nota 5 – 2elevi; nota 6 – 4elevi; nota 7 – 5elevi; nota 8 – 3elevi; nota 9– 3elevi; nota 10 – 2elevi. Sa se reprezinte aceste date intr-un tabel, grafic si diagrama. 1 2 3 4 5 nr elevi 4 5 6 7 8 9 10 nota TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  39. MEDIA ARITMETICĂ MEDIA PONDERATĂ Media aritmetica a doua sau mai multe numere rationale este numarul rational obtinut prin impartirea sumei numerelor respective la numarul lor. Daca se dau numerele a1, a2, a3, …,an iar fiecare numar are respectiv ponderea p1, p2, p3, ….,pn atunci media aritmetica ponderata va fi: Daca avem: a1, a2, a3, …., an, atunci: Exemplu: aflati media aritmetica a Exemplu: aflati media ponderata a numerelor 5, 12, 15 fiecare cu ponderile 20, 12 si 8. numerelor: 3; 14; 20; 23. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  40. NUMERE INTREGI TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  41. MULŢIMEA NUMERELOR INTREGI Multimea numerelor intregi: Z = {…, -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; …} Multimea Z* = Z – {0}. – multimea numerelor nenule. Reprezentarea pe axa a numerelor intregi: Modulul sau valoarea absoluta: +a = +a –a = +a Fie multimea A = 3; 0; -4; 2; -2; 5; -1} Reprezentarea pe axa a elementelor multimii A: O(originea axei) -4 -2 -1 0 2 3 5 OPERATII CU NUMERE INTREGI Inmultirea sau impartirea: Ridicarea la putere: Adunarea sau scaderea: +a+b=+(a+b); +a-b=+(a-b) daca a>b; +a-b=-(b-a) daca b>a; -a-b –(a+b) (+)(+)=(+); (+)(-)=(-); (-)(+)=(-); (-)(-)=(+) (-a)numar par=+anumar par; (-a)numar impar= –anumar impar. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  42. DIVIZIBILITATEA IN Z Numarul intreg a este divizibil cu numarul intreg b, daca exista un numar intreg c, astfel incat a = bc Multimea divizorilor intregi ai lui 6 este: {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6} Multimea multiplilor intregi ai lui 3 este: {…-9; -6; -3; 0; 3; 6; 9; …;3n;….} Rezolvare: APLICATIE: Punem conditia ca 2x+1D3={1; 3} Rezolvam ecuatiile: Fie: 2x +1 = 1  x = 0 2x +1 = -1  x = -1 2x +1 = 3  x = 1 Aflati numerele intregi x astfel incat si E(x) sa fie numar intreg. 2x +1 = -3  x = -2 . TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

  43. REPREZENTAREA UNUI PUNCT CU COORDONATE INTREGI y Axa ordonatelor Axa absciselor y II I A(2;3) + + + + + 3 x B(-2;2) – – – – – O + + + + + ––––– 2 III IV x 1 O I, II, III, IV – cele patru cadrane 2 -2 Un punct de coordonate date, P(xP,yP) are abscisa = xp si ordonata =yP. Exemplu: A(2;3) Exemplu: B(–2;2) -3 C(1;-3) Exemplu: C(1;–3) TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  44. ADUNAREA SI SCADEREA NUMERELOR INTREGI Pentru a efectua operatiile de adunare sau scadere a numerelor intregi, este indicat ca prima data sa se elimine parantezele (daca exista) numerelor intregi. Daca in fata parantezei este semnul minus, la eliminarea parantezei, semnul numerelor intregi se schimba; atunci cand in fata parantezei este semnul plus la eliminarea parantezei, semnele numerelor nu se schimba. Atunci cand avem un sir de operatii de adunare si scadere, este indicat ca prima data sa adunam numerele negative si apoi pe cele pozitive. Urmariti exercitiul de mai sus (sublinierele): Daca avem doua numere intregi de semne diferite, se face diferenta lor si se da semnul numarului cu valoare mai mare. Daca avem doua numere intregi de acelasi semn, se aduna valorile lor si se da semnul lor comun. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  45. PROPRIETATILE ADUNARII IN MULTIMEA Q • Adunarea este asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) • Adunarea este comutativa: a + b = b + a • Elementul neutru al adunarii este 0: a + 0 = 0 + a = a • Pentru orice a exista –a, opusul lui a, astfel incat: a + (–a) = (–a) + a = 0 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  46. INMULTIREA SI IMPARTIREA NUMERELOR INTREGI Inmultirea/impartirea semnelor: Exemple: (+5)(+3) = 15 (-8)(+5) = -40 (-9)(-4) = 36 (+64):(+8) = 8 (-50):(+10) = -5 (+44):(-4) = -11 (-15):(-5) = 3 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  47. PUTEREA UNUI NUMAR INTREG Exemple: Operatii cu puteri: (+4)3 = 43 = 64 (-2)4 = 24 = 16 (-2)5 = -25 = -32 TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  48. ECUAŢII INZ INECUAŢII IN Z Propozitia cu o variabila de forma ax + b < c (sau >, , ) se numeste inecuatie cu o necunoscuta. Propozitia cu o variabila de forma ax + b = c se numeste ecuatie cu o necunoscuta. Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt membru cu semnul schimbat. Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea cu un numar diferit de zero. ATENTIE! Cand impartim/inmultim inecuatia cu un numar negativ, sensul inegalitatii se schimba! EXEMPLU: EXEMPLU: 2x + 9 = 5x + 30 5x – 8 > 7x + 4 5x – 7x >4 + 8 2x – 5x = 30 - 9 -2x > 12 : (-2) -3x = 21 :(-3) x < -6 x = -7. TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008 .

  49. VREAU SĂ MĂ MAI UIT INCĂ ODATĂ! Sfarsit TIT CUPRIAN, Sarichioi, jud. Tulcea, 2008

More Related