CONTROLE II Prof. Samuel Bettoni 11/09/12
ESPAÇO DE ESTADOS
Espaço de Estados • O estudo de um sistema de controlediscretoqueestudamosaté o momentofoiutilizando o conceito de função de transferência. • A questão é queessaabordagem é ineficientequandotemossistemasqueapresentamváriasentradas e váriassaídas.
Espaço de Estados • Os métodosconvencionaissãoeficientesemlidar com sistemas com únicaentrada e únicasaída (SISO – single-input and single-output).
Espaço de Estados • Um sistema de controlemodernopodeterváriasentradas e váriassaídas. Um métodoparaanálise e síntese de sistemas com múltiplasentradas e múltiplassaídas (MIMO – multiple-input and multiple-output) é espaço de estados.
Espaço de Estados
Espaço de Estados • As vantagensdautilização do métodoespaço de estados: • Esseconceitohabilita o engenheiro de projetar um sistema de controle com respeito a umadeterminada performance interna. • Habilita o engenheiro a incluircondiçõesiniciaisaoprojeto.
Espaço de Estados • Se um sistemadiscreto é invariante no tempo, as equaçõesemespaço de estadospodem ser escritasdaseguinte forma: • A saídadessesistematambémseráescritacomo:
Espaço de Estados • As equaçõesanteriorespodem ser reduzidasna forma matricial, dadaspor: A, B, C e D: matrizes de dimensõesapropriadas
Espaço de Estados • Exemplo 1: • Deseja-se encontrar o modeloemespaço de estados (variáveis de estado) do sistemadescritopelaequação de diferenças. Solução Definindo x1(k) = y(k) e x2(k) = x1(k+1) = y(k+1) Então, x2(k+1) = y(k+2) = u(k) + 1,7x2(k) - 0,72x1(k) Atravésdessasequaçõespodemosescrever: x1(k+1) = x2(k) x2(k+1) = -0,72x1(k) + 1,7x2(k) + u(k) y(k) = x1(k)
Espaço de Estados • Exemplo 2: • Deseja-se encontrar o modeloemespaço de estados (variáveis de estado) do sistemadescritopelaequação de diferenças. Solução Expressandoessasúltimasequaçõesna forma matricial, escrevemos:
Espaço de Estados • Umaoutramaneira de obter as equaçõesemespaço de estados é utilizando a função de transferência no domínio Z. • Seja a função de transferência sendo a ordem do numerador (n-1) menor do que a ordem do denominador (n). A ordem do sistema é n.
Espaço de Estados • As equações de estadopodem ser escritasna forma matricial:
Espaço de Estados • Exemplo 2: • Considereque a função de transferência de um sistemadiscreto é Qual as equações de estadocorrespondente?
Espaço de Estados • Exemplo 2: Solução Fazendo as devidassubstituições a0= 0,5 ; a1 = 1 ; a2 = 2 ; b0 = 1 ; b1 = 2; b2 =1 na forma matricial das equações de estado, temos:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Como obter a função de transferência de um sistema dado que o sistemaestádescritoemespaço de estados? • Umamaneira de obter a função de transferência do sistema a partir das equações de estado é tomar a transformada Zdessasequações de estado e eliminar X(z).
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Sendo a equação de estados dada por: • Tomando a transformada Z dessaequaçãoacima e considerandocondiçõesiniciaisnulas, temos:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Solucionando a equação anterior para X(z), obtemos: • Sabendoque a saída do sistema é modeladaemespaço de estadospor:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Aplicando a transformada Z naequação de saída, obtêm-se: • Substituindo o valor de X(z) naequaçãoacimaresulta:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Assim, a função de transferênciabaseadanasequações de estado é dada por:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Exemplo 3: • Seja um sistemadescritopelasseguintesequações de estado: Qual a função de transferênciadessesistema?
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Exemplo 3: Solução Calculamosprimeiramente a parcela [zI-A]-1:
Espaço de Estados(Seção 2.10) • Exemplo 3: Solução Como D = 0,
