Topologia jako dział matematyki

1. Topologiajako dział matematyki Opracowała: Kornelia Widiziszewska

2. Działy matematykiWg MSC 2000 (Mathematical Subject Classication 2000) Matematyka dyskretna Algebra Matematyka stosowana Analiza matematyczna Matematyka Logika i podstawy Geometria Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Topologia

3. Topologia (zwana początkowo geometria situs, „geometrią położenia” lub analysis situs, „analizą położenia”) jest nauką zajmującą się badaniem właściwości geometrycznych, nie zmieniających się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie czy obroty. Żartobliwie topolog to matematyk, który nie potrafi odróżnić kubka kawy od obwarzanka, bowiem kubek może być płynnie przekształcony na obwarzanek i odwrotnie. Jest to zagadnienie z Homeomorfizmu. Topologia – czym jest?

4. Podstawowe pojęcia topologii: • Zbiory otwarte • Otoczenia • Przestrzeń topologiczna • Homeomorfizm

5. Zbiory otwarte – czym są? Zbiory otwarte w przestrzeni metrycznej to takie zbiory, które są sumami (również nieskończonymi) kul otwartych, a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień). Przykład: Zbiorem otwartym na płaszczyźnie jest np. wnętrze dowolnego wielokąta. Można je skonstruować jako sumę nieskończonej liczby wnętrz kół wypełniających wielokąt (coraz mniejszych przy jego brzegu).

6. Otoczenia – czym są? Otoczenie punktu X można sobie wyobrazić jako dowolną figurę, wewnątrz której znajduje się punkt X. Każdy punkt przestrzeni euklidesowej posiada nieskończenie wiele otoczeń, z których niektóre zawierają się w innych. To zawieranie się otoczeń jest jedynym odpowiednikiem informacji o odległości danych punktów.

7. Przestrzeń topologiczna – czym jest? Mając dany zbiór punktów i bazę ich otoczeń możemy wygenerować przestrzeń topologiczną – wystarczy za zbiór otwarty uznać zbiór V, dla którego nie istnieją punkty brzegowe, czyli takie, których wszystkie otoczenia zawierają zarówno punkty ze zbioru V jak i spoza tego zbioru (patrz rysunek). Przykład punktu brzegowego, do jego dowolnego otoczenia należą punkty ze zbioru, jak i punkty spoza niego

8. Homeomorfizm – czym jest? Dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeśli każdą z nich można przekształcić w drugą w sposób ciągły. Gdy przestrzeń X daje się homeomorficznie odwzorować na przestrzeń Y, to przestrzenie X i Y mają takie same własności topologiczne i z punktu widzenia topologii są nieodróżnialne homeomorficzne, mogą być traktowane jako różne egzemplarze tej samej przestrzeni. Przykładami własności topologicznych zachowywanych przez homeomorfizm są spójność czyli „składanie się z jednego kawałka” i wymiar topologiczny przestrzeni.

9. Homeomorfizm – czym jest? cd. Przykład: Kubek może być płynnie przekształcony na obwarzanek i odwrotnie. Deformacja przebiega w sposób ciągły, czyli bez rozrywania i sklejania, co oznacza właśnie, iż kubek i obwarzanek są homeomorficzne, a więc z punktu widzenia topologii nieodróżnialne.

10. Popularne problemy badawcze topologii: • Problem siedmiu mostów • Wstęga Möbiusa • Zagadnienie czterech barw • Kubek a obwarzanek

11. Problem siedmiu mostów Problem nad którym głowili się mieszkańcy Królewca, a który został rozwiązany przez Leonharda Eulera wygląda następująco: przez Królewiec przepływa rzeka na której znajdują się dwie wyspy, pomiędzy wyspami lub brzegiem rzeki rozmieszczone są mosty. Pytanie brzmi czy da się przejść przez każdy most dokładnie jeden raz i ukończyć wędrówkę w miejscu z którego ją rozpoczęliśmy?

12. Problem siedmiu mostów cd. Euler dowiódł, iż rozważany problem jest niewykonalny, aby dojść do takiego wniosku, matematyk dokonał zamiany schematu grupy mostów na równoważny graf oraz przedstawił warunki konieczne aby w grafie istniał tzw. Cykl Eulera: • jest to spójność grafu, (każdy wierzchołek łączy się z każdym innym, bezpośrednio lub poprzez inny wierzchołek) • tylko 0 lub 2 wierzchołki posiadają nieparzystą liczbę krawędzi

13. Wstęga Möbiusa Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwana rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johana Benedicta Listinga w 1858 roku. Przykład: Prostokątny pasek papieru, skręcony o 180 stopni, a następnie sklejony końcami. Opisywany jest jako przykład powierzchni jednostronnej. Stylizowane przedstawienie wstęgi Möbiusa jest symbolem recyklingu oraz logo Renault.

14. Wstęga Möbiusa cd. Wstęga Möbiusa zrobiona z paska papieru Logo Renault Symbol recyklingu w kształcie wstęgi Möbiusa

15. Zagadnienie czterech barw Twierdzenie o, czterech barwach, głosi że dowolną mapę polityczną, gdzie każdy kraj składa się z jednego tylko kawałka (na sferze lub płaszczyźnie – to przypadki równoważne), można zabarwić używając tylko czterech kolorów tak, aby żadne dwa kraje mające wspólną granicę (dłuższą niż punkt) nie miały tego samego koloru. Fotografia dywanu, ilustrującego twierdzenie o czterech barwach

16. Wykorzystano literaturę: • Kenneth Appel, Wolfgang Haken, Zagadnienie czterech barw, (w:) L. A. Steen (red.) Dwanaście esejów, WNT, Warszawa 1983 • Ryszard Engelking, Karol Sieklucki, Geometria i topologia. Część II. Topologia, Biblioteka Matematyczna, tom 54. PWN, Warszawa 1980 • Christoph Drösser Matematyka. Daj się uwieść, PWN, Warszawa 2011 • Crilly tony 50 Teorii matematyki, które powinieneś znać, PWN, Warszawa 2009 • http://pl.wikipedia.org • http://www.google.pl