Optimum Design in Mechanical Engineering Lecture 3

Optimum Designin Mechanical EngineeringLecture 3 โดย ผศ.ดร. มนต์ศักดิ์ พิมสาร

ทฤษฎีของ Multi-variable optimizationwith inequality constraints ปัญหาแบบนี้สามารถเขียนสมการได้ ตัวแปรของการออกแบบมี nตัว , m < n

Multivariable optimization with inequality constraints หาด้วยวิธีเขียนกราฟ ขั้นตอนที่ 1กำหนดพิกัดของตัวแปรออกแบบ ขั้นตอนที่ 2พล็อตกราฟของสมการบังคับ ขั้นตอนที่ 3ทำการวิเคราะห์ขอบเขต(ด้านไหนของกราฟ)ที่เป็นไปได้ของสมการบังคับแต่ละสมการ ขั้นตอนที่ 4ทำซ้ำในขั้นตอนที่ 2 และ 3 กับทุกสมการของสมการบังคับ เพื่อหาพื้นที่ของตัวออกแบบที่เป็นไปได้ ขั้นตอนที่ 5พล็อตกราฟของสมการเป้าหมาย ที่ค่าต่างๆ โดยคร่าวๆ เพื่อดูแนวโน้มของกราฟ ขั้นตอนที่ 6ทำการวิเคราะห์หาตำแหน่งของจุดอ๊อฟติมั่ม

ตัวอย่างMultivariable optimization with inequality constraints หาด้วยวิธีเขียนกราฟ คำถาม วิธีทำ ทำการวิเคราะห์โดยการเขียนกราฟดังรูป

หมายเหตุ ถ้าตัวแปรออกแบบมากกว่า 2ตัว วิธีการวาดรูปไม่สามารถทำได้ ต้องใช้วิธีอื่น

เราสามารถเปลี่ยนปัญหาไปเป็น Equality constraintได้การเพิ่ม Slag variables,

กำหนดให้ ฟังก์ชันของ Lagrange มีค่าดังนี้ จุด Stationary points หาได้จากเงื่อนไขของ Necessary condition ดังนี้

สมการ (1) (2) และ (3) คือ Kuhn-Tucker conditionsผลเฉลยของสมการ (1) (2) และ (3) คือ • จากสมการ (2) ค่า y2จะทำให้ (2)  0 • จากสมการ (3) ถ้า j = 0 หมายถึง gj มีค่าน้อยกว่าศูนย์ (Inactive) และ • จากสมการ (3) ถ้า yj = 0 หมายถึง gj มีค่าเท่ากับศูนย์ (Active) และ j  0 • หลักการวิเคราะห์หลังจากนี้ ใช้แนวทางเดียวกับ Equality constraint

ตัวอย่างMultivariable optimization with inequality constraints ด้วย KKT Conditions คำถาม วิธีทำ ทำการสร้าง ฟังก์ชันของ Lagrange

จากเงื่อนไข Kuhn-Tucker สามารถสรุปได้ดังนี้ จากสมการเหล่านี้ เรามี4 ตัวแปรและ 4 สมการ เราต้องเริ่มที่สมการ (d)แบ่งเป็นสองกรณีดังนี้

กรณีที่ 1ให้ y = 0 • สมการ (a) – (b)จะได้ x1 = x2 • นำ y = 0 และ x1 = x2ไปแทนในสมการ (c) ได้ x2 = 1 ดังนั้น x2 = 1 • นำ x1แทนในสมการ (a) ได้  = 1 กรณีที่ 2ให้  = 0 • แทนในสมการ (a)และ (b) จะได้ x1 = x2 = 1.5 • นำ x1 = x2ได้ 3 – 2 + = 0 หรือ (เป็นไปไม่ได้) ดังนั้นคำตอบคือ กรณีที่ 1 X* = (1,1),  = 1 , f (X*) = 0.5

ข้อสังเกตุ ณ. จุดต่ำสุดเกรเดียนของฟังก์ชั่นเป้าหมายกับสมการบังคับ จะชี้ในทิศตรงกันข้าม นอกจากนั้นคำตอบจะอยู่บนสมการบังตับหรือสมการบังคับ บางตัวจะ Active หรือเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีของ Multi-variable optimizationwith equality and inequality constraints ปัญหาแบบนี้สามารถเขียนสมการได้

สามารถเปลี่ยนไปเป็น Equality constraintได้การเพิ่ม Slag variables,

กำหนดให้ ฟังก์ชันของ Lagrange มีค่าดังนี้ j และ k คือ Lagrange multipliers สำหรับ Gjและ hkตามลำดับ จุด Stationary points หาได้จากเงื่อนไขของ Necessary condition ดังนี้

Necessary condition ได้จำนวนสมการทั้งหมดคือ n+2m+pสมการ จากนั้นทำการวิเคราะห์เหมือนกับวิธีของกรณี Inequality constraints ต่อไป

ตัวอย่างMultivariable optimization with equality and inequality constraints คำถาม วิธีทำ สร้าง Lagrangeฟังก์ชั่นได้ดังนี้

จากเงื่อนไข Kuhn-Tucker สามารถสรุปได้ดังนี้ จากสมการเหล่านี้เราต้องเริ่มที่สมการ (e)แบ่งเป็นสองกรณีดังนี้

กรณีที่ 1ให้ y1 = 0 • แทนในสมการ (c)จะได้ x1 = 4 • นำ x1ไปแทนในสมการ (d) และ (b) ได้ x2 = 6 และ 1 = -4 ตามลำดับ • นำ x1 , x2และ 1 ไปแทนในสมการ (a) ได้ 1 = -2 กรณีที่ 2ให้ 1 = 0 • แทนในสมการ (a)และ (b) จะได้ x1 = x2 = - 1 • นำ x1 = x2ไปแทนในสมการ (c) ได้ x1 = x2 = 5 และ 1 = -5 ตามลำดับ • นำ x1 (c) ได้ 5 – 4 + = 0 ซึ่ง (เป็นไปไม่ได้) ดังนั้นคำตอบคือ กรณีที่ 1 X* = (4,6), 1 = -2, 1 = -4 , f(X*) = 24

Workshop 1 – Multivariable Optimization with equality and inequality constraints คำถาม จงทำการหาค่า x1 , x2ที่เป็น Candidate ที่ทำให้ฟังก์ชั่นนี้มีค่าต่ำสุดกำหนดให้

Optimum Design in Mechanical Engineering Lecture 3