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Crittografia e numeri primi

Piano Lauree Scientifiche. Crittografia e numeri primi. IV incontro lunedì 29 novembre 2010. Costruzione del messaggio cifrato 1:. Testo da cifrare:. Questo messaggio non è più segreto. Elimino gli spazi :. Questomessaggiononèpiùsegreto.

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Crittografia e numeri primi

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Presentation Transcript

  1. Piano Lauree Scientifiche Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010

  2. Costruzione del messaggio cifrato 1: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Elimino gli spazi : Questomessaggiononèpiùsegreto. Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura, Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri… Questomessaggiononepiusegreto

  3. Costruzione del messaggio cifrato 2: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Questomessaggiononepiusegreto Dvido il testo in blocchi di tre lettere : Que sto messaggio non epiusegreto Aggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z) Que sto messaggio non epiusegretoz

  4. Costruzione del messaggio cifrato 3: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Que sto messaggio non epiusegretoz Traduco il messaggio utilizzando la tabella : Que sto messaggio non 141804 161712 100416 160006 060812 111211 epiusegretoz 041308 181604 061504 171220

  5. Costruzione del messaggio cifrato 4: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Applico la funzione (Codice Cesare): f : Z1000000Z1000000 | [m]  [m]+ [k] k=909090

  6. Costruzione del messaggio cifrato 5: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 → 141804 + 909090 = 1050894→ 050894 161712 → 161712 + 909090 = 1070802 → 070802 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220

  7. Costruzione del messaggio cifrato 6: Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 050894070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310

  8. Decifratura del messaggio cifrato 7: Testo da decifrare: 050894070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Determino la funzione inversa di decifratura f-1: Z1000000Z1000000 | [m’]  [m’]+ [k’] k’=1000000-k= =1000000-909090=090910

  9. Decifratura del messaggio cifrato 8: Testo da decifrare: 050894 → 050894 + 090910 = 141804 070802 → 070802 + 090910 = 161712 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre

  10. Costruzione del messaggio cifrato 9: Questo messaggio non è più segreto. 141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220 Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine: f : Z1000000Z1000000 | [m] [a] [m]+ [b] Devo verificare che MCD([a],[n])=1 Devo calcolare [a]-1 Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]

  11. Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola MCD (1191, 46)

  12. MCD (1191, 46) = 1

  13. Ricostruisci ora l’identità di Bézout:

  14. Ricostruisci ora l’identità di Bézout: In conclusione si può riscrivere: Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è _______

  15. Ricostruisci ora l’identità di Bézout: In conclusione si può riscrivere: Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]

  16. Quanti sono gli elementi invertibili di Z5? Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo 5?

  17. Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Zn? Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo n?

  18. Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 3) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

  19. Fai l’elenco degli a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z15)? ________________

  20. Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 3) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

  21. Fai l’elenco degli a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z21)? ________________

  22. Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p  q Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per p? ________________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per q? ________________

  23. Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono coprimi con n? _____________________________ Quanti sono gli elementi invertibili in Zn?

  24. Elevamento a potenza

  25. Potenze in Z5

  26. Potenze in Z5 Osservazioni: gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca ci sono colonne particolari [1] le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…

  27. Perché [m]2 non funziona? [1]2=[1] [n-1]2= (n-1)2=n2-2n+1

  28. Potenze in Z5 [x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3= =([x]4)2[x]3= =[1]2[x]3=[x]3

  29. Potenze in Z7

  30. Potenze Modulo 10

  31. Potenze in Z11

  32. Potenze modulo 21

  33. Decifratura con Potenze in Z5 Quale potrebbe essere la funzione di decifratura?

  34. Decifratura con Potenze in Z5

  35. Decifratura con Potenze in Z5

  36. Teorema di Fermat

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