TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Colegio Divina Pastora (Toledo)

2. VECTORES FIJOS EN EL PLANO • Vector fijoAB, es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. • Módulo: es la longitud del segmento AB, se representa • Dirección: es la dirección de la recta que pasa por A y B • Sentido: es la orientación de la recta. En cada dirección hay 2 sentidos: de A a B y de B a A. • Descartes • Vector fijo nulo: el extremo y el origen coinciden. Es un punto y su módulo es 0. • Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) dos puntos, las coordenadas cartesianas del vector AB son B - A = (b1 -a1, b2 – a2) • Descartes • Siendo P un punto del plano, se llama vector de posición del punto P al vector OP que representamos por • Las coordenadas de un punto son las mismas que las de su vector de posición.

3. VECTORES LIBRES EN EL PLANO • Vectores equipolentes: Tienen el mismo módulo, dirección y sentido. • Vector libre del plano: Es el conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a uno de dado y se representa por

4. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES • Suma de vectores libres Descartes1 Descartes2 • Producto de un nº real por un vector • Tiene por módulo el producto del valor absoluto del nº real no nulo (k) por el módulo del vector • Tendrá por dirección la misma del vector y por sentido el mismo si k es positivo, y el opuesto si k es negativo. • Descartes1 • Descartes 2

5. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES • Un vector u es combinación linealde 2 vectores v y w si existen los números reales a y b tales que u = av + bw. • Descartes • En este caso se dice que u, v y w son linealmente dependientes • Siendo i=(1,0) y j=(0,1) cualquier vector libre del plano puede expresarse como una combinación lineal de la forma donde (u1,u2) son las coordenadas cartesianas deu.

6. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES • Es un número real y se designa u · v • u · v = • Expresión analítica del producto escalar • u · v = xx´ + yy´ • Siendo u=(x,y) y v=(x’,y’) • Descartes

7. MÓDULO DE UN VECTOR. ÁNGULO DE DOS VECTORES • Módulo de un vector • Es la longitud entre su origen y su extremo. Si el vector tiene de coordenadas (x,y), utilizando el Teorema de Pitágoras: • Ángulo de 2 vectores = Descartes

8. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO • Dados 2 puntos A y B del plano se llama distancia de A a B al módulo del vector AB: • d (A, B) = • Descartes • Las coordenadas del punto medio de un segmento AB, con A (x1,y1) y B (x2,y2) son: • Xm= (x1+x2)/2Ym= (y1+y2)/2 • Descartes

9. ECUACIONES DE LA RECTA • ECUACIÓN VECTORIAL • Si una recta está determinada por un punto A (x1,y1) y un vector no nulo u=(a,b) • es la ecuación vectorial de la recta y u, el vector director. • ECUACIONES PARAMÉTRICAS • Se obtienen igualando los 2 pares de la ecuación vectorial: • ECUACIÓN CONTINUA • Se obtiene despejando t en ambas ecuaciones e igualando: • ECUACIÓN GENERAL • Se obtiene operando con la ecuación continua y simplificando. También se llama Ecuación en forma implícita: Ax+ By + C = 0 • Un vector director será y un punto de la recta será cualquiera que verifique la ecuación (se da un valor a una de las incógnitas y se resuelve la ecuación). • Descartes

10. ECUACIÓN EXPLÍCITA • Se obtiene despejando la variable Y de la ecuación general: • y = mx + n; donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. • Si una recta tiene u=(a,b) de vector director, la pendiente m = b/a . • ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE • La ecuación de la recta que pasa por A( x1,y1) y tiene de pendiente m es: • ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA • Si una recta corta a los ejes en los puntos P (p,0) y Q (0,q) su ecuación en forma segmentaria es: • Descartes

11. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO. • 2 rectas son secantes si sólo tiene un punto en común, paralelas si no tiene ningún punto en común y coincidentes si tienen todos los puntos comunes. • Podemos hallar la posición de 2 rectas hallando su intersección, resolviendo el sistema que forman sus ecuaciones: • Si tienen 1 solución, las rectas se cortan • Si no tiene solución, las rectas son paralelas • Si tienen infinitas soluciones, las rectas son coincidentes. • Otra forma de saber su posición: Descartes