LÓGICA DE PRIMER GRADO I -PROPOSICIONES CATEGÓRICAS-

1. LÓGICA DE PRIMER GRADO I -PROPOSICIONES CATEGÓRICAS- MATERIAL DE APOYO: WWW.SLIDESHARE.NET/RAFAEL.MORA

2. La lógica predicativa o de primer grado • La lógica proposicional no nos basta para expresar todas las fórmulas válidas. • Por ejemplo si decimos que “todo número primo es número natural” y que “todo número natural es número mayor que cero”, podemos concluir que “todo número primo es mayor que cero”. El ejemplo anterior que podemos entenderlo como aplicación de la propiedad transitiva, según la cual: aRb & bRc .→. aRc Esto podemos simbolizarlo mediante la fórmula: ( p & q ) .→. r. • Al representar los valores de verdad de dicha fórmula en una matriz lógica nos daremos con la sorpresa de que no es válida sino contingente. Esto no va de acuerdo con lo que la intuición básica pre-teórica y matemática demanda. Es por ello que nos vemos obligados a buscar mayor expresabilidad a fin de poder obtener fórmula válidas que son válidas por razones matemáticas.

3. Cuando tomamos como unidad a la proposición nos limitamos a simbolizarla con una letra, v. g. P, Q, R, S, T, etc. Sin embargo, lo que hace verdadera a la proposición es su contenido, contenido que surge de la alianza del sujeto y el predicado. Por ello, la lógica amplia su capacidad de expresión con el fin de descomponer la unidad mínima de la información en otras unidades que por sí mismas no tienen sentido sino únicamente cuando forman parte de una proposición. A estas proposiciones analizadas las llamamos proposiciones categóricas (siguiendo la tradición aristotélica). • Ellas están compuestas de sujetos que simbolizamos mediante letras minúsculas, v. g. a, b, c, d, e, f, g, etc. Sus predicados son simbolizables mediante letras mayúsculas tales como F, G, H, I, J, etc. Los predicados siempre acompañan a los sujetos y éstos últimos pueden estar delante o detrás de ellos, v. g. F(a), G(b), etc. (primera forma) o c(H), d(I), etc. (segunda forma) pero en esta oportunidad haremos uso de la primera forma. SI digo que Juan es ingeniero, puedo escribir, según la lógica proposicional: p, pero según la lógica de predicados: I(j) y leerlo como j es I, es decir, Juan es ingeniero. Además de estos símbolos tenemos a los cuantificadores universal (todos o ningún) o particular (algún, cierto número). Si digo que algunos ateos son inmorales, puedo escribir, x(Ax & ¬Bx) y leerlo como existe un x y x tiene la propiedad A pero no la propiedad B, donde la propiedad A es la de ser ateo y la B es la de ser moral.

4. DEFINICIÓN • Son aquellas proposiciones que establecen una relación de inclusión o exclusión entre dos conjuntos de individuos: un sujeto y un predicado. A estos conjunto de individuos se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de proposiciones que se construye con base en ellas se les llama proposiciones categóricas. • Ejemplos sencillos de proposiciones categóricas: • Todas las aves son animales (A) • Forma lógica: x(Ax→Bx) • Todo león no es un pez (E) • Forma lógica: x(Ax→¬Bx) • Algún perro es consentido (I) • Forma lógica: x(Ax & Bx) • Alguna ave no es gallina (O) • Forma lógica: x(Ax & ¬Bx)

5. CLASE UNIVERSAL Es la clase que enmarca todos los elementos u objetos a los que se hace referencia, se denota por el símbolo U.

6. CLASE INDETERMINADA Es aquella clase, en la que no se puede determinar la existencia o no existencia de elementos.

7. CLASE VACÍA Es la clase que carece de elementos. Se diagrama a través de un círculo sombreado o achurado en su interior, con una letra adjunta que indica la denominación de la clase.

8. CLASE NO VACÍA Indica que una clase tiene por lo menos un elemento

9. COMPLEMENTO DE UNA CLASE Es el conjunto de elementos que no pertenecen a la clase en mención, se indica por una barra superpuesta en la letra. En este caso el diagrama indica que el complemento de la clase S es diferente al vacío.

10. COMPLEMENTO DE UNA CLASE El diagrama indica que el complemento de la clase S es igual al vacío.

11. DIAGRAMACIÓN Este es el diagrama de dos clases, en el se representan las relación de inclusión o exclusión que encontraremos en la proposición. Por lo tanto, describiremos las áreas numeradas. Área 1: Están los elementos que no pertenecen a la clase S y que no pertenecen a la clase P.Área 2: Están los elementos que pertenecen a S pero que no pertenecen a PÁrea 3: Están los elementos que pertenecen a S y a la vez a PÁrea 4: Están los elementos que, no pertenecen a S pero si a P.

12. CANTIDAD • La cantidad de una proposicion categórica indica de cuántos individuos estamos hablando. • Sin embargo, en la lógica aristotélica no se trata de decir en números de cuantos individuos hablamos, sino de decir solamente si hablamos de todos los individuos de un conjunto o de algunos de ellos. • Las expresiones “Todos”, “Ningún” o “Algunos” cumplen la función de determinar la cantidad de la proposición y se les conoce con el nombre de cuantificadores. En lógica de predicados las representaremos como una A y una E invertidas, así:  y . Estas siempre estarán acompañando a una proposición si es que ésta no tiene bien claro a cuantos individuos hace alusión.

13. CUALIDAD • La cualidad de una proposición categórica indica si afirmamos algo del sujeto, o si negamos algo del mismo. • Lo que afirmamos o negamos del sujeto es el predicado; por eso, cuando la cualidad es afirmativa decimos que el sujeto está incluido en el predicado, y cuando es negativa decimos que no lo está. • Las expresiones “son” y “no son” cumplen la función de unir o separar los términos de la proposición y por eso se les conoce con el nombre de cópula.

14. CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS • Según su cantidad: • Universales: Cuando se detecta la presencia del cuantificador universal y se determina una relación de inclusión total. • Ejemplo: Todas las plantas son seres vivos • Particulares: Cuando se detecta la presencia del cuantificador existencial y se determina una relación de inclusión parcial. • Ejemplo: Algunas vacas son sagradas • Según su cualidad: • Afirmativas: Cuando se afirma que el sujeto está incluido en el predicado. • Ejemplo: Todos los misioneros son humildes • Negativas: Cuando se niega que un sujeto esté incluido en un predicado • Ejemplo: Ningún gato es manso

15. CLASIFICACIÓN TOTAL • La cantidad y la cualidad de una proposición categórica son las que permiten definir completamente su estructura. • Esto es algo muy util, pues como solo hay dos tipos de cantidades, universal o particular, y solamente dos tipos de cualidad, afirmativa o negativa, entonces resulta que únicamente hay cuatro combinaciones posibles de cantidad y cualidad, es decir, solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las siguientes:

16. CLASIFICACIÓN TOTAL • Universales Afirmativas (llamadas tipo A) • Sea la proposición “Todo pez es acuático”, la clase pez está incluida totalmente en la clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es P” • Universales Negativas (llamadas tipo E) • “Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningun elementos de la clase de los niños pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de exclusión total y se expresa por “Ningún S es P” • Particulares Afirmativas (llamadas tipo I) • “Algunos alumnos son artistas” es una proposición que algunos de la clase de los alumnos está incluido en la clase de los artistas. Esta es una relación de inclusión parcial y se expresa mediante “Algunos S son P” • Particulares Negativas (llamadas tipo O) • La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas no pertenecen a la clase de lo rojo. Aquí se establece una relación de exclusión parcial y se denota como “Algunos S no son P”

19. CASOS NO TÍPICOS • Caso I: Si en una proposición categórica encontramos negado el sujeto o el predicado, o ambos, se procede a aplicar la fórmula booleana tomando en cuenta la respectiva negación. • Caso II: Si en una proposición categórica el cuantificador se encuentra negado, entonces al aplicarsele la formula booleana la negación pasará a afectar la igualdad o la desigualdad.

20. CASOS NO TÍPICOS • Caso III: Si en una proposición categórica universal encontramos que el verbo copulativo está negado, la negación funciona como si negara al cuantificador y se procede como en el caso anterior. • Caso IV: Si el cuantificador no está explícito, entonces se busca interpretar el sentido de la expresión y se considera como si fuera cualquiera de las proposiciones categóricas conocidas.

21. EJERCICIOS • Simbolice, formalice y haga los diagramas de ven de las siguientes proposiciones: • 1. Ningún estudiante universitario es autista. • 2. Ningún tímido es atrevido. • 3. Algunas tímidas no son bonitas. • 4. No todas las tímidas son bonitas. • 5. Ningún tímido no es atrevido. • 6. Ni siquiera un metal es un ser vivo. • 7. Cualquier pez es vertebrado. • 8. Casi todos los descorteses no son universitarios. • 9. Ningún adolescente es congresista. • 10. Todos los penalistas son abogados. • 11. Daniel se suicidó. • 12. Es falso que Pedro y Daniel sean alquimistas. • 13. Pedro es poeta y ensayista.